非負(fù)矩陣最大特征值的上下界估計(jì)

鐘 琴,趙春燕 ,王 妍 ,牟谷芳

(1.四川大學(xué)錦江學(xué)院 數(shù)學(xué)教學(xué)部,四川眉山 620860;2.成都信息工程大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610225)

§1 引言

非負(fù)矩陣是一類重要的矩陣,在矩陣?yán)碚撗芯款I(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.非負(fù)矩陣具有很多優(yōu)美的性質(zhì),國內(nèi)外的學(xué)者對非負(fù)矩陣的最大特征值和Perron向量進(jìn)行了廣泛而深入地研究，取得了很多優(yōu)秀的成果[1-12].矩陣?yán)碚搶＜褾robenius和Perron卓有建樹的工作使得非負(fù)矩陣?yán)碚摰靡匝杆侔l(fā)展,其中著名的Perron-Frobenius定理在理論和實(shí)際工作中常被用到.估計(jì)非負(fù)矩陣最大特征值的范圍是非負(fù)矩陣?yán)碚撗芯康臒衢T課題.

用A ≥0(aij ≥0)表示矩陣A為非負(fù)矩陣,A>0(aij >0) 表示矩陣A為正矩陣.記ρ(A)=,i ∈〈n〉},其中λi為非負(fù)矩陣A的n個特征值,則由Perron-Frobenius定理[1]知ρ(A) 為非負(fù)矩陣A的一個特征值，稱為非負(fù)矩陣A的最大特征值.

設(shè)矩陣A=(aij)n×n,如果存在一個排列方陣P使得P APT=其中A11和A22是兩個低階方陣,則稱A是可分的(或可約的);否則稱A是不可分的(或不可約的).

若A是非負(fù)不可約矩陣,則存在正向量u,v,使得Au=ρ(A)u,vTA=ρ(A)vT,稱u為A的右Perron特征向量,v為A的左Perron特征向量.

對列和結(jié)論同樣成立.

對于正矩陣,Lederman[2],Ostrowski[3]和Brauer[4]在(1)式的基礎(chǔ)上給出了正矩陣最大特征值的界值定理.

對具有非零行和的非負(fù)矩陣,Minc[5]對(1)式進(jìn)行了改進(jìn),得到了

文獻(xiàn)[6]在矩陣A非負(fù)不可約的條件下得到了

這里k為使得ri,i ∈〈n〉的任意正整數(shù),對于列和(3)式結(jié)論同樣成立.

文獻(xiàn)[7]對(3)式進(jìn)行了如下的改進(jìn): 設(shè)矩陣A=(aij)n×n ≥0且A具有非零行和與非零列和,則對任意的正整數(shù)m,k有

對于列和結(jié)論同樣成立.

本文將給出非負(fù)矩陣最大特征值的一組新界作為對前人研究結(jié)果的補(bǔ)充,并且保證這組新界比相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果更接近于最大特征值的真實(shí)值.

§2 主要結(jié)論

引理1[5]設(shè)λ是矩陣A的任一特征值,矩陣AT和A對應(yīng)于λ的特征向量為X=(x1,x2,···,xn)T和Y=(y1,y2,···,yn)T,則

下面給出本文的主要結(jié)果.

兩邊同時取極限得

同理可證對列和的結(jié)論也成立.

注1若A0===I,則當(dāng)k=0,m=1 時,(5)式即為Frobenius界值.

注2在(5)式中令m=1,再根據(jù)定理2的證明過程可知

§3 數(shù)值算例

例考慮非負(fù)矩陣A=

下表給出了文獻(xiàn)[1-9]以及定理1對非負(fù)矩陣A的最大特征值的上下界估計(jì)結(jié)果比較.

表1 最大特征值的界值比較

實(shí)際上ρ(A)=5.74165738···,以上數(shù)據(jù)表明,定理1得到的結(jié)論比現(xiàn)有的相關(guān)研究結(jié)果更接近真值.

§4 結(jié)論

本文通過構(gòu)造與非負(fù)矩陣相關(guān)的兩個特殊矩陣,給出非負(fù)矩陣最大特征值的單調(diào)遞增的下界估計(jì)式和單調(diào)遞減的上界估計(jì)式,并且從理論上證明了上下界估計(jì)式的單調(diào)性和極限的存在性,最后給出數(shù)值算例驗(yàn)證了本文結(jié)果的精確性.