福建省德化第一中學(xué)吳志鵬(362500) 吳志鵬

討論函數(shù)的單調(diào)性?等價(jià)于分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性,通過(guò)解不等式獲得原函數(shù)的增、減區(qū)間,確定其單調(diào)性,但是在解不等式的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)與“參數(shù)”狹路相逢,面對(duì)“參數(shù)”,很多學(xué)生表現(xiàn)出無(wú)能為力,討論起來(lái)很困難,究其原因是找不著分類的標(biāo)準(zhǔn),稀里糊涂的,找不著北.那么如何能做到準(zhǔn)確分類?①熟悉模型,確定分類的標(biāo)準(zhǔn),做到有根有據(jù); ②在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論,做到“不重復(fù)也不遺漏”.下面就分類標(biāo)準(zhǔn)的確定作進(jìn)一步的闡述:

類型一:導(dǎo)函數(shù)含有確定值域的函數(shù)式

若導(dǎo)函數(shù)含有如x2,ex等確定值域的式子,對(duì)于此類含參式子的討論,我們可根據(jù)多個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)式子的和為非負(fù)實(shí)數(shù)或多個(gè)非正實(shí)數(shù)式子的和為非正實(shí)數(shù),確定分類標(biāo)準(zhǔn),如:

例1 (2020 高考全國(guó)卷文科節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x3?kx+k2,討論f(x)的單調(diào)性.

評(píng)析由于f′(x)=3x2?k,導(dǎo)函數(shù)中3x2≥0,根據(jù)兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)式子的和仍為非負(fù)實(shí)數(shù),只需讓?k≥0 即k≤0,此時(shí)f′(x)≥0,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增;而當(dāng)k >0 時(shí),則通過(guò)解不等式f′(x)=3x2?k >0 或f′(x)=3x2?k <0 得函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間,確定函數(shù)的單調(diào)性.即本題中參數(shù)k可按k≤0 和k >0 進(jìn)行分類.

解析當(dāng)k≤0 時(shí),f′(x)≥0 恒成立,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)k >0 時(shí),令f′(x)=0,得x=,令f′(x)<0,得?< x <令f′(x)>0,得x ,所以當(dāng)k≤0 時(shí),f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)k >0 時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增.

同型題(2021年高考全國(guó)卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a∈R,且a≠0),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

例2 (2017年高考全國(guó)卷理科節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a?2)ex?x,討論f(x)的單調(diào)性.

評(píng)析f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(aex?1)(2ex+1),因?qū)Ш瘮?shù)中2ex+1>0,所以我們只需討論aex?1 的符號(hào)即可,由ex >0,利用兩個(gè)非正數(shù)的和為非正數(shù),則當(dāng)aex非正時(shí),其與?1 的和為負(fù)數(shù),此時(shí)選取a≤0,從而確定參數(shù)a的討論標(biāo)準(zhǔn),分為a≤0和a>0 兩類進(jìn)行.

解析(ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(?∞,+∞)單調(diào)遞減.

(ⅱ)若a >0,由f′(x)=0 得x=?lna.當(dāng)x∈(?∞,?lna)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(?lna,+∞)時(shí),f′(x)>0.所以,當(dāng)a≤0,f(x)在(?∞,+∞)單調(diào)遞減; 當(dāng)a >0 時(shí)f(x)在(?∞,?lna)單調(diào)遞減,在x∈(?lna,+∞)單調(diào)遞增.

例3 (2017年高考全國(guó)卷文科節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex?a)?a2x,討論f(x)的單調(diào)性.

評(píng)析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞),f′(x)=2e2x?aex?a2=(2ex+a)(ex?a),此時(shí)導(dǎo)函數(shù)中ex >0,而兩個(gè)式中的a與?a的符號(hào)恰好相反,若a >0 則2ex+a >0,我們只需討論ex?a的符號(hào)即可,從而確定參數(shù)a的分類標(biāo)準(zhǔn),分為a<0,a=0 和a>0 三類情況.

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞),f′(x)=2e2x?aex?a2=(2ex+a)(ex?a),

①若a=0,則f′(x)=2e2x >0,在(?∞,+∞)單調(diào)遞增;

②若a >0,則由f′(x)=0 得x=lna,當(dāng)x∈(?∞,lna)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(?∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.

③若a <0,則由f′(x)=0 得x=ln(?a/2),當(dāng)x∈(?∞,ln(?a/2))時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(ln(?a/2),+∞)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(?∞,ln(?a/2))單調(diào)遞減,在(ln(?a/2),+∞)單調(diào)遞增.所以當(dāng)a=0 時(shí),f(x)在(?∞,+∞)在單調(diào)遞增; 當(dāng)a >0 時(shí),所以f(x)在(?∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.當(dāng)a <0時(shí),f(x)在(?∞,ln(?a/2))單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

類型二:導(dǎo)函數(shù)中存在含有參數(shù)的“二次三項(xiàng)式”

對(duì)于此類含參導(dǎo)函數(shù),討論起來(lái)稍微有點(diǎn)復(fù)雜,甚至有可能出現(xiàn)兩次確定分類標(biāo)準(zhǔn),很多學(xué)生甚感“無(wú)能為力”,對(duì)于此類含參的多項(xiàng)式,若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù),首先我們得明確其為二次式還是一次式?確定首輪分類標(biāo)準(zhǔn),即將二次式的系數(shù)以0 為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,而對(duì)于二次式系數(shù)為常數(shù)的則只需解二次不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,此時(shí)即把判斷二次不等式是否有解作為依據(jù),計(jì)算?≤0,得到參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),此過(guò)程需結(jié)合二次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)來(lái)確定,即根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)行討論.

例4 若函數(shù)f(x)=ax++lnx,討論函數(shù)的單調(diào)性.

評(píng)析f(x)的定義域(0,+∞),f′(x)=a?=,由于導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)含參的分式,分母x2>0,即可設(shè)分子h(x)=ax2+x?2 為一個(gè)二次項(xiàng)含參的多項(xiàng)式,則此處的分類標(biāo)準(zhǔn)為式子是否是二次式?分為a=0 和a≠0 兩類;當(dāng)a=0 解f′(x)>0 和f′(x)<0 得單調(diào)增(減)區(qū)間; 當(dāng)a≠0 時(shí),則需根據(jù)?≤0 和?>0 以及二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)來(lái)確定參數(shù)的討論標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)?=1+8a≤0即a≤?,結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)可分為a≤?,0 三類情形進(jìn)行討論.

解析(1)當(dāng)a=0 時(shí),h(x)=x?2,所以當(dāng)x∈(0,2),h(x)<0,即f′(x)<0,所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(2,+∞),h(x)>0,即f′(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增;

(2)當(dāng)a≠0,由于?=1+8a.

①若?=1+8a≤0,即a≤?時(shí),在x∈(0,+∞)上,即h(x)≤0 即,f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減;

由于導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)含參的分式,分母x2>0.設(shè)h(x)=x2?ax+1,則分子h(x)為一個(gè)含參的二次多項(xiàng)式且二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),此時(shí)可根據(jù)x2?ax+1=0 是否有解及解的情況來(lái)確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),即按?≤0 及?>0 分類,可確定參數(shù)按a2 進(jìn)行分類.

解析當(dāng)?2≤a≤2 則f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

當(dāng)a >2,令f′(x)=0 得,x1=或x2=>0.且x1< x2; 當(dāng)x∈(0,x1)和(x2,+∞)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)>0.所以f(x)在(0,x1),(x2,+∞)單調(diào)遞減,在(x1,x2)單調(diào)遞增.當(dāng)a

類型三:導(dǎo)函數(shù)中存在不確定大小的含參零點(diǎn)

對(duì)于此類導(dǎo)函數(shù),在分析不等關(guān)系時(shí),首先要弄清零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)?若零點(diǎn)均在定義域內(nèi),就是要判斷零點(diǎn)的大小,并以此為依據(jù)確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn).

例7 (2019年高考全國(guó)卷理科節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=2x3?ax2+b,討論f(x)的單調(diào)性.

評(píng)析由于函數(shù)的定義域?yàn)??∞,+∞),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得:f′(x)=6x2?2ax=6x(x?),此時(shí)的導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn),即0 和,為了求解不等式f′(x)>0 或f′(x)<0,我們需要判斷兩根的大小,即0 和的大小,找到參數(shù)a的分類標(biāo)準(zhǔn),即a <0,a=0 和a >0 三種情況進(jìn)行討論.

解析(1)由

得到:當(dāng)a <0 時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a=0 時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0 時(shí),f(x)在(?∞,0)區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

例8 求函數(shù)f(x)=(x?2)ex+(x?1)2+e(其中a∈R)的單調(diào)性.

評(píng)析易見(jiàn),

f′(x)=(x?1)ex+a(x?1)=(x?1)(ex+a),

觀察導(dǎo)函數(shù)可知式子ex+a中的ex >0,依據(jù)兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的和為非負(fù)實(shí)數(shù)可確定分類標(biāo)準(zhǔn)為a≥0 和a<0,當(dāng)a≥0時(shí),ex+a >0 恒成立; 而當(dāng)a <0 時(shí),ex+a=0 有根為x=ln(?a),此時(shí)需通過(guò)比較兩根的大小確定分類標(biāo)準(zhǔn).

解析易見(jiàn),

f′(x)=(x?1)ex+a(x?1)=(x?1)(ex+a).

(1)若a≥0 時(shí),ex+a >0 恒成立,所以當(dāng)x <1 時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1 時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

(2)若a<0 時(shí),令f′(x)=0 得x1=1 或x2=ln(?a);比較兩根可知:當(dāng)a=?e 時(shí),x1=x2; 當(dāng)?e< a <0 時(shí),x1>x2;當(dāng)a

①當(dāng)a=?e 時(shí),x2=ln(?a)=1=x1,f′(x)≥0,f(x)在R 上單調(diào)遞增,如圖1.

圖1

②若?e< a <0 時(shí),x2=ln(?a)<1=x1,當(dāng)ln(?a)< x <1 時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x >1 或x0,f(x)單調(diào)遞增,如圖2.

圖2

③若a 1=x1,當(dāng)1< x ln(?a)或x <1 時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,如圖3.

圖3

綜上所述,當(dāng)a≥0 時(shí),f(x)在(?∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增; 當(dāng)a=?e 時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞增; 當(dāng)?e< a <0 時(shí),f(x)在(ln(?a),1)單調(diào)遞減,在(?∞,ln(?a)),(1,+∞)單調(diào)遞增; 當(dāng)a

同型題(2021 全國(guó)高二單元測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=ln+a2x2?ax,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),討論含參函數(shù)的單調(diào)性,其關(guān)鍵點(diǎn)是確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),只有理清參數(shù)在函數(shù)中的意義,明白為什么要這樣分類,做到分類要有依有所據(jù),才能條理清晰,以上三類例題為我們學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性討論,參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的確定提供了有價(jià)值的示范.