楊韜, 戴健

遼寧工程技術(shù)大學(xué)，工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125100

引 言

智能優(yōu)化算法在解決復(fù)雜優(yōu)化的問(wèn)題上有著不俗的表現(xiàn)，如灰狼優(yōu)化算法[1]、麻雀優(yōu)化算法[2]、蝗蟲(chóng)優(yōu)化算法[3]、粒子群優(yōu)化算法[4]、鯨魚(yú)優(yōu)化算 法[5]、蟻獅優(yōu)化算法[6]、海鷗優(yōu)化算法[7]等。海鷗優(yōu)化算法是Dhiman和Kumar在2019年提出的新型群智能優(yōu)化算法，與傳統(tǒng)PSO和GA算法相比，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，參數(shù)的調(diào)整也很簡(jiǎn)便，這些優(yōu)點(diǎn)使其受到廣泛應(yīng)用。然而海鷗優(yōu)化算法仍然存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)的缺陷，導(dǎo)致其多樣性較差。

目前相關(guān)專(zhuān)家關(guān)于群智能優(yōu)化算法的研究主要分為兩個(gè)方面：一是種群初始化方面，毛清華[8]、陳忠云[9]等用Logistics混沌映射對(duì)種群初始化，尹德鑫[10]用Fuch混沌映射對(duì)種群初始化，肖亞寧[11]用Tent混沌映射對(duì)種群初始化，馬馳等[12]用Tent混沌映射與對(duì)立學(xué)習(xí)策略融合的方式對(duì)種群初始化。二是種群搜索尋優(yōu)方面，Cao Y[13]、秦維娜[14]等通過(guò)加入Levy飛行機(jī)制增加搜索的隨機(jī)性，Chen X通過(guò)引入非線性搜索控制公式[15]提高算法的搜索速度和精度。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，在加入萊維飛行機(jī)制的基礎(chǔ)上，首先融合Fuch混沌映射[16]與精英反向?qū)W習(xí)策略[11,17]對(duì)海鷗種群初始化，提高種群質(zhì)量，其次根據(jù)余弦函數(shù)改進(jìn)自身行為特征參數(shù)A，將線性搜索非線性化，并將改進(jìn)的海鷗算法與原先算法和其他智能優(yōu)化算法在9個(gè)測(cè)試函數(shù)和3個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題上進(jìn)行性能對(duì)比。

1 海鷗算法

海鷗優(yōu)化算法[7,18-19]啟發(fā)于海鷗的遷徙和攻擊行為。為了避免碰撞，各海鷗初始位置不同，在這一機(jī)制中，海鷗試圖朝著最佳生存方向移動(dòng)，以確定最優(yōu)方案。

1.1 海鷗的遷徙模式

海鷗群體需要在避免和其他海鷗碰撞、向最佳的鄰居飛行和移動(dòng)到最佳位置的前提下進(jìn)行遷徙：

（1）避免碰撞

由式(1)所示，變量A避免了海鷗與其它相鄰海鷗的碰撞，并確定自身新的位置：

式(1)中，Cs為避免碰撞的新位置，t為迭代次數(shù)，

PS(t)為海鷗的當(dāng)前位置。A是海鷗在搜索空間中進(jìn)行全局搜索時(shí)代表了其自身行為的特征參數(shù)，具體表述如下：

式(2)中，Maxiteration為最大迭代次數(shù)，fc為控制變量的頻率，fc值一般為2。

（2）其他鄰居經(jīng)驗(yàn)

海鷗中的候選個(gè)體會(huì)朝最佳鄰居的方向移動(dòng)探索優(yōu)值。

式(3)中，Bs表示海鷗中的最優(yōu)候選位置，參數(shù)B為隨機(jī)參數(shù)，用來(lái)權(quán)衡算法的探索和利用，Pbs(t)為海鷗個(gè)體向最優(yōu)位置移動(dòng)。

式(4)中，R為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

（3）移動(dòng)到最佳位置搜索代理

更新步驟具體表述如下：

式(5)中，DS表示海鷗個(gè)體搜索位置CS和全局最佳搜索位置BS之間的距離。

1.2 海鷗的攻擊模式

海鷗捕獵時(shí)，呈螺旋狀移動(dòng)，通過(guò)不斷改變攻擊的角度和速度改變螺旋的半徑，其飛行的高度可通過(guò)翅膀和體重維持。具體運(yùn)動(dòng)行為表述如下：

式(6)中，r為海鷗在進(jìn)行螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑，a是定義的一個(gè)隨機(jī)角度，具體范圍是[0,2π]，u和v是定值，一般情況下均取1。

式(7)中，PS(t)為海鷗的攻擊位置，并更新其它海鷗搜索位置。

2 改進(jìn)的海鷗算法

2.1 加入混沌精英反向?qū)W習(xí)策略

（1）Fuch映射

海鷗優(yōu)化算法的初始種群存在分布不均勻的問(wèn)題，導(dǎo)致其相關(guān)性能不穩(wěn)定?；煦缬成淇衫闷浞蔷€性、普適性、隨機(jī)性、遍歷性和規(guī)律性的優(yōu)點(diǎn)增強(qiáng)種群多樣性和全局搜索能力。Fuch映射[10,16]在混沌特性、遍歷性和規(guī)律性等方面比傳統(tǒng)的Logistic映射和Tent映射更加優(yōu)越，具體表述如下(xn不為0）：

式(8)中xn不為0，n為當(dāng)前迭代次數(shù)。

（2）精英反向?qū)W習(xí)策略

精英反向?qū)W習(xí)策略[11,17]為反向?qū)W習(xí)策略的改進(jìn)版，其利用精英個(gè)體和反向種群使種群多樣性加強(qiáng)，搜索空間擴(kuò)大。設(shè)Xij=(Xi,1,Xi,2,...Xi,d)為海鷗種群中的精英個(gè)體，d為優(yōu)化問(wèn)題的空間維度，精英反向解可表示為：

式(9)中，i為種群個(gè)體，h為[0,1]上的動(dòng)態(tài)系數(shù)，aj和bj為動(dòng)態(tài)邊界，分別為Xij第j維個(gè)體的最小、最大值。當(dāng)超出邊界范圍時(shí)，則對(duì)其進(jìn)行重置，具體表述如下：

（3）混沌精英反向?qū)W習(xí)策略

受文獻(xiàn)[12]啟發(fā)，將Fuch映射與精英反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)行融合，根據(jù)適應(yīng)度大小對(duì)個(gè)體進(jìn)行排序，擇優(yōu)選取形成新的初始化種群，進(jìn)而提高初始化種群質(zhì)量。具體表述如下：

式(11)中，ki為Fuch映射中的xn，?為逐項(xiàng)乘法運(yùn)算符號(hào)，為融合Fuch映射的精英反向解。融合過(guò)后，用Fuch混沌均勻變化的優(yōu)勢(shì)來(lái)動(dòng)態(tài)壓縮原先初始種群的分布范圍，讓種群更加均勻化。

2.2 改進(jìn)自身行為特征參數(shù)A

針對(duì)海鷗算法全局搜索線性化的問(wèn)題，提出了一種非線性搜索方法[8,14-15]。通過(guò)引入余弦函數(shù)，將原先線性變化的參數(shù)A能夠非線性地變化，能夠在海鷗搜索過(guò)程中提高算法的速度和精度。

式(12)中，t為迭代次數(shù)，Maxiteration為最大迭代次數(shù)。

改進(jìn)的參數(shù)A呈非線性變化[8,14]，在迭代前期參數(shù)A變化的幅度較小、減小的速度較慢，有效地?cái)U(kuò)大了海鷗的搜索范圍；在迭代后期，參數(shù)A變化幅度較大、減小的速度較快，從而提高了算法的收斂速度。改進(jìn)前后參數(shù)A的對(duì)比圖如圖1所示。

圖1 改進(jìn)前后參數(shù)A的對(duì)比圖Fig.1 Comparison diagram of parameter A before and after improvement

2.3 加入萊維飛行

萊維飛行對(duì)于海鷗算法易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題有一定的改進(jìn)，它是通過(guò)隨機(jī)游走機(jī)制去正確控制局部搜索[13-14,20]，具體表述如下：

式(13-15)中，0<θ<=2，E、F~N(0, σ2)，Γ(x)是Gamma函數(shù)，α表示步長(zhǎng)，θ=1.5。

在計(jì)算萊維飛行的步長(zhǎng)[21]時(shí)，可根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的實(shí)際情況自行調(diào)整參數(shù)k，在測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)分析中，測(cè)試函數(shù)為f6時(shí)，k取0.01，I-SOA(Improved-Seagull Optimization Algorithm)的性能優(yōu)勢(shì)更為明顯，測(cè)試函數(shù)為f1-f5、f7-f9時(shí)，k取0.1，I-SOA的性能優(yōu)勢(shì)更為明顯。因此，I-SOA在面對(duì)不同類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)可通過(guò)靈活調(diào)整k值去發(fā)揮自身最大的性能優(yōu)勢(shì)。具體表述如下：（測(cè)試f6時(shí)k取0.01,其余均取0.1）

增加萊維飛行后，海鷗群體的更新位置公式為：

2.4 改進(jìn)海鷗算法的執(zhí)行步驟

（1）運(yùn)用Fuch混沌精英反向?qū)W習(xí)策略對(duì)海鷗種群進(jìn)行初始化。

（2）設(shè)置算法的相關(guān)參數(shù)：種群數(shù)量、最大迭代次數(shù)和參數(shù)A中的fc值等。

（3）計(jì)算海鷗群體的初始適應(yīng)度值，互相比較后保留最佳適應(yīng)度值和最佳位置。

（4）根據(jù)式(12)更新A。

（5）計(jì)算海鷗新的位置并檢查是否越界。

（6）計(jì)算更新位置后的海鷗個(gè)體適應(yīng)度值，并與步驟（3）的最佳適應(yīng)度值進(jìn)行比較，再次更新。

（7）算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，如果是，則運(yùn)行停止；如果否，則跳轉(zhuǎn)至步驟（4）繼續(xù)運(yùn)行。

2.5 時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算

標(biāo)準(zhǔn)SOA算法的時(shí)間復(fù)雜度主要包括3個(gè)部分：初始化種群O(1)，計(jì)算初始適應(yīng)度值O(N)，迭代計(jì)算最終適應(yīng)度值 O(NT)。綜上，SOA算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(NT)。（N為種群數(shù)量，T為最大迭代次數(shù)）

I-SOA算法的時(shí)間復(fù)雜度主要包括：初始化種群O(1)，計(jì)算初始適應(yīng)度值O(N)，加入混沌精英反向?qū)W習(xí)策略O(shè)(NT)，改進(jìn)自身行為的特征參數(shù)O(NT)，加入萊維飛行O(NT)，迭代計(jì)算最終適應(yīng)度值 O(NT)。綜上，I-SOA算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(NT)。

由以上可知，標(biāo)準(zhǔn)SOA算法和I-SOA算法的時(shí)間復(fù)雜度相同，I-SOA算法的改進(jìn)并不會(huì)降低算法的運(yùn)行效率。

3 測(cè)試函數(shù)實(shí)驗(yàn)分析

3.1 測(cè)試函數(shù)

選取9個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行性能對(duì)比。9個(gè)測(cè)試函數(shù)中有單模態(tài)的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和多模態(tài)的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，能夠比較全面地檢驗(yàn)算法的尋優(yōu)性能和收斂速度,具體表述如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)Table 1 Test function

3.2 算法測(cè)試分析

將I-SOA算法與標(biāo)準(zhǔn)SOA、PSO和GA算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。種群規(guī)模為50，T=500。海鷗算法中A的起始值為2；粒子群算法Vmax為6，ω為0.6，c1和c2均為2；GA算法p1=0.7,p2=0.3。實(shí)驗(yàn)重復(fù)30次，并以30次最優(yōu)解的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。最優(yōu)值、最差值和平均值評(píng)價(jià)指標(biāo)能夠反映各算法尋優(yōu)的收斂情況和尋優(yōu)精度。（最優(yōu)值為30次最優(yōu)解中最接近于函數(shù)最優(yōu)解的值，最差值反之，平均值為30次最優(yōu)解的算術(shù)平均值）。標(biāo)準(zhǔn)差評(píng)價(jià)指標(biāo)能夠反映算法尋優(yōu)的穩(wěn)定性。（標(biāo)準(zhǔn)差為方差的算術(shù)平方根，方差為30次最優(yōu)解與其平均值差的平方的平均數(shù)）。具體結(jié)果如表2所示。

由表2的最優(yōu)值和平均值可知，I-SOA算法在f1-f9九個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中表現(xiàn)非常優(yōu)異。在f1-f5單模態(tài)函數(shù)中，I-SOA算法求解的函數(shù)值遠(yuǎn)優(yōu)于另外三種算法，尤其在求解函數(shù)f1時(shí)，I-SOA算法比標(biāo)準(zhǔn)SOA算法提升了至少30個(gè)數(shù)量級(jí)，求解函數(shù)f2時(shí)，提升了20個(gè)數(shù)量級(jí)以上，求解函數(shù)f3和f4時(shí)，提升了8個(gè)數(shù)量級(jí)以上。對(duì)于多模態(tài)函數(shù)f6-f9而言，I-SOA算法在求解函數(shù)f7和f9時(shí)，均求得函數(shù)的理論最優(yōu)值，求解函數(shù)f8時(shí)，I-SOA算法比標(biāo)準(zhǔn)SOA算法提升了10個(gè)數(shù)量級(jí)以上，雖然求解函數(shù)f6時(shí)I-SOA算法沒(méi)有體現(xiàn)出過(guò)大的優(yōu)勢(shì)，但總體而言還是優(yōu)于其他三種標(biāo)準(zhǔn)算法。而表2中對(duì)4種算法的最差值進(jìn)行對(duì)比時(shí)，I-SOA算法的優(yōu)勢(shì)更為明顯，其在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中的最差值均為最小值。將四種算法對(duì)9個(gè)測(cè)試函數(shù)求解30次最優(yōu)解的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，除了I-SOA算法在函數(shù)f6上表現(xiàn)略差以外，在其余的8個(gè)測(cè)試函數(shù)中，標(biāo)準(zhǔn)差均比另外三種標(biāo)準(zhǔn)算法小，說(shuō)明了I-SOA算法的穩(wěn)定性較強(qiáng)，不易陷入局部最優(yōu)。

表2 各算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of optimization results of various algorithms

綜上所述，I-SOA算法的各方面性能均優(yōu)于其他三種算法。

圖6 f2收斂曲線對(duì)比Fig.6 Comparison of f2 convergence curves

圖7 f3收斂曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of f3 convergence curves

圖8 f4收斂曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of f4 convergence curves

圖11 f7收斂曲線對(duì)比Fig.11 Comparison of f7 convergence curves

圖12 f8收斂曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of f8 convergence curves

圖2-圖4為加入單個(gè)策略?xún)?yōu)化的I-SOA1、I-SOA2、I-SOA3與SOA在 多 模 態(tài) 函 數(shù)Schwefel p2.26中的求解表現(xiàn)。因海鷗優(yōu)化算法多樣性較差和篇幅所限，僅選取多模態(tài)函數(shù)Schwefel p2.26作為測(cè)試函數(shù)對(duì)僅加入混沌精英反向?qū)W習(xí)策略的I-SOA1和SOA進(jìn)行測(cè)試對(duì)比，收斂曲線對(duì)比圖如圖2所示（種群規(guī)模為50，T=500，與以下兩個(gè)改進(jìn)點(diǎn)測(cè)試對(duì)比參數(shù)相同），I-SOA1的收斂速度和尋優(yōu)精度均優(yōu)于SOA，證實(shí)了加入混沌精英反向?qū)W習(xí)策略的有效性。僅改進(jìn)參數(shù)A的I-SOA2和SOA在多模態(tài)函數(shù)Schwefel p2.26的測(cè)試收斂曲線對(duì)比圖如圖3所示，I-SOA2的收斂速度和尋優(yōu)精度均優(yōu)于SOA，證實(shí)了改進(jìn)參數(shù)A的有效性。僅加入萊維飛行的I-SOA3和SOA在多模態(tài)函數(shù)Schwefel p2.26的測(cè)試收斂曲線對(duì)比圖如圖4所示，I-SOA3的尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于SOA，跳出了局部最優(yōu)的困境，證實(shí)了加入萊維飛行的有效性(k取0.01)。

圖2 I-SOA1和SOA收斂曲線對(duì)比圖Fig.2 Comparison of I-SOA1 and SOA convergence curves

圖3 I-SOA2和SOA收斂曲線對(duì)比圖Fig.3 Comparison of I-SOA2 and SOA convergence curves

圖4 I-SOA3和SOA收斂曲線對(duì)比圖Fig.4 Comparison of I-SOA3 and SOA convergence curves

圖5-圖9為I-SOA、SOA、PSO和GA算法在單模態(tài)函數(shù)中的求解表現(xiàn)。從圖中可知，I-SOA算法在函數(shù)f1-f5中收斂曲線向x軸下降的速度更快和幅度更大，這意味著I-SOA算法在這5個(gè)測(cè)試函數(shù)中尋求最優(yōu)解的精度更高。而另外3種標(biāo)準(zhǔn)算法的迭代曲線較為平緩，甚至出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，尋優(yōu)精度也因此變得很差，尤其是f1-f4的收斂曲線對(duì)比圖，其與I-SOA算法形成鮮明的對(duì)比。I-SOA算法在單模態(tài)函數(shù)中的求解表現(xiàn)說(shuō)明了融合Fuch混沌映射和精英反向?qū)W習(xí)策略來(lái)初始化種群增加了海鷗種群的多樣性，從而提高了種群的質(zhì)量，加快了算法的收斂速度。而引入余弦函數(shù)改進(jìn)參數(shù)A，使線性搜索非線性化，從而改變海鷗步長(zhǎng)，進(jìn)一步提高了收斂速度，尋優(yōu)精度也得到一定的提升。

圖5 f1收斂曲線對(duì)比Fig.5 Comparison of f1 convergence curves

圖9 f5收斂曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of f5 convergence curves

圖10-圖13為I-SOA、SOA、PSO和GA算法在多模態(tài)函數(shù)中的求解表現(xiàn)，從這4張圖中可清晰看出I-SOA算法的優(yōu)越性，其收斂曲線下降的速度明顯快于其他三種標(biāo)準(zhǔn)算法，而尋優(yōu)精度也遠(yuǎn)勝于其他三種算法，尤其在求解f7和f9時(shí)，I-SOA算法在迭代次數(shù)200左右均已收斂并求出了理論最優(yōu)值。I-SOA算法在多模態(tài)函數(shù)的求解表現(xiàn)進(jìn)一步說(shuō)明了融合Fuch混沌映射和精英反向?qū)W習(xí)策略的有效性，算法的收斂速度得到有效提高，改進(jìn)的參數(shù)A也在多模態(tài)函數(shù)的測(cè)試中體現(xiàn)了自身的優(yōu)勢(shì)，加快了收斂速度并提高了尋優(yōu)精度。而在求解多模態(tài)函數(shù)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)SOA算法表現(xiàn)較弱，萊維飛行機(jī)制的引入進(jìn)一步優(yōu)化了海鷗算法，擴(kuò)大了海鷗搜索解的范圍，擺脫了容易陷入局部最優(yōu)的困境，從而求得最優(yōu)解。

圖10 f6收斂曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of f6 convergence curves

圖13 f9收斂曲線對(duì)比Fig.13 Comparison of f9 convergence curves

綜上所述，I-SOA1、I-SOA2、I-SOA3算法在多模態(tài)函數(shù)Schwefel p2.26的收斂曲線對(duì)比圖中，其求解表現(xiàn)證實(shí)了加入單個(gè)策略?xún)?yōu)化的有效性。I-SOA算法在f1-f9的收斂曲線對(duì)比圖中，其收斂曲線的下降速度比標(biāo)準(zhǔn)SOA、PSO和GA算法更快，在面對(duì)易陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致尋優(yōu)精度低的缺陷時(shí)，能夠跳出局部最優(yōu)獲得全局最優(yōu)解。通過(guò)多種性能的對(duì)比證實(shí)了I-SOA算法的優(yōu)勢(shì)更為明顯。

4 I-SOA算法在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用

壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題、三桿桁架設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題和拉力彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題為非線性規(guī)劃問(wèn)題中的不等式約束問(wèn)題，群智能優(yōu)化算法在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)有一定的優(yōu)勢(shì)，不過(guò)仍然存在最優(yōu)解質(zhì)量較低、問(wèn)題適應(yīng)性較弱和尋優(yōu)穩(wěn)定性較差的缺陷，因此將I-SOA算法用來(lái)求解3個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，觀察其尋優(yōu)的精度、面對(duì)不同工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的求解能力和尋求最優(yōu)解的穩(wěn)定性能夠進(jìn)一步驗(yàn)證I-SOA算法的有效性和優(yōu)越性。

4.1 壓力容器設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題

在壓力容器設(shè)計(jì)[22-23]優(yōu)化問(wèn)題中，主要目的是使壓力容器的總成本最低，其總成本主要包括材料、成型和焊接成本。壓力容器的結(jié)構(gòu)示意圖如圖14所示，其有4個(gè)優(yōu)化變量：壓力容器筒體的厚度(TS)、頭部半球的厚度(Th)、半球體的內(nèi)部半徑(R)、不考慮頭部半球的圓柱筒體的長(zhǎng)度L。令{TS、Th、R、L}為{x1、x2、x3、x4}，x各維度的取值范圍和壓力容器設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)及不等式約束條件如下所示。

圖14 壓力容器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.14 Structural diagram of pressure vessel

x1、x2的取值范圍為[0，100]；x3、x4的取值范圍為[10，200]。

目標(biāo)函數(shù)為：

不等式約束條件為：

用標(biāo)準(zhǔn)SOA算法和I-SOA算法分別求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題（種群規(guī)模為200、迭代次數(shù)為2000，fc為2，與以下兩個(gè)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題參數(shù)相同），各自獨(dú)立運(yùn)行50次，并以50次尋優(yōu)結(jié)果的最優(yōu)值、平均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差作為算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，具體數(shù)值如表3所示。將標(biāo)準(zhǔn)SOA算法、I-SOA算法和文 獻(xiàn)[22]中列出的19種算法的最優(yōu)值進(jìn)行比較，具體數(shù)值如表4所示。

表3 SOA算法和I-SOA算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的尋優(yōu)結(jié)果對(duì)照表Table 3 Comparison of optimization results of SOA algorithm and I-SOA algorithm for solving pressure vessel design problem

表4 與文獻(xiàn)[22]中其他算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)值比較Table 4 Comparison with the optimal values of other algorithms in literature [22] for solving pressure vessel design problem

由表3中的尋優(yōu)結(jié)果和圖15的收斂曲線可清晰的看出I-SOA算法在各個(gè)方面均優(yōu)于SOA算法。表4為21種智能優(yōu)化算法在壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題上求得的最優(yōu)值，I-SOA算法除了微遜于4類(lèi)灰狼算法外(相差0.0232%以下)，比其余的16種算法都要優(yōu)越。表3和表4表明了I-SOA算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)越性。

圖15 SOA和I-SOA求解壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題的收斂曲線Fig.15 Convergence curves of SOA and I-SOA for solving pressure vessel design problem

4.2 三桿桁架設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題

在三桿桁架設(shè)計(jì)[22-23]的問(wèn)題中，主要目的是使三桿桁架的體積最小，其設(shè)計(jì)示意圖如圖16所示。因三桿桁架中桿x1和x3橫截面積相同，所以只需選取x1、x2兩個(gè)桿的橫截面積作為優(yōu)化變量。σ為三桿桁架在每個(gè)桁架構(gòu)件上受到的應(yīng)力。x1和x2的取值范圍、目標(biāo)函數(shù)和不等式約束條件如下所示。

圖16 三桿桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.16 Schematic diagram of three bar truss structure

x1、x2的取值范圍為[0，1]。

目標(biāo)函數(shù)為：

不等式約束條件為：

目標(biāo)函數(shù)中L=100cm，不等式約束條件中P= 2kN/cm2，σ=2kN/cm2。

用標(biāo)準(zhǔn)SOA算法和I-SOA算法分別求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題，各自獨(dú)立運(yùn)行50次，并以50次尋優(yōu)結(jié)果的最優(yōu)值、平均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差作為算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，具體數(shù)值如表5所示。將標(biāo)準(zhǔn)SOA算法、I-SOA算法和文獻(xiàn)[22]中列出的17種算法的最優(yōu)值進(jìn)行比較，具體數(shù)值如表6所示。

表5 SOA算法和I-SOA算法求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的尋優(yōu)結(jié)果對(duì)照表Table 5 Comparison of optimization results of SOA algorithm and I-SOA algorithm for solving three bar truss design problem

表6 與文獻(xiàn)[22]中其他算法求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的最優(yōu)值比較Table 6 Comparison with the optimal values of other algorithms in literature [22] for solving three bar truss design problem

由表5中的尋優(yōu)結(jié)果與圖17中的收斂曲線可知，I-SOA算法在求解三桿桁架設(shè)計(jì)的問(wèn)題上雖然優(yōu)勢(shì)不明顯，但相比于比SOA算法依舊有微弱的優(yōu)勢(shì)。表6為SOA、I-SOA算法與文獻(xiàn)[22]中其他17種算法的最優(yōu)值進(jìn)行比較，在三桿桁架設(shè)計(jì)的問(wèn)題上，群智能優(yōu)化算法的表現(xiàn)都很不錯(cuò)，I-SOA算法求解的最優(yōu)值在19種算法中位居前列，占據(jù)微弱的優(yōu)勢(shì)。表5、表6表明了I-SOA算法在求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)有一定的優(yōu)越性。

圖17 SOA和I-SOA求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的收斂曲線Fig.17 Convergence curves of SOA and I-SOA for solving three bar truss design problem

4.3 拉力彈簧設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題

在拉力彈簧的設(shè)計(jì)[24]問(wèn)題中，在滿(mǎn)足最小撓度、剪應(yīng)力和振動(dòng)頻率等約束的條件下使拉力彈簧的質(zhì)量最小，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖18所示。設(shè)計(jì)變量主要有3個(gè)，分別是彈簧線圈的直徑d(x1)、彈簧圈平均直徑D(x2)、有效繞圈的數(shù)量P(x3)。x1-x3的取值范圍、目標(biāo)函數(shù)和不等式約束條件如下所示。

圖18 拉力彈簧結(jié)構(gòu)示意圖Fig.18 Structural diagram of tension spring

x1的取值范圍為[0.25,1.30]；x2的取值范圍為[0.05,2.00]；x3的取值范圍為[2.00,15.00]。

目標(biāo)函數(shù)為：

不等式約束條件為：

用標(biāo)準(zhǔn)SOA算法和I-SOA算法分別求解拉力彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題，各自獨(dú)立運(yùn)行30次，并將30次尋優(yōu)結(jié)果的最優(yōu)值、平均值、最差值和標(biāo)準(zhǔn)差與文獻(xiàn)[24] 4種算法進(jìn)行對(duì)比，具體數(shù)值如表7所示。

表7 與文獻(xiàn)[24]中其他算法求解拉力彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題尋優(yōu)結(jié)果對(duì)照表Table 7 Comparison of optimization results of other algorithms in literature [24] for solving tension spring design problem

由表7的尋優(yōu)結(jié)果可知，I-SOA算法在求解拉力彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題上優(yōu)勢(shì)明顯，其在與SOA算法和文獻(xiàn)[24]中其余4種算法的尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比時(shí)，最優(yōu)值最小，平均值和最差值僅次于CDE算法，標(biāo)準(zhǔn)差較CDE、AATM、IFA算法稍顯弱勢(shì)。綜合而言,I-SOA算法的性能優(yōu)勢(shì)最大。由圖19可知，相比于標(biāo)準(zhǔn)SOA算法，I-SOA算法在求解拉力彈簧問(wèn)題上收斂速度更快，尋優(yōu)結(jié)果更好。表7、圖19表明了I-SOA算法在求解拉力彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題上有較好的性能，占據(jù)一定的優(yōu)勢(shì)。

圖19 SOA和I-SOA求解拉力彈簧設(shè)計(jì)問(wèn)題的收斂曲線Fig.19 Convergence curve of SOA and I-SOA for solving tension spring design problem

以上3種工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的測(cè)試結(jié)果、文獻(xiàn)對(duì)比結(jié)果和收斂曲線對(duì)比圖顯示出SOA算法收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，導(dǎo)致其尋優(yōu)精度較差。I-SOA算法相比SOA算法尋優(yōu)性能較好且收斂速度快，能夠跳出局部最優(yōu)從而找到更優(yōu)解，并且相比于其他智能優(yōu)化算法，I-SOA算法在3個(gè)不同的工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中均有不錯(cuò)的表現(xiàn)，體現(xiàn)了I-SOA算法的普適性和尋優(yōu)穩(wěn)定性更好。I-SOA算法在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中的表現(xiàn)體現(xiàn)了算法改進(jìn)的有效性和優(yōu)越性，也進(jìn)一步說(shuō)明了I-SOA算法在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域中有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)海鷗算法收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)等問(wèn)題，提出了一種融合Fuch混沌精英反向?qū)W習(xí)策略和余弦函數(shù)的萊維飛行海鷗算法。并將改進(jìn)的海鷗算法與標(biāo)準(zhǔn)SOA、PSO和GA算法在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和3個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題上進(jìn)行性能對(duì)比，得出以下結(jié)論：

（1）改進(jìn)的海鷗算法無(wú)論在尋求最優(yōu)解還是收斂速度上均有明顯的提升，說(shuō)明了改進(jìn)的有效性。首先Fuch混沌精英反向?qū)W習(xí)策略提高了種群的質(zhì)量，其次引入余弦函數(shù)對(duì)參數(shù)A進(jìn)行改進(jìn)提高了算法的收斂速度和全局尋優(yōu)能力，最后萊維飛行機(jī)制的加入使算法能夠跳出局部最優(yōu)。

（2）I-SOA算法在9個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中收斂速度、尋優(yōu)精度和跳出局部最優(yōu)的能力均比標(biāo)準(zhǔn)SOA、PSO和GA算法優(yōu)越，證明了I-SOA算法改進(jìn)的有效性。

（3）I-SOA算法在3個(gè)工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中，尋優(yōu)精度和跳出局部最優(yōu)的能力較強(qiáng)，面對(duì)不同的工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題均能求得更優(yōu)質(zhì)的解，體現(xiàn)了I-SOA算法的問(wèn)題適應(yīng)性和求解穩(wěn)定性更優(yōu)，證明了I-SOA算法改進(jìn)的有效性。

在之后的研究中，會(huì)繼續(xù)完善I-SOA算法，并將I-SOA算法應(yīng)用到更廣泛的實(shí)際問(wèn)題中去，提高I-SOA算法的應(yīng)用價(jià)值。

利益沖突聲明

所有作者聲明不存在利益沖突關(guān)系。