華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 何小亞

2022年4月21日,千呼萬喚、萬眾期待的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》[1](以下簡稱為“課標”)登上了歷史舞臺,大眾終于可以一睹其神秘面紗之后的芳容.這次修訂有三大亮點:一是把義務(wù)教育和高中教育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)一為“三會”,避免了義務(wù)教育與高中教育各搞一套核心素養(yǎng)的尷尬;二是培養(yǎng)“四能”(即發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力)要求與國際數(shù)學(xué)教育的趨勢接軌;三是強化課程育人導(dǎo)向,優(yōu)化課程內(nèi)容結(jié)構(gòu),增加了學(xué)業(yè)質(zhì)量標準.盡管義務(wù)教育課程方案和課程標準修訂是通過各級專家的預(yù)審、審議以及審核來保證其思想性和科學(xué)性,但考慮到這是一項影響廣泛的國家文件,必須精益求精,要經(jīng)得起大眾的拷問.

真理越辯越明,希望大家都來關(guān)注這件數(shù)學(xué)教育大事,如果大家都不管不顧,明哲保身,做好好先生,那么怎么能促進天朝數(shù)學(xué)教育事業(yè)的蓬勃發(fā)展,實現(xiàn)偉大的“中國夢”?為了使“課標”更完善、更科學(xué)、更具有實操性.下面,就“課標”的課程性質(zhì)、課程理念、課程目標、學(xué)業(yè)質(zhì)量和行為動詞中存在的一些困惑,提出自己的一些想法,供廣大的數(shù)學(xué)教育工作者批評指正.

1.關(guān)于課程性質(zhì)的反思

“課標”在此部分闡述了數(shù)學(xué)是什么,數(shù)學(xué)的來源,數(shù)學(xué)的作用,但并沒有揭示數(shù)學(xué)最深層的本質(zhì)特點.說“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象”并沒有講清楚數(shù)學(xué)的本質(zhì)來源?請問:你為什么要“抽”?你“抽”什么?你怎么“抽”?自然數(shù)的加法交換律、同底數(shù)冪運算法則、歐拉線、Ptolemy 定理、Ceva 定理源自于現(xiàn)實世界嗎?大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理完全源自于純數(shù)學(xué)自身邏輯演繹的發(fā)展,誰知道它們與當時的現(xiàn)實世界的關(guān)系?數(shù)學(xué)是超前于現(xiàn)實世界的,數(shù)學(xué)是創(chuàng)造新世界的模型!

不管是學(xué)數(shù)學(xué)還是教數(shù)學(xué),一定要從數(shù)學(xué)學(xué)科自身特有的本質(zhì)入手.那么數(shù)學(xué)這門學(xué)科有別于其余學(xué)科的本質(zhì)特點是什么呢?筆者認為,追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)是因為人類追求簡單而誕生的.沒有對簡單化的追求,何來數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系、空間形式和模式的科學(xué).數(shù)學(xué)自身獨有的、有別于其余學(xué)科的特點是:精確、嚴謹、簡潔、概括、統(tǒng)一,而不是什么讓人望而生畏的“高度的抽象性”,容易令人誤解的“嚴密的邏輯性”(邏輯還有嚴密與不嚴密之分?),以及正確的廢話“應(yīng)用的廣泛性”.數(shù)學(xué)之所以應(yīng)用那么廣泛,那是因為數(shù)學(xué)是精確的、嚴謹?shù)摹⒑啙嵉?、概括的、統(tǒng)一的.數(shù)學(xué)美在何處?美在精確!美在嚴謹!美在簡潔!美在概括!美在聯(lián)系統(tǒng)一!數(shù)學(xué)的這五大特點決定了數(shù)學(xué)就是生產(chǎn)力,數(shù)學(xué)就是財富,是獨立于社會科學(xué)和自然科學(xué)之上的學(xué)科.[2]

2.關(guān)于課程理念的反思

“課標”提了五條課程理念:(1)確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標;(2)設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容;(3)實施促進學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動;(4)探索激勵學(xué)習(xí)和改進教學(xué)的評價;(5)促進信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合.

第一條理念中的“核心素養(yǎng)”是面向所有學(xué)科的學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng),還是數(shù)學(xué)學(xué)科自身特有的核心素養(yǎng),沒有說清楚.在后面的“課程目標”中“核心素養(yǎng)”被界定為“三會”.如此看來,“課標”中的“核心素養(yǎng)”不是國家的學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng).從國家教育的層面說,數(shù)學(xué)學(xué)科是為實現(xiàn)國家的學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)目標服務(wù)的,“課標”應(yīng)該明確國家的要求:核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中,逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.核心素養(yǎng)是知識、能力和態(tài)度等的綜合表現(xiàn).在數(shù)學(xué)學(xué)科中,就是要倡導(dǎo)“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)、“四能”和情感態(tài)度價值觀.

第二條理念說,課程內(nèi)容要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征.請問數(shù)學(xué)學(xué)科的特征是什么?這是中小學(xué)一線老師也是教材編寫者最想知道的內(nèi)容.十分遺憾,“課標”在此沒有回答,在課程性質(zhì)中也沒有講清楚.為什么不直接指出:數(shù)學(xué)源自于人類對簡單化的追求,數(shù)學(xué)是精確的、嚴謹?shù)摹⒑啙嵉?、概括的、統(tǒng)一的?

高中的數(shù)學(xué)課程標準[3]提出了四條理念:(1)學(xué)生發(fā)展為本,立德樹人,提升素養(yǎng);(2)優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出主線,精選內(nèi)容;(3)把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進教學(xué);(4)重視過程評價,聚焦素養(yǎng),提高質(zhì)量.這四條理念的內(nèi)容與“課標”的前四條理念本質(zhì)上是一致的.與小學(xué)初中數(shù)學(xué)的學(xué)與教相比,高中的統(tǒng)計、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模更需要信息技術(shù)的支持,和高中相比,小學(xué)初中的數(shù)學(xué)教育更需要強調(diào)立德樹人,否則就晚了.小學(xué)初中的數(shù)學(xué)課程及教學(xué)更需要突出本質(zhì)、加強聯(lián)系,否則就解決不了目前十分普遍的數(shù)學(xué)教學(xué)問題.

例如,三年級“倍的認識”這一課,教材的編寫、教師的教學(xué)居然沒有搞清楚“倍的認識”要認識什么.熱熱鬧鬧了40分鐘,還是停留在紅蘿卜、白蘿卜、黃蘿卜上,把祖國的花朵當傻子一樣來教.給我25分鐘足矣.本節(jié)課的靈魂主線是:追求簡單化!為了快速計數(shù),我們來研究兩個自然數(shù)的關(guān)系.每人發(fā)一個裝滿50 顆小星星的袋子,大家比賽看誰先數(shù)完.小亞同學(xué)1 顆1 顆地數(shù),數(shù)了50 次,50 是1 的50 倍;中亞同學(xué)2 顆2 地數(shù),數(shù)了25 次,50 是2 的25 倍;大亞同學(xué)5 顆5顆地數(shù),數(shù)了10 次,50 是5 的10 倍.再加三個類似的例子來突出數(shù)學(xué)本質(zhì):要想知道較大的數(shù)N是較小的數(shù)n的幾倍,就n顆n顆地數(shù),數(shù)了幾次就可以知道大N是小n的幾倍.

比如,五年級的“平均數(shù)的再認識”,又認識了一節(jié)課,還沒有回答好這些問題:為什么要學(xué)習(xí)平均數(shù)?它有什么作用?平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)都有什么關(guān)系?如何準確快速地計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?

又比如,四年級的“烙餅”課,老師的教學(xué)停留在低級的具體實物餅操作,并沒有把解決問題的方法上升為更簡單的數(shù)學(xué)表示:記此三張餅分別為A、B、C,第1分鐘,A 正B 正;第2分鐘,C 正B 反;第3分鐘A 反C 反.更沒有使學(xué)生明白:偶數(shù)張餅如何烙?奇數(shù)張餅如何烙?也沒有說出最優(yōu)化的價值,更沒有總結(jié)出數(shù)學(xué)的靈魂——追求簡單化!

再比如,九年級的解一元二次方程,大多數(shù)教師只能就方法說方法,居然沒有去解決、強化配方法、公式法的必要性問題:為什么要學(xué)習(xí)配方法、公式法?也沒有去突顯解方程的本質(zhì)——化歸思想:高次化低次,低到一次;多元化少元,少到一元.更沒有把追求簡單化這一數(shù)學(xué)靈魂貫穿課堂始終.如此教法,怎么可能使學(xué)生感受到“配方法”“公式法”的必要性與其強大的“威力”——概括性(僅以一個有限的方法模式,就可以駕馭、搞定無窮多個具體方程的解法!)?又怎么能實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的第三層次目標——情感態(tài)度價值觀目標?最終,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,減少數(shù)學(xué)對學(xué)生的“傷害”還是成了一句空話!

對于基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程理念,如果我們不能從本質(zhì)上區(qū)分,就沒有必要小學(xué)初中搞一套,高中另搞一套.目前,可以把兩套理念統(tǒng)一為:

育人理念:以人為本,提升素養(yǎng),立德樹人.

內(nèi)容理念:以質(zhì)為本,加強聯(lián)系,精選內(nèi)容.

教學(xué)理念:興趣為本,啟發(fā)思考,改進教學(xué).

評價理念:素養(yǎng)為本,多元評價,促進發(fā)展.

信技理念:意識為本,融入課程,理解數(shù)學(xué).

信息技術(shù)理念,不要為了信息技術(shù)而信息技術(shù),一定要凸顯信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教育服務(wù)的本質(zhì)定位.建議調(diào)整為:以增強有效地利用信息技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識為根本,提供信息技術(shù)支持下豐富的學(xué)習(xí)資源和教學(xué)資源,倡導(dǎo)基于信息技術(shù)的概念理解、原理運用、問題解決的創(chuàng)新教學(xué)活動,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的深刻理解.

3.關(guān)于課程目標的反思

3.1 何為核心素養(yǎng)?

“標準”從核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、總目標和學(xué)段目標來闡述課程目標.遺憾的是,這么重要的關(guān)鍵詞“核心素養(yǎng)”,居然沒有內(nèi)涵的描述,我們不知道是學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)還是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“課標”回避了高中六條核心素養(yǎng)的不合理性問題以及它與小學(xué)初中的十條核心素養(yǎng)(即十個關(guān)鍵詞)不統(tǒng)一的狀況.運用揭示外延的方式,把核心素養(yǎng)定義為“三會”,即:會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.由其內(nèi)容知道,這說的就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).大概是為了不和高中數(shù)學(xué)課程標準沖突,就省略不寫“數(shù)學(xué)”二字.

其實,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵可以描述為:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一些重要的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng),而數(shù)學(xué)素養(yǎng)是滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力,是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體.其構(gòu)成要素包括數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀;數(shù)學(xué)素養(yǎng)可以由低到高分成數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)過程和方法、數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀這三個層次;數(shù)學(xué)素養(yǎng)的行為表現(xiàn)是,理解基本的數(shù)學(xué)概念和原理,具備一定的運算、數(shù)學(xué)化、推理能力,能運用數(shù)學(xué)解決問題,會用數(shù)學(xué)語言來表達和交流,形成良好的數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀.[4]

3.2 何為現(xiàn)實世界?

從“課標”對“三會”的內(nèi)容的描述中可以看出,所說的“現(xiàn)實世界”不含純數(shù)學(xué)世界,而只是自然現(xiàn)象、現(xiàn)實背景、實際情境、生活實踐和其它學(xué)科這些真實世界的內(nèi)容.數(shù)學(xué)研究的對象有兩類,一是真實世界,二是純數(shù)學(xué)世界.教數(shù)學(xué)只是教會學(xué)生觀察真實世界,不教會學(xué)生觀察純數(shù)學(xué)世界?

數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家Hans.Freudenthal 早就指出[5]:學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化,教數(shù)學(xué)就是教會學(xué)生數(shù)學(xué)化.

數(shù)學(xué)化被分成兩種:一是水平數(shù)學(xué)化(horizontal mathematization),即從生活世界中簡化出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理等數(shù)學(xué)模式的過程,是從“生活世界”到“數(shù)學(xué)世界”的轉(zhuǎn)化過程;二是垂直數(shù)學(xué)化(vertical mathematization):即從現(xiàn)有的純數(shù)學(xué)世界中簡化出更高級的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理等數(shù)學(xué)模式的過程,是從低層數(shù)學(xué)到高層數(shù)學(xué)的過程.數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程,即學(xué)習(xí)如何進行公理化、形式化、圖式化、模型化,以及學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部由低級向高級的發(fā)展過程.

建議把“現(xiàn)實世界”修改為“世界”.這個“世界”=真實世界+數(shù)學(xué)世界.如此,就能和高中的“三會”統(tǒng)一起來.

3.3 何為數(shù)學(xué)的眼光?

在說明“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”這一條核心素養(yǎng)時,沒有明確什么是數(shù)學(xué)的眼光.更遺憾的是,描述數(shù)學(xué)眼光時,只說了從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)學(xué)的眼光,漏掉了另外一種研究純數(shù)學(xué)、推動其發(fā)明創(chuàng)造的眼光.

數(shù)學(xué)的研究對象有兩類,一是真實世界,二是數(shù)學(xué)世界.另外,數(shù)學(xué)化的內(nèi)容主要有三類:一是問題,二是數(shù)學(xué)概念,三是數(shù)學(xué)原理.于是數(shù)學(xué)化的內(nèi)容就可以細分為兩類六種:一是在真實世界中利用理想化和數(shù)學(xué)表示提出數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理,這個叫水平數(shù)學(xué)化.數(shù)學(xué)建模是一種很重要的水平數(shù)學(xué)化,可以將其單列出來討論;二是在數(shù)學(xué)世界中利用共性化和數(shù)學(xué)表示提出更高級的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理,這個叫垂直數(shù)學(xué)化.[6]

數(shù)學(xué)眼光,就是觀察數(shù)學(xué)世界和真實世界的一種意識,是在思考問題時數(shù)學(xué)方面的自覺意識、關(guān)注和思維習(xí)慣.它包括:數(shù)學(xué)科學(xué)視角下精確的眼光、嚴謹?shù)难酃狻⒑啙嵉难酃?概括的眼光、統(tǒng)一的眼光;數(shù)學(xué)化視角下理想化的眼光(將實體簡化假設(shè)為幾何模式或代數(shù)模式.比如,一個真實世界中的哥尼斯堡七橋問題被理想化為平面上的一筆畫問題.)、共性化的眼光(對共同屬性的敏感、直覺和發(fā)現(xiàn),通俗地說,就是“事不過三”的意識.比如小學(xué)生觀察純數(shù)學(xué)世界中自然數(shù)的加法、偶數(shù)的分拆而發(fā)現(xiàn)加法交換律、哥德巴赫猜想);意識視角下的數(shù)學(xué)眼光:數(shù)的意識、符號的意識、空間觀念、數(shù)據(jù)分析的意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識.[7]

“課標”把數(shù)學(xué)眼光的表現(xiàn)描述為抽象能力(包括數(shù)感、量感、符號意識).對此,筆者有如下諸多想法:

首先,希望老師們不要把數(shù)感、量感、符號意識誤解一些能力.數(shù)學(xué)眼光是一種意識,而意識可不是什么能力,不能把二者混為一談.

其次,從“課標”對量感的界定看出,量感的內(nèi)容屬于“度量”概念的理解范疇,把一個“度量”概念的理解作為小學(xué)的核心素養(yǎng)之一的必要性與合理性何在?按照此邏輯,也可以把數(shù)學(xué)中比“量感”更重要的概念(例如,比和比例)的理解(“比感”)也列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).再說,初中的要求更高,更需要深刻理解長度度量、面積度量、體積度量、角度度量的本質(zhì),為什么反而不提量感了?

“課標”用了155 字來解釋量感,但沒有揭示出中小學(xué)度量的本質(zhì).度量源自于人類數(shù)量大小比較的需要.長度度量的本質(zhì)是以短量長、面積度量的本質(zhì)是以小片量大片、體積度量的本質(zhì)是以小坨量大坨、角度度量的本質(zhì)是以小角量大角.這些度量的本質(zhì)都是“以小量大”[8]從大學(xué)的角度看,在一個集合中測量兩個元素間的距離,就產(chǎn)生了度量,其本質(zhì)上就是具有非負性、對稱性和三角形不等式性質(zhì)的度量空間上的距離函數(shù).而測量集合的“大小”,就產(chǎn)生了測度,其本質(zhì)是具有非負性、規(guī)范性和可列可加性的測度空間上的集合函數(shù).

根據(jù)“課標”對數(shù)感內(nèi)容的描述,量感可以歸屬于數(shù)感,沒必要再分離出來.

第三,符號意識其實就是代數(shù)眼光.教代數(shù),最重要的是要教會學(xué)生一種極其重要的代數(shù)眼光,即:以數(shù)的眼光看待代數(shù)字母和代數(shù)式.

對于代數(shù)字母a,一要會“看死a”:把a理解為一個確定的數(shù)值,a就是一個具體的數(shù),“小鮮數(shù)”,不要在心理再問a=?;

二要會“看活a”:看活a,它就是一個變數(shù)、變量,可大,可小,可正,可負;

三要跳出代數(shù)看a,理解它在四種空間中的幾何意義:a是某一點的坐標,某一線段的長度,某一圖形的面積,某一幾何體的體積,這些度量的正負是有意義的,表明了對象所處的方位;

四要看破代數(shù)字母之間的等價性:表示數(shù)的所有字母的變與不變的雙重性質(zhì)都是一樣的,a≡b≡c≡···≡x≡y≡z.不要總是默認a、b、c是常數(shù),x、y、z是未知數(shù)、是變量,x是自變量、y是因變量.

只要一說方程、不等式、函數(shù),就要先明確誰是未知數(shù)、自變量!請把教材、習(xí)題、中高考試卷中的“解方程:”“解不等式:”修改為“解關(guān)于的方程:”“解關(guān)于的不等式:”我們已經(jīng)誤導(dǎo)了學(xué)生70 余年,是時候正本清源了!

對于代數(shù)式(3a+b)/(3a?b),一要會“看死它”——以數(shù)的眼光看代數(shù)式的壓縮眼光:把它理解為一個確定的數(shù)值,它就是一個具體的數(shù),不要在心理再問怎么計算?它等于多少?教師可以這樣教學(xué)生:a是不是表示1個數(shù)?3a是不是1個數(shù)?b是不是1個數(shù)?那么3a+b是不是1個數(shù)?3a?b是不是1個數(shù)?這兩個數(shù)進行有意義的相除,結(jié)果是不是1個數(shù)?表示1個數(shù)最簡單的方式是什么?所以,為了簡潔,為了節(jié)省筆墨紙張和人力物力,可否把(3a+b)/(3a?b)壓縮簡化記為t?哈哈哈,你現(xiàn)在明白為什么數(shù)學(xué)就是財富了吧!

二要會“看活它”:看活它,它就是一個變數(shù)、變量,其值由字母a、b的取值確定,只要給定一組確定的數(shù)值a、b,經(jīng)過有限次的有意義的加減乘除,就算出唯一的1個數(shù)(在學(xué)習(xí)函數(shù)和高等數(shù)學(xué)之前,就把多元函數(shù)結(jié)構(gòu)思想滲透其中);

三要跳出代數(shù)看它,理解它在四種空間中的幾何意義:它是某一點的坐標,某一線段的長度,某一圖形的面積,某一幾何體的體積,某條直線的斜率,這些度量的正負是有意義的.

3.4 何為數(shù)學(xué)思維?

“課標”在第二會“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”中,解釋了數(shù)學(xué)思維的作用:可以揭示、構(gòu)建邏輯聯(lián)系,可以解決兩種問題,可以問題求解和系統(tǒng)設(shè)計,形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神.遺憾的是“課標”并沒有回答什么是數(shù)學(xué)思維.更遺憾的是“課標”對數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)的描述只提到了數(shù)學(xué)邏輯思維,而且其描述不夠全面,也不具體.最大的遺憾是少了數(shù)學(xué)形象思維這一大領(lǐng)域.

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)學(xué)世界中的空間形式、數(shù)量關(guān)系、模式結(jié)構(gòu),以及真實世界中的問題,我們稱它們?yōu)閿?shù)學(xué)對象.數(shù)學(xué)思維是以數(shù)學(xué)對象為思維對象,以數(shù)學(xué)語言符號為思維載體,并以認識、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律和解決問題為目的一種思維.數(shù)學(xué)思維主要包括數(shù)學(xué)邏輯思維和數(shù)學(xué)形象思維.

數(shù)學(xué)邏輯思維是按邏輯規(guī)則對概念、判斷、推理等言語信息進行加工處理得出新的數(shù)學(xué)判斷的思維.這里所說的邏輯包括形式邏輯和辯證邏輯兩方面的意義.

在形式邏輯方面,要求思維主體理解概念的內(nèi)涵和外延、概念間的關(guān)系、各種判斷或命題的結(jié)構(gòu),掌握基本的邏輯運算、推理規(guī)則和形式邏輯的基本規(guī)律(同一律、矛盾律、排中律、充足理由律),也就是說,在推理論證過程中,概念和判斷必須保持一致性,不要偷換概念,偷換論題,判斷不自相矛盾,不模棱兩可,要有充分的根據(jù).

在辯證邏輯方面,要求主體運用辯證的觀點(比如,客觀事物是不斷地運動、變化、發(fā)展著的;事物的發(fā)展變化遵循著對立統(tǒng)一規(guī)律、質(zhì)量互變規(guī)律和否定之否定規(guī)律.)去處理所面臨的問題.

數(shù)學(xué)邏輯思維在形式邏輯方面的表現(xiàn)形式主要有數(shù)學(xué)中的分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、歸納、演繹、系統(tǒng)化、證明、反駁等等.而在辯證邏輯方面則表現(xiàn)為思維過程的辯證法.其關(guān)鍵在于抓住數(shù)學(xué)中各式各樣的矛盾(如已知與未知、常量與變量、有限與無限、一般與特殊、直與曲,等等)進行分析轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化的策略一般有化陌生為熟悉、化繁為簡、正難則反、順推與逆推之結(jié)合、動與靜之轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、一般與特殊之互化.

數(shù)學(xué)形象思維是以數(shù)學(xué)表象為思維材料的思維.數(shù)學(xué)表象是人腦對數(shù)學(xué)對象進行形式結(jié)構(gòu)的特征概括而得到的觀念性形象,是過去認知結(jié)果的形象記憶.其形式主要包括數(shù)學(xué)表象的形成、數(shù)學(xué)表象的分解與組合、聯(lián)想和想象.[9]

因此,數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)是數(shù)學(xué)中的分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、歸納、演繹、系統(tǒng)化、證明、反駁、化歸(化陌生為熟悉、化繁為簡、正難則反、順推與逆推之結(jié)合、動與靜之轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、一般與特殊之互化),以及數(shù)學(xué)表象的形成、數(shù)學(xué)表象的分解與組合、聯(lián)想和想象.

理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的概括性(筆者喜歡將其說成“通殺性”,即:以一個有限的定義模式、原理結(jié)構(gòu)模式駕馭無窮的具體)是數(shù)學(xué)邏輯思維培養(yǎng)的核心內(nèi)容.與其余學(xué)科相比,為什么那么多網(wǎng)友受到數(shù)學(xué)傷害?為什么要把數(shù)學(xué)趕出高考?為什么許多公民認為,除了買菜計算之外,數(shù)學(xué)沒什么用,他們還經(jīng)常像中央電視臺著名主持人崔永元一樣做數(shù)學(xué)考試的噩夢:水池有一個進水管,5小時可注滿,池底有一個出水管,8小時可以放完滿池的水.如果同時打開進水管和出水管,那么多少小時可以把空池注滿.噩夢醒來去買西瓜,“小販樂得眉開眼笑,崔哥,我給你挑一個大的,一共是7 斤6 兩4,一斤是1 塊1 毛5,崔哥,你說是多少錢?我忽然失去控制,大吼一聲,少費話!”“抱歉!對我來說,數(shù)學(xué)是瘡疤,數(shù)學(xué)是淚痕,數(shù)學(xué)是老寒腿,數(shù)學(xué)是類風(fēng)濕,數(shù)學(xué)是股骨頭壞死,數(shù)學(xué)是心肌缺血,數(shù)學(xué)是中風(fēng),……,當數(shù)學(xué)是災(zāi)難時,它什么都是,就不是數(shù)學(xué).”[10]

數(shù)學(xué)不受大眾待見的主要原因是我們的數(shù)學(xué)思維教育出了問題.如果每一個數(shù)學(xué)教師能指出:數(shù)學(xué)好的人,更不用說數(shù)學(xué)家,從來不去心算7.64×1.15,并能示范引領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的概括性,感受到“以一個有限的模式駕馭無窮的具體”這一強大的簡化功能,感受數(shù)學(xué)是精確的、嚴謹?shù)?、簡潔的、概括的、統(tǒng)一的,那么,像崔永元這樣的學(xué)生還會深受數(shù)學(xué)之苦嗎?

例如,一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以如此與學(xué)生互動分享自己對三角形面積公式的理解:請問世界上有多少個三角形?……,是啊,成千上萬,數(shù)不勝數(shù)!有胖有瘦,有大有小,大到宏觀世界中邊長是光年級別的三角形,小到微觀世界里邊長是納米級別的三角形,這么多無窮無盡的三角形面積的度量可以精確、嚴謹、簡潔、統(tǒng)一為一個模式——1/2 底乘高.

到了高年級還要追問:為什么三角形的面積是1/2 底乘高?為什么平行四邊形的面積是底乘高?為什么長方形的面積是長乘寬?什么叫面積?度量長度的本質(zhì)是什么?類似地,度量面積要我們?nèi)プ鍪裁?如何度量才簡單?自然數(shù)的計算和小數(shù)的計算哪一個簡單?怎樣把每一邊都量出整數(shù)單位?乘法與加法是什么關(guān)系?作為曾經(jīng)的數(shù)學(xué)正高級教師職稱評委組長,筆者問過幾個參評者,十分遺憾的是沒有一個參評老師能回答清楚前述的第一個問題.

數(shù)學(xué)思維的主要目的是解決問題.解決真實世界的問題屬于數(shù)學(xué)建模的范疇.數(shù)學(xué)建模就是運用理想化和數(shù)學(xué)表示的手段從實際問題中提煉概括出一個數(shù)學(xué)模型,求出模型的解,檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?從而使這一實際問題得以解決的過程.解決純數(shù)學(xué)問題,無論是證明題還是求解題,其思維本質(zhì)是尋求題設(shè)與目標之間的邏輯聯(lián)系,思維方法是:要學(xué)會順推——由因?qū)Ч?還要學(xué)會逆推——執(zhí)果索因,尋求目標成立的充分條件;更要學(xué)會將順推與逆推相結(jié)合統(tǒng)籌考慮——上下緊逼,前后夾攻,思路貫通!與數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理一樣,問題解決具有二重性,其對象性和過程性分別是前述的思維本質(zhì)和思維方法.

4.關(guān)于學(xué)業(yè)質(zhì)量的反思

既然數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標準是學(xué)業(yè)水平考試命題及評價的依據(jù),那么其科學(xué)性、層次性、操作性要得到保證.作為一個具有7年高考數(shù)學(xué)命題或命題組長和6年的中考數(shù)學(xué)命題評價經(jīng)驗的“業(yè)內(nèi)人士”,筆者想談一談自己基于命題實踐經(jīng)驗的看法.

首先,“課標”在學(xué)業(yè)質(zhì)量的內(nèi)涵中指出,學(xué)業(yè)質(zhì)量標準要以核心素養(yǎng)(即“三會”)為主要維度的說法值得商榷.“三會”是最高層次的宏觀要求,“標準”對“三會”中“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”都沒有做出全面、具體的描述,無法讓人按照“三會”去命制小學(xué)、初中的學(xué)業(yè)考試題.“三會”根本不具備操作性,只能作為導(dǎo)向,不能作為考試命題的主要維度.其次,“課標”提出可以從三方面去評估核心素養(yǎng)(即“三會”)達成情況:

(1)以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識主題為載體,在形成與發(fā)展“四基”的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等.

(2)從學(xué)生熟悉的生活與社會情境,以及符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中,在經(jīng)歷‘用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題,用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語言分析和解決問題’的過程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等.

(3)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運用、實踐探索活動的經(jīng)驗積累,逐步產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心,求知欲,以及對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心,初步養(yǎng)成獨立思考、探究質(zhì)疑、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣,初步形成自我反思的意識.

簡而言之,(1)是通過數(shù)學(xué)知識、“四基”來評價四個指標:抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念;(2)是通過情境、“三會”“四能”來評價三個指標:模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識;(3)是通過實踐活動、綜合實踐、課題學(xué)習(xí)來評估情感態(tài)度價值觀.

反思一:這樣的分類評價模型會出現(xiàn)用知識來評價前四個指標,似乎后三個指標不用借助于知識來評價的問題;

反思二:難道只有后三個指標通過“三會”“四能”來評價?前四個指標不是在“三會”“四能”的框架下來培養(yǎng)的?答案顯然是否定的.另外,“三會”明明是一級指標,二級指標中又出現(xiàn)一級指標,這種做法欠妥.

反思三:小學(xué)、初中(包括高中)的學(xué)業(yè)考試命題評價,還是要從業(yè)界熟悉的、具體的“三基”著手,因為七個指標太模糊了,不具實操性.

反思四:(3)說的是情感態(tài)度價值觀,但只講了寬泛的“基本活動經(jīng)驗、求知欲、興趣、自信、學(xué)習(xí)習(xí)慣、反思意識.”沒有給出具體的數(shù)學(xué)價值觀,也沒有明確數(shù)學(xué)的、具體的立德樹人功能,如此就無法去具體落實評價.

既然文[11]]已經(jīng)基本認同此觀點:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一些重要的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng),而數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指滿足學(xué)生自身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力,是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體現(xiàn).那么,就應(yīng)該承認數(shù)學(xué)素養(yǎng)是有層次的,可以由低到高分成數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)過程和方法、數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀這三個層次.于是,學(xué)業(yè)質(zhì)量評價標準應(yīng)該是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評,是分層次的操作性評價,而且是包含過程性評價與結(jié)果性評價的多元評價.評價的模型標準如下[12]:

A.知識與技能層次:知道什么?理解什么?會做什么?

這一維度指的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能.其內(nèi)容主要包括三類:一類是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理(即數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、公式、法則)、基本的數(shù)學(xué)事實結(jié)論這樣一些用于回答“是什么”問題的陳述性知識,它屬于言語信息,人們戲稱之為語文老師教的數(shù)學(xué);第二類是涉及到數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理、基本的數(shù)學(xué)事實結(jié)論的運用,用于回答“做什么”的問題的程序性知識,它屬于認知技能;第三類是數(shù)學(xué)操作性技能,它屬于動作技能.

知識技能目標分為四個層次:了解、理解、掌握、綜合運用(其內(nèi)涵見下一節(jié)).綜合運用的層次可以從知識點的多少與解題步驟的多少以及步驟間的跨度大小這三個維度去細分,也可以從正用、逆用和變用這三個維度去細分.

B.過程與方法層次:數(shù)學(xué)的思想、能力、問題解決、思維品質(zhì)、眼光和活動經(jīng)驗.

具體內(nèi)容是:通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,把握數(shù)學(xué)思想(比如,數(shù)學(xué)表示思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程思想、函數(shù)思想、一般化思想、特殊化思想、模型化思想、統(tǒng)計思想、隨機思想、微積分思想、公理化思想.);培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力(包括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的操作性定義,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,數(shù)學(xué)抽象的操作性定義見本文3.3 小節(jié));提高問題解決能力;改善數(shù)學(xué)思維品質(zhì)(廣闊性、深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、嚴謹性),發(fā)展數(shù)學(xué)眼光(內(nèi)涵及外延見本文3.3 小節(jié));積累基本活動經(jīng)驗.

基本活動經(jīng)驗是指經(jīng)歷一項數(shù)學(xué)基本活動后所獲得的意會知識(tacit knowledge).意會知識是指不能言傳的、不能系統(tǒng)表述的知識.意會知識是鑲嵌于實踐活動之中的,是情境性的和個體化的,只可意會,不可言傳.只有通過親身的活動體驗才能學(xué)會和提高.基本活動經(jīng)驗是否符合專業(yè)標準,取決于我們?yōu)閷W(xué)生提供了什么樣的活動.學(xué)生經(jīng)常打球,就獲得了打球的經(jīng)驗;經(jīng)常刷題,就獲得了刷題的經(jīng)驗;經(jīng)歷問題解決的過程,就獲得了問題解決的經(jīng)驗;經(jīng)歷了數(shù)學(xué)試算、猜想、探究、發(fā)現(xiàn)的過程,就積累了數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗.

C.情感態(tài)度價值觀層次:數(shù)學(xué)信念價值觀、數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好感受.

這里的情感是指,在數(shù)學(xué)活動過程中的比較穩(wěn)定的情緒體驗.數(shù)學(xué)態(tài)度是指,對數(shù)學(xué)活動、數(shù)學(xué)對象的心理傾向或立場.表現(xiàn)出興趣、愛好、喜歡與否、看法立場.

數(shù)學(xué)態(tài)度包括對數(shù)學(xué)學(xué)科的態(tài)度(數(shù)學(xué)信念)、對數(shù)學(xué)的興趣、對數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好.這一維度目標的內(nèi)容還包括宏觀的價值觀和數(shù)學(xué)審美觀,如:對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值的看法;辯證法的觀點;數(shù)學(xué)的美:精確之美、嚴謹之美、簡潔之美、概括之美、統(tǒng)一之美,以及奇異、對稱、和諧之美(數(shù)學(xué)的立德樹人功能見文[13]).

5．關(guān)于行為動詞的反思

2011年版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準如此界定這幾個行為動詞:

了解:從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征;根據(jù)對象的特征,從具體情境中辨認或者舉例說明對象.

理解:描述對象的特征和由來,闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系.

掌握:在理解的基礎(chǔ)上,把對象用于新的情境.

運用:綜合使用已掌握的對象,選擇或創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題.

公開發(fā)表的學(xué)術(shù)論文[14]早就完善了這樣的術(shù)語界定,并且給出了修改意見:

了解:能回憶出知識的言語信息;能辨認出知識的常見例證;會舉例說明知識的相關(guān)屬性.

理解:能把握知識的本質(zhì)屬性;能與相關(guān)知識建立聯(lián)系;能區(qū)別知識的例證與反例.

掌握:在理解的基礎(chǔ)上,能直接把知識運用于新的情境.

綜合運用:能綜合運用知識解決問題.

現(xiàn)在“課標”只把“掌握”改成“多角度理解和表征數(shù)學(xué)對象的本質(zhì),把對象用于新的情境.”事實上“了解”和“理解”講的是知識(主要是數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理)的心理意義的構(gòu)建,而“掌握”與“綜合運用”講的是知識的操作運用,不要把二者混為一談.第一句話講的是理解的內(nèi)容,應(yīng)該放在“理解中來表述”.

兩次修訂的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準都認為:

(1)了解的同類詞:知道,初步認識.實例:知道三角形的內(nèi)心和外心;能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù).

(2)理解的同類詞:認識,會.實例:認識三角形;會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖.

(3)掌握的同類詞:能.實例:能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù),能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置.

筆者不知道“知道”和“認識”的區(qū)別是什么,更不知道“會”和“能”有什么區(qū)別.一線老師、研究人員如何區(qū)別“初步認識”和“認識”?希望能矯正這些模糊不清、不具操作性的術(shù)語界定.

體現(xiàn)國家意志的數(shù)學(xué)課程標準要保證具有科學(xué)性、嚴謹性和權(quán)威性,否則會造成許多預(yù)料不到的影響.例如,在今年的畢業(yè)論文“中考數(shù)學(xué)試題與課程標準的一致性研究”答辯會上,筆者發(fā)現(xiàn)研究者引用了“課標”中的四種水平劃分標準“了解(知道)、理解(會、認識)、掌握(能)、證明(證明、應(yīng)用)”,答辯者根本回答不了其編碼的操作性問題,但在回答其科學(xué)性的理由時則大聲地說:“這是國家制定的標準!”專業(yè)術(shù)語的界定問題,導(dǎo)致了內(nèi)在信度與內(nèi)在效度極低的研究垃圾.

筆者想說的是,“課標”最終還是要由我們廣大的一線教師來理解和落實.希望大家對“課標”不要盲從,多聽一些不同的聲音.要想把“課標”修訂好,一定要充分吸納各層級有識之士參與研制,集思廣益,群策群力,如此才能保證其科學(xué)性、實操性和推廣性.

最后,筆者以現(xiàn)代管理學(xué)之父——Peter F.Drucker 的一句名言“沒有反對意見,就不要做決策!”與大家共勉!

致謝:感謝審稿人給本文提供了建設(shè)性意見.