陳運勝，孫令真，張創(chuàng)基

(廣州華立科技職業(yè)學院，廣東 廣州 511325)

0 引言

三連桿機械臂結(jié)構(gòu)簡單、重量較輕，在部分對重量有嚴格要求的機器人中得到了大范圍使用，在航空、水下作業(yè)以及其他微重力作業(yè)環(huán)境內(nèi)，更是有著不可或缺的重要地位。被動關(guān)節(jié)的坐標系從廣義方面來說屬于非循環(huán)坐標系。將被動關(guān)節(jié)調(diào)節(jié)為自動擺動，三連桿機械臂系統(tǒng)就成為了一個二階非完整約束系統(tǒng)。由于非完整約束系統(tǒng)的特性，導致一般方法在對其進行傳動控制時很難取得理想效果，無法得出規(guī)范化、系統(tǒng)化的解決方法。

針對上述存在的問題，王建平等[1]提出利用深度強化學習方法，實現(xiàn)對多連桿機械臂的傳動控制；王樂君等[2]通過對振蕩衰減軌跡算法的研究，提出一種三連桿欠驅(qū)動機械臂控制方法。但上述2種方法對多連桿機械臂各個運動階段的狀態(tài)并未進行分析，無法精確掌握機械臂的運動時間，在一定程度上降低了控制效率?；诖?，本文提出基于積分分離式PID的三連桿機械臂傳動控制方法。

1 三連桿機械臂動力學描述

1.1 動力學模型

將三連桿機械臂看作是一個機械系統(tǒng)[3]，利用拉格朗日方法定義該系統(tǒng)的動力學方程為

(1)

根據(jù)式(1)，可得到機械系統(tǒng)動力學模型為

Mθ·+c(θ·,θ)=χ

(2)

M為機械系統(tǒng)慣性矩陣；c(θ·,θ)=c1c2c3T為機械系統(tǒng)中與廣義速度有關(guān)的項。

三連桿機械臂大多為欠驅(qū)動機器人，即關(guān)節(jié)1、2為主動關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)3為被動關(guān)節(jié)，χ3=0。對機械臂運動過程中產(chǎn)生的摩擦和阻力忽略不計。假設機械系統(tǒng)中3個機械臂的長度分別為K1、K2、K3，質(zhì)量分別為G1、G2、G3，質(zhì)心[5]在3個機械臂最頂端的位置上，當前連桿質(zhì)心距離上一連桿的長度分別為H1、H2、H3，轉(zhuǎn)動慣量分別為A1、A2、A3。三連桿機械臂動力學模型如圖1所示。

圖1 三連桿機械臂動力學模型

那么，機械系統(tǒng)慣性矩陣中的第3列[6-8]滿足機械系統(tǒng)的二階非完整約束[9-10]，即

(3)

本文的主要工作就是尋找式(3)約束下的三連桿機械臂傳動控制方法。由于二階非完整約束的存在，使得機械臂關(guān)節(jié)運動空間軌跡與操作空間運動軌跡之間無法形成相互對應的關(guān)系，甚至關(guān)節(jié)速度流形[11-12]與操作速度流形之間的關(guān)系也遭到了破壞，導致一般方法很難實現(xiàn)對機械臂的穩(wěn)定控制。本文通過對機械臂的運動階段進行劃分，運用積分分離式PID算法完成對其的穩(wěn)定控制。

1.2 運動階段的劃分

由于三連桿機械臂是非線性系統(tǒng)[13-15]中的一類，普通全局控制方法在對其進行控制時常常出現(xiàn)控制精度低、效率低等問題。因此，本文從分階段控制的角度著手，對機械臂的運動階段進行劃分。

將三連桿機械系統(tǒng)的運動空間定義為δ，將機械臂的運動階段劃分為3個子階段，即退化階段δ1、搖起階段δ2以及平衡階段δ3。

其中，搖起階段δ2的定義式為

(4)

平衡階段δ3的定義式為

(5)

退化階段δ1的定義式為

δ1=δ-δ2-δ3

(6)

通過上述給出的3個運動階段定義公式，本文提出三者之間的切換策略：

a.根據(jù)三連桿機械臂的初始狀態(tài)，運用式(4)～式(6)判斷機械臂的初始運動階段。

b.當機械臂滿足式(4)條件時，機械系統(tǒng)由退化階段切換為搖起階段。

c.當機械臂滿足式(5)條件時，機械系統(tǒng)由搖起階段切換為平衡階段。

2 基于積分分離式PID的三連桿機械臂傳動控制

通過分析三連桿機械臂3個不同的運動狀態(tài)，本文引入積分分離式PID控制算法，實現(xiàn)精準控制。積分分離式PID控制算法的表達式為

kD(error(k)-error(k-1))/T

(7)

error(k)=d(k)-w(k)為三連桿機械臂實際旋轉(zhuǎn)角度與目標旋轉(zhuǎn)角度之間的誤差值，其中，d(k)為目標旋轉(zhuǎn)角度，w(k)為機械臂實際旋轉(zhuǎn)角度，即被控制對象的輸出；u(k)為機械臂的角度控制器，即被控對象的輸入；kP、kI、kD分別為控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)以及微分系數(shù)；T為控制器采樣時間；β、j分別為積分系數(shù)的控制系數(shù)和約束系數(shù)。

積分系數(shù)控制系數(shù)β的計算式為

(8)

e(k)為控制器采樣值；ε為控制系數(shù)閾值。

運用積分分離式PID控制算法對三連桿機械臂實現(xiàn)傳動控制的步驟為：

a.根據(jù)實際作業(yè)環(huán)境設置合理的閾值ε，并保證ε>0。

b.當e(k)>ε時，不考慮積分系數(shù)，采用PD控制(比例-微分控制)實現(xiàn)機械臂的控制。

c.當e(k)≤ε時，也就是e(k)較小的情況下，保留積分系數(shù)消除機械系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)靜差，采用PID實現(xiàn)機械臂的控制。

積分分離式PID控制算法流程如圖2所示。

圖2 積分分離式PID控制算法實現(xiàn)流程

當系統(tǒng)能量達到最大勢能時即可進入到平衡階段，接下來機械臂的運動均為最佳控制。在控制器中，比例系數(shù)可以以比例的形式描述控制系統(tǒng)所產(chǎn)生的偏差，在機械系統(tǒng)上就是描述機械臂實際旋轉(zhuǎn)角度與目標旋轉(zhuǎn)角度之間的偏差。不管發(fā)生何種程度的偏差，控制器都會產(chǎn)生相應的抑制作用，保證控制偏差不會繼續(xù)增大。積分系數(shù)的主要作用是消除穩(wěn)態(tài)靜差，在一定程度上保證算法的控制精度。微分系數(shù)主要描述了各類偏差的變化規(guī)律，當偏差較大時引入一個預先修正的信號，提高控制器的效率。

3 實驗測試

為了驗證本文方法在實際應用中是否同樣合理有效，與引言中的深度強化學習方法和振蕩衰減軌跡算法進行了對比實驗測試。實驗選用的三連桿機械臂為欠驅(qū)動機器人，參數(shù)設置如表1所示。

表1 三連桿機械臂參數(shù)

3種算法對于三連桿機械臂的傳動控制效率對比結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3 本文方法控制效率結(jié)果

圖4 深度強化學習方法控制效率結(jié)果

由圖3～圖5可知，較其他2種方法相比，本文方法達到最大勢能所花費的時間最少，對于三連桿機械臂的控制效率最高。這是由于本文方法將機械臂的運動狀態(tài)分為3個階段，通過積分分離式PID控

圖5 振蕩衰減軌跡算法控制效率結(jié)果

制算法對每個階段進行分析，在最短的時間內(nèi)使機械臂達到了最大勢能。

接下來對3種算法的三連桿機械臂控制精度進行對比，結(jié)果如圖6所示。

圖6 3種算法三連桿機械臂控制精度對比結(jié)果

由圖6可知，對于三連桿機械臂，本文方法有著最高的控制精度，振蕩衰減軌跡算法次之、深度強化學習方法最低。不僅如此，在3種算法中，本文方法的控制精度曲線波動幅度最小，隨著運動距離的不斷增加，誤差增長也最為緩慢，而其他2種方法的曲線波動幅度較大，控制過程不穩(wěn)定。這是因為當機械臂的運動狀態(tài)發(fā)生改變并滿足某個條件后，可快速進入到下一個階段，直至滿足平衡階段條件為止。這個過程本文運用積分分離式PID控制算法，可保證最快的速度和最平穩(wěn)的轉(zhuǎn)換，同時保證較高的控制精度。

4 結(jié)束語

現(xiàn)有多連桿機械臂控制方法中，由于精度低、效率低等問題，導致機器人整體工作效率難以提升，因此，本文提出一種基于積分分離式PID的三連桿機械臂傳動控制方法。將機械臂的運動階段劃分為3個階段，當滿足某一階段條件時進入到該階段，直至進入到平衡階段為止。此時機械臂擁有著最大勢能，且保持該階段狀態(tài)直至作業(yè)結(jié)束。通過與其他方法展開對比實驗測試，本文方法的機械臂傳動控制誤差小，控制效率高，驗證了本文方法的合理性和可行性。