時域半平面裂縫反演問題的線性抽樣法求解

秦藝濛 ,陳 博 ,岳 洋

(1.中國民航大學 理學院,天津 300300;2.吉林化工學院 理學院,吉林吉林 132022)

§1 引言

聲學正反散射問題是一類重要的數學物理問題,正散射問題通常求解散射體對聲波散射形成的散射場,反散射問題則通過入射場和已知散射場數據反演散射體的位置和形狀[1-2].通常,將聲學正反散射問題分為兩類: 頻域問題和時域問題.頻域問題關心的聲波是時諧的,從而可以忽略時間變量的影響,最終對Helmholtz方程進行分析和求解.時域問題則關心時間相關的波動問題,其理論分析較為復雜,時間變量的存在也增加了問題數值求解的復雜度.受此影響,雖然頻域問題的研究已較為完善,時域研究中卻還有很多關鍵問題未得到解決.

雖然時域問題的研究較為困難,但其問題描述更接近實際問題,更利于直觀了解物理過程,并且時間相關的多頻數據包含更加豐富的信息,更容易取得較好的反演效果,因此,時域問題近年來受到越來越多的關注[3-4].

本文關心時域半平面裂縫反演問題的求解,其所對應頻域問題的研究已較為充分,研究者已經使用Newton迭代法,因子分解法和線性抽樣法等方法求解此問題[5-7].相反的,時域裂縫反演問題的研究寥寥無幾,文獻[8]使用線性抽樣法對二維自由空間中裂縫反演問題進行求解,而對于半平面內的裂縫反演問題,由于其涉及半平面邊界對聲波的散射,散射體具有無界特性,不能直接進行求解.因此,先使用對稱延拓[9]的方法將此問題轉化為自由空間中有界散射體的對稱散射問題.然后,對于反散射問題,使用線性抽樣法進行求解,并借助半空間內Green函數對半空間問題線性抽樣法的“爆破性”進行證明.

§2對正散射問題進行分析,利用對稱延拓的手段將原半平面問題轉化為全平面內對稱散射問題,并證明該對稱散射問題與原問題等價;§3給出反散射問題求解的線性抽樣法,并給出半空間問題“爆破性”的證明;§4給出幾個數值算例,證明本文算法的有效性.

§2 正散射問題

考慮在聲軟無界水平基底上有均勻的可穿透介質,介質內部有在某方向l上無窮延伸的裂縫,使用平行l(wèi)方向的線源發(fā)射的柱面波作為入射波,在垂直l的橫截面上進行分析,建立正反散射問題模型,即得到二維半平面散射問題.

在二維空間中,采用Cartesian坐標(x1,x2),半平面問題如圖1所示.記上半平面和下半平面分別為={x=(x1,x2) :x2>0}和={x=(x1,x2) :x2<0},半平面的邊界為={x=(x1,x2) :x2=0},裂縫由二維空間中為無尖點的,自身不相交的分段光滑有向曲線Γ表示.將有向曲線Γ對應前進方向的左側定義為曲線的左側,記為Γ?,同理定義曲線的右側Γ+,波場在和Γ上滿足Dirichlet邊界條件.

圖1 半平面內裂縫散射問題示意圖

其中x0為源在二維截面中的位置,c為聲波在均勻介質中的傳播速度,λ(t)為滿足因果性的信號函數.這里,λ(t)滿足因果性是指當t<0時,λ(t)=0.

考慮全空間R2內D’Alembert算子c?2?tt ??的Green函數

其中H為Heaviside函數,?tt=?2/?t2.則入射場恰為Green函數和信號函數的卷積,即

對二維空間內一點x=(x1,x2),定義xρ=(x1,?x2)為其關于x1軸的對稱點.由于半平面問題的特殊結構,將聲波總場utot分解為入射場ui,反射場

和散射場u三個部分.

散射場u=utot ?ui ?uρ滿足

下面命題表明,對稱散射問題(5)-(7)和半空間內的原散射問題(1)-(4)等價.

命題2.1散射問題(1)-(4)與(5)-(7)等價.也就是說,若uh(x,t),x ∈D+e,t ∈R為問題(1)-(4)的解,則

為問題(5)-(7)的解.反之,若u(x,t),x ∈De,t ∈R為問題(5)-(7)的解,則uh=為問題(1)-(4)的解.

證若uh(x,t),,t ∈R為問題(1)-(4)的解,對uh做奇延拓可得由(8)式定義的u.由ui和uρ的定義可知,ui+uρ關于變量x1為奇函數,則對問題(1)-(4)做奇延拓即得問題(5)-(7).由對稱延拓的性質可知,u為問題(5)-(7)的解.

若u(x,t),x ∈De,t ∈R為問題(5)-(7)的解,則由u滿足(5),(6)及(7)分別可以得出uh=滿足(1),(2)及(4).

此外,由文獻[8]命題1可知,問題(5)-(7)有唯一解,則問題(5)-(7)的解u(x,t)必關于x1為奇函數.若不然,定義

若u(x,t)不關于x1軸對稱,則w1/=w2.又由問題(5)-(7)的對稱性,w1和w2均為問題(5)-(7)的解,這與問題解的唯一性矛盾,則u(x,t)關于x1為奇函數.則有u=0于×R,則uh滿足方程(3).綜上所述,uh為問題(1)-(4)的解.

這樣,得到了一個與半空間問題等價的對稱散射問題,求解半空間問題時,只需要對全空間內對稱問題求解即可.對稱散射問題的求解和經典裂縫散射問題一致,使用推遲勢邊界積分方程方法[8]進行求解,這里不做具體的描述.

§3 反散射問題

先簡單介紹一些廣義函數空間理論(詳見[4,9-10]),引入Fourier-Laplace變換

為描述反問題,首先需要定義入射曲線Γi和測量曲線Γm,本文中,兩者均取為兩端在上的半圓形弧段,且假設兩者與所圍成的封閉區(qū)域均包含裂縫區(qū)域Γ.在數值實驗中,通常選取Γi=Γm.

本文關心的反散射問題為: 已知入射場ui和探測數據

結合初邊值問題(1)-(4)反演曲線Γ的位置和形狀.

為了探究半空間散射問題的特征,直接對半空間內散射問題(1)-(4)進行分析.半空間問題中的散射場為u=utot ?ui ?uρ,這與一般散射問題的散射場定義不同,求解分析也會有差異.因此,需要定義半空間內新的的單層位勢函數

為有Dirichlet邊值半空間內D’Alembert算子的Green函數.由上文對入射場和反射場的分析可知

這表明半空間Green函數直接蘊含了對稱散射問題的對稱特征,因此,使用半空間Green函數對對稱散射問題進行求解更為方便.

接下來,考慮反散射問題的線性抽樣法求解.首先,定義半空間問題的近場算子

對于半空間問題,還需要定義有對稱性質的檢驗函數[9]

其中μ∈R為時移參數,ζ(t)為有緊支集的光滑函數,為抽樣點.

則線性抽樣法為: 選取時移參數μ和抽樣點z,求解近場方程

得gz,μ.經典的“爆破性”理論表明,‖gz,μ‖在裂縫區(qū)域和裂縫之外區(qū)域的取值有明顯不同,在此基礎上可以描繪‖gz,μ‖?1的圖像近似反演裂縫位置.

對于全空間裂縫反演問題時域線性抽樣法的“爆破性”,[8]中給出了具體的證明.然而,本文描述的問題具有對稱性質,相應的近場算子和檢驗函數定義也與[8]中不同.并且,根據半空間障礙散射問題的研究經驗,‖gz,μ‖不單單在散射體內外表現不同,在半空間邊界上也有特殊性質.因此,接下來對半空間線性抽樣法的“爆破性”做簡單證明.

對于裂縫反演問題的分析,通常需要一個新的檢驗函數?L,μ.為適應對稱問題的特征,本文定義的?L,μ仍然需要具有對稱性.下面命題給出?L,μ的定義和一個關鍵性質.

注半空間問題線性抽樣法在數值計算時無法區(qū)分散射體邊界和半空間邊界,這一問題在其它半空間問題中也都存在,命題3.1較為直觀地詮釋了半空間裂縫反演問題線性抽樣法的這一本質特征.

盡管命題3.1結論與[8]中經典檢驗函數的性質不同,類似[8]中的證明方法,仍然能夠得到如下的“爆破性”結果,這里不再重復具體的證明.

定理3.2設σ >0,p ∈R,μ∈R,Γ和L為無尖點的,自身不相交的分段光滑曲線.則

注意到本文開始定義的近場方程(11)使用了檢驗函數?z,μ,而“爆破性”的證明卻是對檢驗函數?L,μ進行的.然而,當選取適當的密度函數ζ(x,t)時,檢驗函數中的曲線L可以退化成一點z,這保證了使用近場方程(11)進行求解的可行性.

§4 數值實驗

本節(jié)中,給出幾個數值算例驗證線性抽樣法對時域半平面裂縫重構的可行性.選取信號函數為,波速c=1,時滯參數μ=10,取結束時間T=20,時間步數NT=129,時間離散為tn=nκ,n=0,1,···,NT ?1,κ=T/(NT ?1).選取抽樣區(qū)域為矩形區(qū)域[?3,3]×[0,3],抽樣點為抽樣區(qū)域內的61×31個均勻網格節(jié)點.

測量數據(9)使用推遲勢邊界積分方程方法通過數值模擬得到,其中發(fā)射點和測量點均取為4,k=1,2,···,7.在反演時,使用添加了隨機噪聲的數據

其中δ為噪聲水平,r為取值在[?1,1]上的隨機數.

在第一個試驗中,分別對半平面內的裂縫

和

進行反演,噪聲水平選取為δ=1%和δ=5%兩種情形.實驗結果如圖2所示,由圖2可以看出,不論裂縫是否與半平面邊界相交,本文算法對裂縫都有較好的反演效果.從反演效果中,也能看到半平面問題數值計算的特征,即在半平面的邊界處圖像會有一定的擾動,這是由于半空間Dirichelt邊界的存在造成的,這也與命題3.1和定理3.2的結論一致.

圖2 對半空間內單個裂縫的反演 (a)Γ1的真實形狀 (b) 對Γ1的反演, δ=1% (c) 對Γ1的反演, δ=5% (d)Γ2的真實形狀 (e) 對Γ2的反演, δ=1% (f) 對Γ2的反演, δ=5%

在第二個實驗中,考慮使用線性抽樣法對多個裂縫的反演.選取裂縫為一個L型裂縫和一個圓弧形裂縫的組合,其中L型裂縫為連接(0.5,2),(0.5,1)和(1,1)三點的折線段,圓弧形裂縫為

實驗結果如圖3所示,可以看出,在噪聲較小時,反演算法對多個裂縫的反演是有效果的.

圖3 對半空間內多個裂縫的反演 (a) 多個裂縫的真實形狀 (b) 對多個裂縫的反演, δ=1% (c) 對多個裂縫的反演, δ=5%