聚焦主題拓展實現(xiàn)算理融通
——特級教師蔣守成《鋪地錦》教學片斷賞析

文劉 留

“你知道嗎”是蘇教版小學數(shù)學教材中的一類“主題欄目”，起到拓展本單元教學內(nèi)容和弘揚數(shù)學文化的作用。如何有效開發(fā)教材中的“主題欄目”，放大數(shù)學學科育人價值是亟需我們探索的話題。特級教師蔣守成提出“主題拓展教學”主張，基于某個主題將“你知道嗎”“動手做”等欄目開發(fā)成數(shù)學拓展課，幫助學生突破原有的認知邊界，促進數(shù)學對于人的整體培育。筆者有幸聆聽了特級教師蔣守成的《鋪地錦》一課，深受啟發(fā)。

●片斷一：故事增趣，激發(fā)主動探究的欲望。

1.故事導入，闡述“鋪地錦”的時代背景。

師：同學們，今天的數(shù)學課我們一起聽聽民族英雄戚繼光的故事，他創(chuàng)建了一支偉大的軍隊“戚家軍”，你瞧！（課件出示）

師：戚家軍以36 人為一旗，在一次戰(zhàn)爭中，戚繼光將軍派出了72 旗迎戰(zhàn)敵軍，請你幫戚繼光將軍算算一共派出了多少士兵？

生：可以用36 乘72，通過列豎式算出來一共有2592 名士兵。

2.問題激趣，喚醒對“鋪地錦”的探究欲望。

師：同學們很快就通過列豎式計算出了結(jié)果，但是大家不妨想一想在戚繼光的時代有沒有“列豎式計算”呢？

生：我認為沒有，當時的人們應該還不會列豎式計算。

師：雖然戚繼光將軍不會“列豎式計算”，但是他有自己的一套方法，大家能看懂他的算法嗎？

師：請同學們思考兩個問題，第一個問題：兩個乘數(shù)和積分別寫在什么地方？第二個問題：戚繼光將軍是如何算出2592 的？

生1：戚繼光將軍先畫了一個長方形，將乘數(shù)36 寫在長方形的上面，乘數(shù)72 寫在長方形的右邊，2592 寫在長方形的左邊和下面。

生2：戚將軍先算2 乘6 得12 寫在右下角，再算6 乘7 得42寫在右上角，然后算2 乘3 得6寫在左下角，最后算十位上3 乘7得21 寫在左上角，將它們斜著相加，就能算出來結(jié)果是2592。

師：兩位同學用自己的語言講出了戚繼光將軍的運算方法，蔣老師好奇的是為什么右下角填“12”，而左下角卻填“06”呢？

生：那是因為2 乘3 得6，6是一位數(shù)，所以左下角的方框里只能寫成“06”。

師：這下我有點明白了，原來方框里的數(shù)是兩個乘數(shù)十位和個位上的數(shù)相乘算出來的。明朝時期人們從平日里織的綢緞、錦緞中獲得靈感發(fā)明了這種算法，便給它起了一個非常好聽的名字———“鋪地錦”，用“鋪地”的方法算乘法。

【賞析：蔣老師將“鋪地錦”算法融入到民族英雄戚繼光的故事中，闡述了該算法的時代背景，古代算法至今依然熠熠生輝存在思考價值。那么到底有怎樣的價值呢？蔣老師講述的故事產(chǎn)生了懸念，學生滿懷好奇心自然地經(jīng)歷了觀察、思考和表達“鋪地錦”算法的全過程，并嘗試用自己的語言講述對算法的理解。這類“主動研究型”的課堂教學值得我學習，既實現(xiàn)了數(shù)學文化傳播，又在學生心中播下一顆“主動學習”的種子?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式。蔣老師用實際行動踐行著新課標的要求，在探索算法的過程中幫助學生將“鋪地錦”與之前的數(shù)學學習建立起聯(lián)系，充分激發(fā)學生主動探究“新算法”的欲望，從最接近學生的起點出發(fā)走向最遠的終點?！?/p>

●片斷二：對比不同算法，凸顯內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

1.初次對比，強調(diào)“滿十進一”的重要性。

師：請你用剛學的“鋪地錦”求出這兩道乘法算式的答案。

生：我算了第一道題，先在“地錦”中算出1 和4 的乘積寫成“04”，4 和5 的乘積寫成“20”，1和2 的乘積寫成“02”，2 和5 的乘積寫成“10”，再斜著全部相加得到1224。

師：對于第二道題，蔣老師發(fā)現(xiàn)了大家有兩種不同的答案。有的同學算出來是1472，還有的同學算出來是13172，你們認為哪個答案是正確的？說說你的想法。

生1：用“鋪地錦”的方法算出十位上分別是8、1 和8，全部斜著相加得到17，十位上滿10 應該向百位進1，得到1472 而不是13172。

生2：我覺得13172 肯定不對，將46 看作50，32 看作30，可以估算出46×32 大約是1500,而不是一萬多。

師：沒錯！“鋪地錦”的算法也要遵循“滿十進一”的計算原理。

2.再次對比，凸顯不同算法之間的聯(lián)系。

師：在運算過程中，我們延伸“鋪地錦”算法得到了下面兩種不同的列豎式計算方法，你能看懂它們嗎？（課件出示）

生1：第一種豎式計算是先算十位，再算個位，和我們平時學習的列豎式運算順序相反。十位上30 乘40 等于1200，30 乘6 等于180。個位上2 乘40 等于80，2 乘6 等于12，全部相加等于1472。

生2：第二種豎式計算類似“鋪地錦”，先算“右下角”，2 乘6等于12；再算“左下角”，2 乘4 等于8；然后算“右上角”，3 乘6 等于18；最后算“左上角”，3 乘4 等于12。

生3：我還發(fā)現(xiàn)了第一種豎式計算在運算過程中沒有省略0，而第二種省略了0。

生4：第一種豎式計算是從高位算起，第二種是從低位算起，它們的運算順序不同。

師：通過大家的交流，可以發(fā)現(xiàn)你們對于以上幾種算法的認識已經(jīng)很充分了?！颁伒劐\”算法是流行于我國明朝時期的算法，而第一種豎式計算是印度人所使用的算法，第二種豎式計算則是我國臺灣省所使用的算法，它們貌似不同，背后都有著相似的道理！

【賞析：主題拓展的本質(zhì)不是“拼盤”，而是“融合”。蔣老師通過算法對比制造了學生優(yōu)化算理認識的“關(guān)鍵事件”。首次對比中，學生開展了關(guān)于“鋪地錦”算法的遷移運用，得到“13172”和“1472”兩種答案，他們依據(jù)已有經(jīng)驗敏銳地辨別出“13172”這個答案的不合理性，深刻體會到“鋪地錦”算法依然要遵循“滿十進一”的計算原理，古今算法在本質(zhì)上一脈相承。再次對比中，課件呈現(xiàn)運用“鋪地錦”算法、印度算法、中國臺灣算法計算同一道題的過程，學生發(fā)現(xiàn)明明運算順序不同———有的從高位算起，有的從低位算起，卻得到了相同的答案。這對于剛學完“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學生來說無疑是認知方面的巨大沖擊，打破了其腦海中關(guān)于筆算順序的“原有桎梏”，獲得了關(guān)于筆算方法的“全新理解”。學生反復思考后發(fā)現(xiàn)這幾種算法都是先按照一定順序?qū)⒏鱾€數(shù)位上的數(shù)依次相乘得到若干個千、百、十和一，然后基于相應計數(shù)單位的累加算出最終結(jié)果。蔣老師以此基礎支架打通不同算法之間的“隔斷墻”，保留算理認識的“承重墻”，實現(xiàn)法與理的相融共生，算與術(shù)的交相輝映，讓學生在更廣闊的運算空間里徜徉?！?/p>

●片斷三：挖掘算理本質(zhì)，實現(xiàn)觸類旁通。

1.在實踐應用中豐富對“鋪地錦”的理解。

生：我們可以根據(jù)積反過來推算乘數(shù)是多少。先用24 除以6得到4，再用35 除以5 得到7，說明另一個乘數(shù)就是47。緊接著56和47 相乘，算出右下角應該填42，左上角應該填20，算出來積是2632。

師：算得有理有據(jù)，如果我們在“地錦”的下面再加上一行呢？右邊再加一列呢？

生：那么我們就可以用它來算“三位數(shù)乘三位數(shù)”是多少。

師：國外還將這種算法稱作“格子算法”，本質(zhì)上和明朝的“鋪地錦”算法是一回事。請你再說一說這種算法背后的道理。

生1：乘數(shù)46 表示4 個十、6個一，乘數(shù)32 表示3 個十、2 個一，先將其依次分別相乘，再將運算結(jié)果斜著相加，這和現(xiàn)在的列豎式計算是差不多的。

生2：斜著的數(shù)都在相同數(shù)位上，比如“2 個一”在個位，“8 個十”在十位，“1 個百”在百位，“1 個千”在千位。因為數(shù)位相同，所以這些數(shù)才能相加，算出最終有幾個千、幾個百、幾個十和幾個一。

【賞析：“鋪地錦”和“列豎式計算”有著千絲萬縷的聯(lián)系，兩者在算理上是相通的，更多體現(xiàn)在表現(xiàn)形式和運算順序的不同。蔣守成老師積極引導學生辨析復雜的算法，在橫向?qū)Ρ戎袑崿F(xiàn)舉三反一，尋求共通的算理，以理馭法直抵數(shù)學理解的新境界——學會系統(tǒng)地思維?！叭谕ㄋ憷怼笔侵黝}，“鋪地錦”是載體，致力于幫助學生走好數(shù)學運算的“后50 公里”?！?/p>

2.在算理融通中實現(xiàn)對“不同算法”的觸類旁通。

師：再給大家介紹一種“畫線法”，或許你對“鋪地錦”又會有新的認識，哪位同學看明白這種算法了？

生：它是用五條直線（三條+兩條）表示32，三條直線（兩條+一條）表示21，直線相交表示兩數(shù)相乘的過程，將點數(shù)豎著相加就能得到各個數(shù)位上的數(shù)是多少。

師：看來不論是“鋪地錦”，還是“畫線法”，都需要將各個數(shù)位上對應的數(shù)相加。

師：后來人們對“鋪地錦”進行改良，發(fā)明了“棋盤計算器”。它既是一種工具，讓運算更加便捷；又是一種文化，讓我們看到前人的智慧結(jié)晶。正是算法的不斷更新，才有了我們今天常用的算法。未來大家一定能發(fā)明更加先進的算法！

【賞析：教材不是學生的全世界，全世界都可以成為學生的教材。蔣老師向我們展示了如何基于課堂教學在豐富數(shù)學學習的同時，幫助學生形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式。用整體的眼光看待“格子算法”“畫線法”和“棋盤計算器”，它們都需要累加相同的計數(shù)單位。在《鋪地錦》教學中，學生不僅習得了“鋪地錦”算法，更掌握探索新算法、理解新算法的關(guān)鍵能力。一方面，讓學生體會到數(shù)學是一種工具，讓我們的生活更加方便快捷。另一方面，數(shù)學也是一種文化傳承，從“地錦”“棋盤計算器”到現(xiàn)在的“電子計算器”，彰顯出科技進步和出守正創(chuàng)新的奮斗歷程。筆者以為本節(jié)課真正的價值在于拓寬學生的眼界，放大了“主題欄目”的價值，為我們更好地開發(fā)利用教材提供了一種新思路———從照著“書”教轉(zhuǎn)向照著“人”教，促進數(shù)學學科對于人的全面培育。】