有弱局部單位半群的內(nèi)射系

梁星亮喬彥赫 陳曉潔

(1.陜西科技大學數(shù)學學院,陜西西安 710021;2.西北大學數(shù)學學院,陜西 西安 710127;3.陜西科技大學設藝學院,陜西西安 710021)

1 引言

本文中S表示半群.稱半群S有弱左局部單位,如果對任意的s∈S,存在u∈S使得us=s.稱半群S有共同弱左局部單位,如果對任意的s,t∈S,存在u∈S使得us=s且ut=t.顯然,群、幺半群和右零半群都是有(共同)弱左局部單位的半群.同樣的方式可以定義有(共同)弱右局部單位的半群.

設S是半群(未必含有幺元),A是非空集合.若有映射f:S×A→A,(s,a),滿足

則稱A是左S-系,或稱S左作用于A上,簡記SA或者A.特別地,當S是幺半群(1為其幺元)時,如果映射f在條件(1)基礎上又滿足

則稱A是單式左S-系.設A,B都是左S-系.稱映射g:A→B為從A到B的左S-同態(tài),如果g(sa)=sg(a),?s∈S,?a∈A.所有左S-系以及左S-系之間的S-同態(tài)構成一個范疇,稱為左S-系范疇.在左S-系范疇中,直積和余直積具有非常簡單的表達:它們分別是卡式積和不交并.

設S是半群.稱左S-系A是酉S-系,如果SA=A.若S是有弱左局部單位半群,則對每一個a∈A,存在u∈S使得a=ua.所有的酉左S-系和它們之間的S-系同態(tài)構成左S-系范疇的一個全子范疇,稱為酉左S-系范疇.

設λ是左S-系A上的等價關系.若λ滿足 (a,b)∈λ=(sa,sb)∈λ,?s∈S,?a,b∈A,則稱λ為A上的左S-同余.在A關于同余λ的商集A/λ上定義左S-作用s(aλ)=(saλ),?s∈S,?a∈A,則容易驗證A/λ關于上述左S-作用構成一個S-系,稱為A關于λ的商系.對任意的a∈A,a所在的等價類記為[a]λ.

設S是半群,E是S-系.稱E是內(nèi)射的[1],如果對任意S-單同態(tài)f:A→B和任意S-同態(tài)g:A→E,存在S-同態(tài)h:B→E,使得下圖可換:

眾所周知,半群代數(shù)理論在自動機理論、計算機科學和代數(shù)表示論等方面都有廣泛的應用[2-5].而半群的S-系理論作為半群的一種表示理論,是研究半群的有力工具[6-7].內(nèi)射系作為S-系理論中重要的系類,是半群同調(diào)分類的主要研究對象之一.文獻[1]率先在半群的S-系范疇中引入了內(nèi)射系的概念,證明了幺半群的S-系范疇具有足夠內(nèi)射對象,并研究了幺半群S-系的內(nèi)射包絡.與環(huán)模理論不同的是,在幺半群的S-系理論中弱內(nèi)射系不一定是內(nèi)射的[4].受文獻[1]的啟發(fā),許多學者開始致力于S-系內(nèi)射包絡以及內(nèi)射系推廣的研究,目前已有大量系統(tǒng)的和深刻的成果面世[8-15].有弱局部單位半群的概念在文獻[13]中首次提出.本文試圖將幺半群上S-系的內(nèi)射理論推廣至有弱局部單位半群上.利用S-系同態(tài)的可收縮性給出了內(nèi)射S-系的等價刻畫,證明了有共同弱左局部單位半群的S-系都可嵌入到一個內(nèi)射系中,通過建立S-系的內(nèi)射性與其方程組的可解性之間的聯(lián)系,給出了所有S-系是內(nèi)射的有弱左局部單位半群的特征,推廣了幺半群理論中相應的結果.

本文未定義的術語及記法參見文獻[4,6].下文除特殊聲明以外,所考慮的S-系均是酉左S-系.

2 基本性質(zhì)

本節(jié)主要研究半群的內(nèi)射S-系的基本性質(zhì).通過建立S-系的內(nèi)射性質(zhì)與可收縮單同態(tài)之間的聯(lián)系,給出內(nèi)射系的等價刻畫,以及內(nèi)射系與直積的關系.

為了刻畫內(nèi)射S-系,需要S-單同態(tài)是可收縮的概念.設f:A→B是S-單同態(tài).稱f是可收縮的,如果存在S-同態(tài)g:B→A使得gf=1A.利用內(nèi)射系的定義容易驗證.

命題 2.1設S是半群,若S-單同態(tài)f:E→G是可收縮的,且G是內(nèi)射系,則E也是內(nèi)射系.

下面構造一個內(nèi)射S-系的重要例子.對任意S-系A引進下述記號:

如下規(guī)定S在AS上的左作用:(sf)(x)=f(xs),?f∈AS,?s,x∈S.顯然,sf∈AS.因為對任意s,t,x∈S,有 (t(sf))(x)=(sf)(xt)=f(xts)=((ts)f)(x),所以AS是左S-系.

命題 2.2設S是有弱左局部單位半群,則對于任意S-系A,AS是內(nèi)射S-系.

證明設?:B→C是任意S-單同態(tài),g:B→AS是任意S-同態(tài).定義映射h:C→AS為:對任意的c∈C,任意的t∈S,令

其中a∈A是事先任意固定的一個元素,且對于t∈S,存在v∈S使得t=vt(因為S是有弱局部單位半群).由于?是單同態(tài),所以??1(tc)是唯一的.因此h是從C到AS的映射.下證h是S-同態(tài).對任意s,t∈S,有

故h(sc)=sh(c),即h是S-同態(tài).又因為對任意的b∈B,任意的t∈S,有

其中v∈S且t=vt,所以h?=g.因此AS是內(nèi)射系.證畢.

推論 2.1設S有共同弱左局部單位半群,則任意酉S-系A可嵌入到一個內(nèi)射系中.

證明由命題2.2知AS是內(nèi)射S-系.作映射?:A→AS:

因為對任意的s,x∈S,任意的a∈A,有

所以?(sa)=s?(a),即?是S-同態(tài).設a,b∈A使得?(a)=?(b).則對任意的x∈S,?(a)(x)=?(b)(x),即在A中有xa=xb.由于A是酉左S-系,所以對于a和b存在u,v∈S以及a′,b′∈A,使得a=ua′,b=ub′.又因為S有共同弱左局部單位,所以對于u,v∈S,存在w∈S,使得wu=u,wv=v.因此,

這說明?是單同態(tài).證畢.

現(xiàn)在可以給出內(nèi)射系的等價刻畫.

定理 2.1設S是半群,則E是內(nèi)射S-系,當且僅當函子 HomS(?,E)(從左S-系范疇到集合范疇)把單同態(tài)變?yōu)闈M映射.

證明對任意的S-單同態(tài)f:A→B,若g:A→E是S-同態(tài),則由E的內(nèi)射性知,存在S-同態(tài)h:B→E使得g=hf,即

這說明Hom(?,E)是把單同態(tài)變?yōu)闈M映射.

反過來,假設f:A→B是任意的S-單同態(tài).由于函子Hom(?,E)將單同態(tài)映成滿映射,所以映射Hom(f,E):Hom(B,E)→Hom(A,E)是滿的,即對任意的S-同態(tài)g:A→E,存在S-同態(tài)h:B→E使得下圖可換:

這說明E是內(nèi)射S-系.證畢.

特別地,當半群S有共同弱左局部單位時,則有下面結論.

定理 2.2設S是有共同弱左局部單位半群,則以下幾條等價:

(1)E是內(nèi)射S-系;

(2)任意的S-單同態(tài)f:E→A是可收縮的;

(3)存在S-系B以及可收縮的S-單同態(tài)f:E→BS.

證明(1)?(2)對任意的S-單同態(tài)f:E→A,由E的內(nèi)射性可知,存在S-同態(tài)g:A→E使得gf=1E,故f是可收縮的.

(2)?(3)令B=E,由推論 2.1的證明可知,存在S-單同態(tài)f:E→ES.由條件(2)知f是可收縮的.

(3)?(1)由命題2.2可知,BS是內(nèi)射系.再根據(jù)命題2.1,E是內(nèi)射系.證畢.

注 2.1在定理2.2中,當有共同弱左局部單位半群S是幺半群時,即得幺半群的內(nèi)射系的刻畫(參見文獻[7]).

下面討論內(nèi)射S-系的若干性質(zhì).

命題 2.3設S是半群,則任意的內(nèi)射S-系必含有零元.

證明設E是內(nèi)射S-系.記S0=S˙∪{θ},其中{θ}是單元S-系.顯然有S-單同態(tài)f:S→S0.取定x∈E,對任意的s∈S,定義S-同態(tài)gx:S→E為gx(s)=sx.由E的內(nèi)射性知,存在S-同態(tài)h:S0→E,使得hf=gx.記h(θ)=a∈E.則對任意的s∈S,

即a是E的零元.證畢.

3 內(nèi)射系對半群的刻畫

本節(jié)討論S-系A的內(nèi)射性與A上方程組的可解性之間的密切聯(lián)系,進而給出所有S-系是內(nèi)射的半群的刻畫.

設A是S-系.A上的任意方程應具有下列三種形式之一:

這里s,t∈S,a∈A,x,y是未定元.A上任意方程組都是若干個(有限或無限)上述方程構成的集合.記A上的方程組中所含方程的個數(shù)為|Σ|.

設S是半群,A,B是左S-系.記A≤B為A是B的子系,或B是A的擴張.

定義 3.1稱S-系A上的方程組Σ是容許的,如果Σ在A的某個擴張系中有解.

下面給出S-系A的內(nèi)射性與A上方程組的可解性之間的聯(lián)系.

定理 3.1對于任意的有弱左局部單位半群S和任意的S-系A,以下兩條等價:

(1)A是內(nèi)射的;

(2)A上的任意容許方程組在A中有解.

證明(1)?(2)設Σ是A上的容許方程組,則必存在A的擴張系B,使得Σ在B中有解.因為A是內(nèi)射的,所以自然包含同態(tài)A→B是可收縮的,即存在S-同態(tài)f:B→A使得f|A=1A.顯然f把Σ在B中的解變?yōu)棣苍贏中的解.

(2)?(1)設B是A的擴張系,則存在B?A的子集合C使得B=A∪(∪c∈CSc).定義A上的方程組:

顯然Σ在B中有解{c|c∈C},所以Σ是A上的容許方程組.因此由條件(2)知Σ在A中有解,設解為{ac|c∈C}.定義映射?:B→A為

容易驗證?是有定義的,且?是S-同態(tài),?|A=1A.所以包含同態(tài)A→B是可收縮的,故A是內(nèi)射系.證畢.

定理3.1表明,有弱左局部單位半群的S-系的內(nèi)射性可通過A上容許方程組的可解性來刻畫.在幺半群理論中,可利用S-系的絕對純性來刻畫所有S-系是內(nèi)射的半群.下面將這一理論方法應用到有局部單位半群理論中.為此先給出內(nèi)射系的一個重要特征.

命題 3.1設S是有弱左局部單位半群,則S-系A是內(nèi)射的,當且僅當A沒有真的基本擴張.

證明設A是內(nèi)射的,B是A的基本擴張.則包含同態(tài)A→B是可收縮的,所以存在S-同態(tài)g:B→A,使得g|A=1A.由于B是A的基本擴張,所以g是單的.因此,A=B.

反過來,設A沒有真的基本擴張.假設B是A的真擴張.則A不是B的基本子系,所以存在B上的同余1B,但λ限制在A上時為恒等同余.令

由Zorn引理知D中有極大元,設其為λ,從而知A?A/λ,且B/λ是A/λ的基本擴張,所以A/λ=B/λ.因此,對任意的b∈B,存在唯一的a∈A使得 [a]λ=[b]λ.規(guī)定S-同態(tài)f:B→A為f(b)=a,b∈B.則f|A=1A,所以S-同態(tài)A→B可收縮.這就證明了A是內(nèi)射系.證畢.

下面的定理給出任意S-系都有內(nèi)射的基本擴張.

定理 3.2設S有共同弱左局部單位半群,A是S-系,則存在內(nèi)射的S-系B使得B是A的基本擴張.

證明由推論2.1可知存在內(nèi)射的S-系E使得A≤E.令

則.設{Bi|i∈I}是D中的升鏈.令.容易驗證B是A的基本擴張.所以由Zorn引理知D中有極大元,設其為B.若C是B的基本擴張,則C就是A的基本擴張,所以B=C.這說明B沒有真的基本擴張,因此由命題3.1知B是內(nèi)射的.證畢.

注 3.1由命題3.1知,S-系的內(nèi)射的基本擴張在同構意義下是唯一的.

定義 3.2設S是半群,A是B的子系,α是無窮基數(shù).稱A在B中是α-純的(或稱A是B的α-純子系),如果A上只有一個未知元且滿足|Σ|<α的任意方程組Σ,若Σ在B中有解,則在A中一定有解.如果A在它的任意擴張系中都是α-純的,那么就稱A是α-絕對純的.如果任意S-系都是α-絕對純的,那么就稱半群S是完全α-絕對純的.

最后給出所有S-系是內(nèi)射的有共同弱左局部單位半群特征.下面定理的證明類似于文獻[14]中命題1.2的證明,為了論文的完善,這里將給出完整的證明.

定理 3.3設S有共同弱左局部單位半群,α是無窮基數(shù)且α>|S|,則如下兩條等價:

(1)S是完全α-絕對純的;

(2)任意S-系都是內(nèi)射的.

證明(2)?(1)由定理3.1即得結論.

(1)?(2)設A是S-系.下證A是內(nèi)射系.由定理3.2知存在內(nèi)射的S-系I(A)使得I(A)是A的基本擴張.令

因為 (A,1A)∈D,所以D?.設 (B1,?1),(B2,?2)∈D,規(guī)定

D關于≤構成一個半序集.容易驗證D中的任意升鏈都有上界.故由 Zorn引理知D中有極大元,設其為 (B0,?0).下證B0=I(A).否則若B0(A),則存在b∈I(A)?B0.令C=B0∪Sb.則A≤C≤I(A).考慮方程組:

Σ只有一個未知元x,且|Σ|≤|S|+|S|2<α.又 Σ在I(A)中有解b,故由B0的α-絕對純性知Σ在B0中有解,設其為a0∈B0.作同態(tài)?:C→A為:

設sb=tb.則方程sx=tx∈Σ.所以有sa0=ta0,故

若存在s∈S,使得sb=a∈B0,則方程sx=a∈Σ.故有sa0=a.所以

這說明了?是映射.顯然?還是S-同態(tài).因為?|A=?0|A=1A,所以(C,?)∈D.又顯然 (B0,?0)≤(C,?)但 (B0,?0)?=(C,?). 這與 (B0,?0)的極大性矛盾.所以B0=I(A).故存在S-同態(tài)?0:I(A)→A,使得?0|A=1A.這說明A是I(A)的可收縮子系.因此A是內(nèi)射的.證畢.

注 3.2在定理3.3中,當有共同弱左局部單位半群S是幺半群時,即得幺半群的任意S-系都是內(nèi)射的刻畫(參見文獻[14]).