劉長釗，張 鐵，宋 健，尹顯頌，葛帥帥，2

（1.重慶大學(xué)，機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2.重慶理工大學(xué)車輛工程學(xué)院，重慶 400054）

前言

近年來純電動汽車成為研究的熱點(diǎn)，而電驅(qū)動系統(tǒng)作為純電動汽車的心臟，取消了聯(lián)軸器和離合器，這不僅提高了系統(tǒng)的傳動效率，還降低了整車體積和質(zhì)量。但是，電機(jī)轉(zhuǎn)子和齒輪系統(tǒng)直接耦合的方式容易造成齒輪嚙合狀態(tài)惡化，產(chǎn)生較大的振動和噪聲。同時，電驅(qū)動系統(tǒng)內(nèi)存在多源復(fù)合激勵，如電磁轉(zhuǎn)矩、時變嚙合剛度、齒輪誤差和箱體柔性等，且電機(jī)電磁特性與齒輪內(nèi)激勵特性存在交互作用，使得電驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)特性更加復(fù)雜。因此，研究電驅(qū)動系統(tǒng)振動產(chǎn)生機(jī)理，特別是研究多源復(fù)合激勵對電驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，對提高系統(tǒng)集成設(shè)計能力和優(yōu)化能力具有重要意義。

針對電動汽車齒輪系統(tǒng)，Setiawan等［1］通過建立變速器的數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)分析了變速器的瞬態(tài)動力學(xué)響應(yīng)。Hou等［2］建立了考慮傳動系統(tǒng)柔性的動力學(xué)模型，分析了齒輪腹板和輪緣厚度對齒輪動態(tài)嚙合力矩的影響。Dabrowski等［3］建立了行星齒輪箱剛?cè)狁詈夏Ｐ?，研究了傳遞誤差和齒輪制造誤差對箱體振動的影響。紀(jì)顯奇［4］建立了行星齒輪傳動系統(tǒng)模型，研究了齒輪傳遞誤差對傳動系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。段元旺［5］利用有限元法研究了兩擋變速器的動力學(xué)特性。陶慶等［6］研究了行星齒輪傳動系統(tǒng)在不同齒圈厚度下的固有頻率。以上學(xué)者主要研究齒輪傳動系統(tǒng)的固有特性和動態(tài)特性，但對機(jī)電耦合的研究不足。

針對電機(jī)模型，邱家俊等［7］研究了電機(jī)啟動時轉(zhuǎn)子軸在交變電磁力矩作用下的振動特性。Park等［8］利用傳遞矩陣法建立了電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究結(jié)果表明機(jī)電耦合系統(tǒng)的振動響應(yīng)幅值比純機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)幅值大。Mandic等［9］通過主動控制減小了電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動。Xiang等［10］研究了在不平衡磁拉力作用下永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性和頻響特性。陳星［11］建立了車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子軸系動力學(xué)模型，研究了電磁參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對轉(zhuǎn)子振動的影響規(guī)律。左曙光等［12］建立了考慮定子各向異性的永磁同步電機(jī)模型，通過優(yōu)化定子軛的厚度來降低電機(jī)振動的峰值。以上研究建立了電機(jī)轉(zhuǎn)子振動機(jī)電耦合模型，但對于一體化電驅(qū)動系統(tǒng)，電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩通過轉(zhuǎn)子傳遞到齒輪傳動系統(tǒng)，電機(jī)和齒輪系統(tǒng)的耦合作用比單轉(zhuǎn)子的耦合問題更加復(fù)雜，因此需要建立一個計入齒輪傳動系統(tǒng)的機(jī)電耦合動力學(xué)模型。

針對電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)機(jī)電耦合特性，于蓬等［13］建立了考慮結(jié)構(gòu)柔性的電動汽車傳動系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)模型，研究了控制策略對多物理場耦合作用下系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。Hu等［14］建立了電機(jī)和傳動系統(tǒng)耦合的瞬態(tài)動力學(xué)模型，利用一種主動阻尼控制策略抑制了傳動系的扭轉(zhuǎn)振動。Fan等［15］建立了雙電機(jī)耦合驅(qū)動系統(tǒng)（DCDS）的動力學(xué)模型，研究了齒輪嚙合剛度和電磁激勵對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。Yi等［16］建立了包含電機(jī)的多級齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了電磁扭轉(zhuǎn)剛度對系統(tǒng)固有特性的影響。葛帥帥等［17］建立了電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)模型，分析了典型工況下齒輪系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)特性和定子電流的動態(tài)響應(yīng)特性，結(jié)果表明電機(jī)和齒輪系統(tǒng)之間存在強(qiáng)耦合效應(yīng)。Chen等［18］建立了開關(guān)磁阻—行星齒輪電驅(qū)動系統(tǒng)模型，研究了萬向節(jié)對系統(tǒng)特性的影響，結(jié)果表明引入萬向節(jié)會增強(qiáng)電機(jī)與行星輪系統(tǒng)之間的耦合效應(yīng)。以上學(xué)者的機(jī)電耦合動力學(xué)特性的研究考慮了齒輪傳動系統(tǒng)和電機(jī)系統(tǒng)的內(nèi)激勵，但齒輪系統(tǒng)與電機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)模型進(jìn)行了相應(yīng)簡化，忽略了軸段、殼體柔性以及電機(jī)電磁徑向力的影響。

純電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)是高度集成的機(jī)電系統(tǒng)，因此本文提出了一種適用于變速等非穩(wěn)態(tài)工況且綜合考慮電磁激勵、齒輪內(nèi)激勵以及一體化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的機(jī)電耦合動力學(xué)模型，研究了穩(wěn)態(tài)和加速工況下多源激勵對電驅(qū)動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

1 電驅(qū)動系統(tǒng)耦合動力學(xué)建模

圖1為純電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖，主要分為永磁同步電機(jī)、齒輪傳動系統(tǒng)和箱體3部分。

圖1 純電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 永磁同步電機(jī)動力學(xué)建模

本文采用有限元法建立永磁同步電機(jī)模型，首先利用有限元軟件導(dǎo)出電機(jī)的徑向和切向磁通密度，然后根據(jù)Maxwell應(yīng)力張量理論，得到徑向和切向電磁力密度p（rθ，t）、p（tθ，t）：

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率，為4π×10-7H/m；br、bt分別為徑向和切向氣隙磁密。圖2為電機(jī)的徑向和切向電磁力密度時空分布圖，將得到的電磁力密度在定子齒所在的區(qū)間上積分，即可得定子齒所受的集中電磁力。

圖2 電機(jī)電磁力密度

圖3為第n個定子齒的受力分析圖，為便于與箱體耦合，將集中電磁力轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變換矩陣如式（2）所示。其中：Frn、Ftn分別為第n個定子齒所受徑向和切向電磁力；Fxn、Fyn、Fzn分別為直角坐標(biāo)系下x、y、z方向上的力。

圖3 電機(jī)定子齒受力分析

1.2 旋轉(zhuǎn)構(gòu)件和箱體有限元縮聚模型

1.2.1 模態(tài)縮聚理論

系統(tǒng)的運(yùn)動方程由式（3）表示，其中：M、Cd、K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；u為位移矢量；F為載荷矢量。

式（3）可在模態(tài)坐標(biāo)下解耦，如式（4）所示。其中：yj為系統(tǒng)第j階模態(tài)坐標(biāo)；ξj、ωj分別為第j階模態(tài)阻尼比和模態(tài)頻率；Φj為第j階振型矢量；ndof為總自由度數(shù)。

高階模態(tài)的影響一般是有限的，為簡化計算，可求解式（4）的前n個方程，則得到狀態(tài)方程：

其中：

式中：y是模態(tài)坐標(biāo)向量；w是系統(tǒng)的集中節(jié)點(diǎn)位移列陣分別是狀態(tài)空間矩陣。

1.2.2 有限元縮聚模型

圖4為電機(jī)轉(zhuǎn)子軸集中節(jié)點(diǎn)劃分示意圖。其中：轉(zhuǎn)子縮聚節(jié)點(diǎn)用于輸入電磁轉(zhuǎn)矩；軸頸縮聚節(jié)點(diǎn)1、2用于耦合軸承單元；齒輪縮聚節(jié)點(diǎn)用于建立嚙合單元。

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)子軸縮聚模型主節(jié)點(diǎn)劃分

中間軸和差速器殼體集中節(jié)點(diǎn)劃分如圖5所示，集中節(jié)點(diǎn)分別為軸頸和各齒輪的理論中心。

箱體主要集中節(jié)點(diǎn)劃分如圖6所示，箱體通過集中節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)其它部件進(jìn)行耦合。

圖6 箱體縮聚模型主節(jié)點(diǎn)劃分

1.3 平行軸斜齒輪動力學(xué)建模

圖7為主動輪右旋且繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)的斜齒輪副6自由度動力學(xué)模型。齒輪副沿嚙合線方向的總變形δ為

圖7 斜齒輪嚙合模型

式中：xi、yi、zi分別為齒輪（ii=1、2）在x、y、z方向上的平移位移；θxi、θyi、θzi分別為齒輪（ii=1、2）在x、y、z方向上的角位移；φ為主動輪上垂直于嚙合面的半徑與x正方向的夾角；rb1、rb2分別為主、從動輪的基圓半徑；γ為嚙合線與x軸正向的夾角；βb為基圓螺旋角；em為齒輪誤差；km為嚙合剛度。

本文將齒輪副的時變嚙合剛度表達(dá)為齒輪角位移的函數(shù)，并使之用于變速過程。同時考慮齒輪加工過程中的誤差，用偽隨機(jī)數(shù)來模擬齒輪誤差激勵，圖8和圖9分別為一級齒輪副的時變嚙合剛度和齒輪誤差激勵。

圖8 一級齒輪副時變嚙合剛度

圖9 一級齒輪副齒輪誤差

考慮齒側(cè)間隙后齒輪副沿嚙合線方向的總變形如式（7）所示。

式中：δ、δ′分別為考慮齒側(cè)間隙前后齒輪副沿嚙合線方向的總變形；b為齒側(cè)間隙。

1.4 差速器動力學(xué)建模

直齒錐齒輪副的嚙合模型如圖10所示。其中：rbj是直齒錐齒輪j的嚙合點(diǎn)半徑；δb為錐齒輪節(jié)錐角；αn為法面壓力角；k、c、e分別為嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合齒輪誤差。

圖10 直齒錐齒輪嚙合模型及受力分析

則直齒錐齒輪副沿嚙合線的相對總變形為

差速器動力學(xué)模型如圖11所示。圖中建立了3個坐標(biāo)系：（1）靜止坐標(biāo)系OXYZ；（2）隨差速器殼體轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)系oxyz；（3）原點(diǎn)位于行星齒輪中心的動坐標(biāo)系opnxpnypnzp（nn=1，2，…，N，N是行星齒輪個數(shù)）。其中：符號x、y、z、θ分別為x、y、z方向上的平移位移和角位移；下標(biāo)p、b、c分別代表行星齒輪、半軸齒輪、差速器殼體，以上構(gòu)件各方向上的位移都是在動坐標(biāo)oxyz中測量的；θc為差速器殼體在靜止坐標(biāo)系OXYZ中測得的轉(zhuǎn)角；φn是第n個行星齒輪的位置角，φn=2π（n-1）/N；Tm為作用在第m個半軸齒輪上的阻力矩。

圖11 差速器動力學(xué)模型

利用非慣性坐標(biāo)系的牛頓定律來獲得第m個（m=1，2）半軸齒輪的運(yùn)動微分方程，如式（9）所示。其中：mb、Jxb、Jyb和Jzb分別是半軸齒輪的質(zhì)量和繞自身x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量；FPB（x，y，z）bnm和MPB（x，y，z）bnm分別為行星齒輪作用在半軸齒輪上的力和力矩；下標(biāo)n（n=1，2）、m（m=1，2）分別代表第n個行星齒輪和第m個半軸齒輪；kxb、kyb、kzb、ktxb和ktyb分別為半軸齒輪在x、y、z、θxb、θyb向的接觸剛度；cxb、cyb、czb、ctxb和ctyb分別為半軸齒輪在x、y、z、θxb、θyb向的接觸阻尼；δbmcx、δbmcy、δbmcz、θδbmcx和θδbmcy分別表示第m個半軸齒輪與差速器殼體在各個方向的相對位移。

第n個行星齒輪的運(yùn)動微分方程如式（10）所示，式中各符號含義與式（9）中類似。

1.5 電驅(qū)動系統(tǒng)機(jī)電耦合模型

電驅(qū)動系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。根據(jù)永磁同步電機(jī)模型和傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，建立電驅(qū)動系統(tǒng)機(jī)電耦合模型，如圖12所示。

圖12 耦合系統(tǒng)動力學(xué)建模流程圖

表1 電驅(qū)動系統(tǒng)主要參數(shù)

系統(tǒng)各構(gòu)件之間以相互作用力和位移關(guān)系進(jìn)行耦合。電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩作為驅(qū)動力矩作用在轉(zhuǎn)子軸上，徑向和切向電磁力作用在與箱體耦合的定子齒上，負(fù)載力矩作用在差速器上；根據(jù)齒輪節(jié)點(diǎn)的位移和速度計算齒輪副嚙合力，且通過轉(zhuǎn)子軸和中間軸上的齒輪傳遞嚙合力；利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)件和箱體在軸承節(jié)點(diǎn)上的相對位移和相對速度來計算軸承的支反力，然后所有軸系通過軸承支反力與箱體耦合。

2 穩(wěn)態(tài)工況下系統(tǒng)動態(tài)特性研究

2.1 有限元驗(yàn)證縮聚模型正確性

為了從動力學(xué)角度驗(yàn)證箱體縮聚模型的正確性，在縮聚模型和有限元軟件中分別對箱體軸承集中節(jié)點(diǎn)2（位置見圖6）在X、Y、Z方向施加5 000 N的集中力。有限元軟件中計算得到集中節(jié)點(diǎn)2的變形位移其值為687.96 μm?？s聚模型中集中節(jié)點(diǎn)2的動態(tài)位移如圖13所示，兩者結(jié)果的相對誤差為4.38%，說明縮聚模型與有限元模型的計算結(jié)果吻合較好。

圖13 軸承集中節(jié)點(diǎn)2動態(tài)位移

在有限元軟件中設(shè)轉(zhuǎn)子軸轉(zhuǎn)速為1 000 rad/s，提取轉(zhuǎn)子軸外表面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)序號為35818）在徑向的變形位移，其值為2.51 μm，圖14為該轉(zhuǎn)子網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置示意圖。在縮聚模型中以相同轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子軸進(jìn)行動力學(xué)仿真，該網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在徑向的動態(tài)位移如圖15所示。該節(jié)點(diǎn)動態(tài)位移收斂到2.48 μm，與有限元模型的絕對誤差為0.03 μm，相對誤差為1.2%，結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了所建模型的正確性。

圖14 轉(zhuǎn)子網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)選取

圖15 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)徑向動態(tài)位移

2.2 內(nèi)部激勵對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

2.2.1 電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動的影響

（1）齒輪動態(tài)嚙合力矩

圖16為電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩頻譜圖。電機(jī)轉(zhuǎn)矩的頻率成分主要是電機(jī)基頻fmb=2000 Hz及其倍頻。

圖16 電機(jī)轉(zhuǎn)矩頻譜

圖17為電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩影響的時域圖及頻譜圖。由圖可知，恒定電機(jī)轉(zhuǎn)矩時齒輪副動態(tài)嚙合力矩波動范圍較小，在考慮電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動后，齒輪副動態(tài)嚙合力矩均值不變，但波動的幅值明顯增大；頻譜圖上出現(xiàn)了電機(jī)轉(zhuǎn)矩的頻率，主要成分為fmb和2fmb，且2fmb對應(yīng)的幅值大于齒輪副嚙合頻率的幅值，這表明電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動通過轉(zhuǎn)子軸傳遞到了齒輪系統(tǒng)上，并且對齒輪動態(tài)嚙合力矩的影響較大。

圖17 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域及頻譜圖

圖18為二級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖及頻譜圖。由圖18（a）可知：電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對二級齒輪副動態(tài)嚙合力矩有影響，但影響較?。活l譜圖上，二級齒輪副中電機(jī)轉(zhuǎn)矩頻率與嚙合頻率幅值的差值顯著減小，但仍然出現(xiàn)了電機(jī)電磁頻率成分2fmb。這是因?yàn)樵趪Ш献枘岷徒Y(jié)構(gòu)阻尼的作用下，同時受到傳遞路徑的影響，距離電機(jī)較近的構(gòu)件受到電磁轉(zhuǎn)矩波動的影響明顯，較遠(yuǎn)的構(gòu)件所受到的影響較小。

圖18 二級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域及頻譜圖

（2）軸承動態(tài)支反力

圖19為電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對軸承2（位置為圖6中軸承節(jié)點(diǎn)2）動態(tài)支反力影響的時域圖及頻譜圖。由此可知，兩條曲線基本重合，主要頻率成分為電機(jī)轉(zhuǎn)頻fr1和齒輪嚙合頻率fm1，而電機(jī)轉(zhuǎn)矩頻率fmb幅值很小，即電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對軸承動態(tài)支反力的影響很小。

圖19 軸承2動態(tài)支反力時域及頻譜圖

2.2.2 齒輪誤差的影響

（1）齒輪動態(tài)嚙合力矩

圖20為齒輪誤差對一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩影響的時域圖。由此可知，齒輪動態(tài)嚙合力矩在考慮齒輪誤差后波動幅值顯著增加，遠(yuǎn)大于電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對動態(tài)嚙合力矩的影響。

圖20 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩

圖21為一級齒輪副齒輪誤差頻譜圖，圖22為一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩頻譜圖。由圖21可知，頻譜圖上出現(xiàn)了連續(xù)的區(qū)域，這是因?yàn)楸疚囊詡坞S機(jī)數(shù)模擬齒輪誤差，頻率成分復(fù)雜。結(jié)合圖21和圖22，可以發(fā)現(xiàn)在高頻區(qū)域中的頻率成分主要來自于齒輪誤差。這說明一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩的幅值增大，齒輪誤差激勵起到了關(guān)鍵性的影響。

圖21 一級齒輪副齒輪誤差頻譜圖

圖22 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩頻譜圖

（2）軸承動態(tài)支反力

圖23和圖24分別為齒輪誤差對軸承1、2（位置見圖6）動態(tài)支反力影響的時域圖及頻譜圖。從圖23中可以看出：考慮齒輪誤差后軸承動態(tài)支反力波動明顯增加；頻譜出現(xiàn)了幅值較大的成分1 417 Hz，該頻率可以在圖21中找到，這表明了齒輪誤差激勵作用在齒輪副上，然后通過傳動軸傳遞到了軸承上。

圖23 軸承1動態(tài)支反力時域及其頻譜圖

對比圖23和圖24，發(fā)現(xiàn)軸承2的動態(tài)支反力頻譜范圍更寬，頻率成分更復(fù)雜，這是因?yàn)檩S承2的安裝位置離齒輪副更近，由齒輪嚙合產(chǎn)生的激勵力傳遞到軸承2處，對軸承2的影響更加明顯。由圖24可知，軸承2的動態(tài)支反力頻率范圍主要集中在0～15 000 Hz，引入齒輪誤差后產(chǎn)生的高頻成分如25 500 Hz和26 834 Hz的幅值較小，這表明高頻成分對軸承支反力的影響不大。

圖24 軸承2動態(tài)支反力時域及其頻譜圖

2.2.3 箱體對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

（1）齒輪動態(tài)嚙合力矩

圖25為耦合箱體前后一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖和頻譜圖?？梢钥闯鲴詈舷潴w前后齒輪副動態(tài)嚙合力矩的均值和振幅基本不變，且頻率成分變化也較小，說明耦合箱體對齒輪動態(tài)嚙合力矩的影響不大。這是因?yàn)辇X輪副動態(tài)嚙合力矩主要受外載荷、齒輪嚙合剛度和齒輪誤差等因素的影響，而耦合箱體前后外載荷、嚙合剛度和齒輪誤差基本不變，故耦合箱體后齒輪動態(tài)嚙合力矩的變化不大。

圖25 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域及頻譜圖

（2）軸承動態(tài)支反力

圖26為耦合箱體前后軸承1、2的動態(tài)支反力時域圖?？梢钥闯鲴詈舷潴w后軸承1的動態(tài)支反力均值變小，而軸承2的動態(tài)支反力均值則略微增大，這是因?yàn)樵诓煌S承位置處薄壁箱體的壁厚及結(jié)構(gòu)設(shè)計不同，導(dǎo)致等效支撐剛度也不同。因此耦合箱體后集中節(jié)點(diǎn)處的動態(tài)位移將發(fā)生變化，導(dǎo)致軸承力隨之而改變。耦合箱體后，軸承1的等效支撐剛度變化更大，故其動態(tài)支反力變化也更大。

圖26 軸承1和軸承2動態(tài)支反力

3 加速工況下系統(tǒng)動態(tài)特性研究

當(dāng)路面擁堵時，汽車頻繁起停和加速，導(dǎo)致驅(qū)動電機(jī)長時間運(yùn)行在變速工況下。在電驅(qū)動系統(tǒng)調(diào)速過程中，當(dāng)內(nèi)外部激勵頻率跨越系統(tǒng)固有頻率時，系統(tǒng)可能發(fā)生共振，這會影響到汽車行駛過程的可靠性和安全性。因此本節(jié)分析了加速過程下系統(tǒng)的共振情況。本節(jié)將一體化電驅(qū)動系統(tǒng)分為耦合系統(tǒng)（耦合箱體）和齒輪傳動系統(tǒng)（不耦合箱體），并對兩者展開研究。

3.1 加速工況下齒輪傳動系統(tǒng)共振分析

3.1.1 齒輪傳動系統(tǒng)特征值計算

特征值反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此在進(jìn)行共振分析之前，需要先計算系統(tǒng)的特征值。特征值的實(shí)部表示系統(tǒng)衰減系數(shù)，虛部對應(yīng)固有頻率。對于具有一般阻尼的系統(tǒng)，其特征值可能為實(shí)數(shù)，也可能是具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，復(fù)特征值將成對存在，且會出現(xiàn)虛部為0的特征值，因此表2只給出虛部絕對值大于零的部分階數(shù)特征值。

表2 不耦合箱體下系統(tǒng)特征值

分析可得：（1）特征值實(shí)部全為負(fù)實(shí)數(shù)，表明系統(tǒng)趨于穩(wěn)定；（2）在某些相鄰的階數(shù)，如32階和33階、38階和39階等特征值十分接近，這是因?yàn)橄到y(tǒng)中軸承支撐剛度在水平和豎直方向的數(shù)值相同，均等于徑向支撐剛度。

3.1.2 齒輪傳動系統(tǒng)共振分析

為分析系統(tǒng)的共振，讓驅(qū)動電機(jī)的轉(zhuǎn)速從0勻速上升到10 000 r/min，圖27為加速過程中電機(jī)轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩激勵時域圖。為使圖片清晰，轉(zhuǎn)矩激勵時域圖只給出了仿真前0.2 s的數(shù)據(jù)。

圖27 電機(jī)轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)矩激勵

（1）不考慮齒輪誤差

圖28為系統(tǒng)在不考慮齒輪誤差時一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖，為了消除仿真初始的瞬態(tài)波動，仿真前0.3 s的數(shù)據(jù)未采用?？梢钥闯?，在0.44、0.88、1.70和3.70 s附近，動態(tài)嚙合力矩的振幅明顯增大，表明這幾個時刻所對應(yīng)的電機(jī)轉(zhuǎn)速為系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速。

圖28 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖

采用短時傅里葉變換（STFT）獲得如圖29所示的動態(tài)嚙合力矩時頻圖，與橫坐標(biāo)平行的直線代表系統(tǒng)固有頻率，紅色斜線代表激勵頻率。

圖29 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時頻圖

可以看到，導(dǎo)致系統(tǒng)共振的主要激勵頻率成分為電機(jī)轉(zhuǎn)矩頻率fmb、齒輪副嚙合頻率fm1和fm2。

（2）考慮齒輪誤差

圖30為加速過程中考慮齒輪誤差時一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖?？梢钥闯觯紤]齒輪誤差后齒輪副動態(tài)嚙合力矩均值不變，但是波動幅值明顯增大，這與穩(wěn)態(tài)工況下的結(jié)論類似。同時，共振峰難以從時域圖上識別，必須從頻域分析。

圖30 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時域圖

圖31為加速過程中考慮齒輪誤差時一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時頻圖?？梢钥闯鰧?dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生共振的激勵頻率同樣是fmb、fm1和fm2，但還出現(xiàn)一些高頻成分，如3fm1、11fm2和16fm2。

圖31 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時頻圖

齒輪誤差對系統(tǒng)共振影響的結(jié)果如表3所示，本文只給出了最危險的3個電機(jī)轉(zhuǎn)速及其對應(yīng)的共振頻率。分析可知，考慮齒輪誤差后時頻圖的頻率成分更加復(fù)雜，出現(xiàn)一些由齒輪嚙合頻率的高倍頻如3fm1、11fm2和16fm2引起的共振，且主要共振轉(zhuǎn)速也發(fā)生改變。這是因?yàn)辇X輪誤差的頻率成分復(fù)雜，頻率分布范圍廣，更容易激發(fā)系統(tǒng)共振。從表3還可以看出第41階固有頻率3 407.39 Hz比較容易被激發(fā)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注。

表3 齒輪誤差對系統(tǒng)共振影響

3.2 加速工況下耦合系統(tǒng)共振分析

3.2.1 耦合系統(tǒng)特征值計算

圖32為耦合箱體前后系統(tǒng)前80階固有頻率對比，可以看出耦合箱體后系統(tǒng)固有頻率明顯降低，這是因?yàn)轳詈舷潴w后系統(tǒng)的柔性增加。

圖32 固有頻率對比

表4為耦合箱體下，虛部絕對值大于零的部分階數(shù)特征值。

表4 耦合箱體下系統(tǒng)特征值

3.2.2 耦合系統(tǒng)共振分析

圖33為耦合箱體前后一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩的時域圖。可以看出：耦合箱體前后前3個主共振峰幅值波動的差異不大；但耦合箱體后，動態(tài)嚙合力矩在3.7 s左右波動幅值明顯變大。

圖33 一級齒輪副齒輪動態(tài)嚙合力矩

圖34為耦合箱體后一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩的時頻圖?？梢钥闯?，導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生共振的激勵頻率主要為fmb、fm1和fm2，同時還出現(xiàn)了由電機(jī)轉(zhuǎn)頻fr1引起的共振。箱體對系統(tǒng)共振影響的結(jié)果如表5所示。

圖34 一級齒輪副動態(tài)嚙合力矩時頻圖

表5 箱體對系統(tǒng)共振影響

對比耦合箱體前后系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速和共振頻率，發(fā)現(xiàn)耦合箱體后系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速和共振頻率都有所降低。這是因?yàn)橐胂潴w柔性后，系統(tǒng)的固有頻率降低，導(dǎo)致共振頻率和共振轉(zhuǎn)速均降低。對比表2和表3發(fā)現(xiàn)，耦合箱體后出現(xiàn)了原來沒有的頻率成分152.83 Hz，該頻率為計入箱體后的模態(tài)頻率。當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速為9 169.80 r/min時，轉(zhuǎn)頻fr1激發(fā)了耦合箱體后系統(tǒng)的第16階固有頻率152.83 Hz，導(dǎo)致3.7 s左右齒輪嚙合力矩波動幅值明顯變大，同時該轉(zhuǎn)速下fm1激發(fā)了系統(tǒng)第71階固有頻率，出現(xiàn)了2階固有頻率共同作用的共振現(xiàn)象，該現(xiàn)象將結(jié)合圖35進(jìn)行討論。

下面將從軸承動態(tài)支反力的角度驗(yàn)證上述結(jié)論。圖35為耦合箱體前后軸承2的動態(tài)支反力時域圖?？梢钥吹皆?.7 s時耦合箱體后的軸承力幅值顯著增大，出現(xiàn)了明顯的共振峰，這表明耦合箱體后系統(tǒng)在該共振峰對應(yīng)的轉(zhuǎn)速附近發(fā)生了共振，主要激勵頻率為fr1。綜上分析可得：耦合箱體后電驅(qū)動系統(tǒng)的共振轉(zhuǎn)速和共振固有頻率均降低，且容易激發(fā)與轉(zhuǎn)頻相關(guān)的低階共振。

圖35 軸承2動態(tài)支反力

4 結(jié)論

本文以純電動汽車電驅(qū)動系統(tǒng)為對象，建立了一種適用于變速工況且考慮電磁力時空分布和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)柔性的一體化電驅(qū)動系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)模型，分析了在穩(wěn)態(tài)和加速工況下電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動、齒輪誤差和箱體柔性對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

（1）穩(wěn)態(tài)工況下電機(jī)波動轉(zhuǎn)矩、齒輪誤差、柔性箱體對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響體現(xiàn)在：電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動會增大齒輪動態(tài)嚙合力矩的幅值，對距離電機(jī)較近位置處的嚙合副影響顯著，較遠(yuǎn)位置處的嚙合副影響較小，但電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動對軸承力的影響不明顯；齒輪誤差會顯著增加齒輪動態(tài)嚙合力矩和軸承支反力的幅值；齒輪誤差的高頻成分對軸承支反力的影響不大；箱體柔性對齒輪動態(tài)嚙合力矩的影響較小，箱體對軸承支反力的影響顯著，但不同位置處的影響效果不同。

（2）加速工況下進(jìn)行了共振分析，研究了齒輪誤差和箱體對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響：導(dǎo)致系統(tǒng)共振的頻率主要包括電機(jī)轉(zhuǎn)矩頻率fmb、齒輪副嚙合頻率fm1和fm2，齒輪誤差容易激起系統(tǒng)高頻成分的共振，如3fm1、11fm2和16fm2；耦合箱體后電驅(qū)動系統(tǒng)的固有頻率顯著降低，并且共振轉(zhuǎn)速和固有頻率均降低，耦合箱體后容易激發(fā)與轉(zhuǎn)頻相關(guān)的低階共振。