何 維， 孫宏磊， 陶袁欽， 蔡袁強(qiáng)

(1. 浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058； 2. 浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，杭州 310004)

控制基坑開挖導(dǎo)致的鄰近既有隧道變形對設(shè)計和施工至關(guān)重要，因此有必要對基坑開挖引起的隧道變形進(jìn)行預(yù)測.然而，基坑開挖時存在多種不確定性因素，開挖卸荷的影響范圍廣，使得傳統(tǒng)的理論計算和數(shù)值模擬等正向分析方法存在眾多局限，主要包括以下3個方面：① 基坑開挖時的土體參數(shù)難以確定[1]，采用現(xiàn)場勘察或室內(nèi)實驗所得土體參數(shù)計算得到的預(yù)測值往往和實際監(jiān)測數(shù)據(jù)存在較大偏差；② 基坑開挖存在時間效應(yīng)[2]，使得鄰近隧道的位移發(fā)展滯后于開挖進(jìn)度，這種時間效應(yīng)不僅僅取決于軟土的流變性質(zhì)，還受開挖速率的影響，難以對其進(jìn)行量化計算；③ 開挖卸荷影響范圍內(nèi)包含多種結(jié)構(gòu)響應(yīng)，傳統(tǒng)正向分析方法難以對隧道、圍護(hù)結(jié)構(gòu)和土體變形等多目標(biāo)響應(yīng)同時進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測.

文獻(xiàn)[2]統(tǒng)計了上海軟土基坑的監(jiān)測資料，提出了基坑時間效應(yīng)的修正公式.然而，經(jīng)驗公式在應(yīng)用于新的工程時，參數(shù)取值的可靠性較低.而基于數(shù)據(jù)融合的反演分析方法[3-5]能夠有效識別基坑開挖過程中的未知參數(shù)，提升預(yù)測模型的準(zhǔn)確度，其中多目標(biāo)優(yōu)化算法[6]能夠得到多個目標(biāo)函數(shù)之間的“權(quán)衡”解，使得預(yù)測結(jié)果能夠同時滿足多目標(biāo)響應(yīng)的準(zhǔn)確度要求.因此，本文采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對基坑開挖中的隧道、圍護(hù)結(jié)構(gòu)等多目標(biāo)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測研究.

在實際優(yōu)化設(shè)計問題中，計算成本較低的代理模型常被用于近似替代計算昂貴的數(shù)值模型[7].然而，對于輸入?yún)?shù)維度高、非線性強(qiáng)的模型近似，靜態(tài)代理模型不能保證全局的近似精度，且靜態(tài)代理模型的訓(xùn)練樣本數(shù)隨著輸入?yún)?shù)的增加而快速增加[8].近年來，在優(yōu)化進(jìn)程中不斷更新代理模型的動態(tài)優(yōu)化方法得到了快速發(fā)展[9].這種動態(tài)代理模型方法只需要獲得尋優(yōu)路徑上局部參數(shù)空間的高精度近似，減少了在其他參數(shù)空間中的數(shù)值模型計算.

工程優(yōu)化中動態(tài)代理模型方法的計算效率有待進(jìn)一步提高.加點準(zhǔn)則是動態(tài)代理模型方法的核心技術(shù)，現(xiàn)有的多目標(biāo)加點準(zhǔn)則中樣本更新點隨著迭代次數(shù)增加而固定新增，不能識別無效的代理模型更新.在面向測試函數(shù)的多目標(biāo)加點準(zhǔn)則[10-11]中，全局最優(yōu)解和Pareto前沿都是已知的，故常采用一些與最優(yōu)解或解的目標(biāo)函數(shù)值相關(guān)的指標(biāo)作為優(yōu)化收斂判別準(zhǔn)則[12].相比測試函數(shù)，工程實例的全局最優(yōu)解和Pareto前沿都是未知的，通常采用最大迭代次數(shù)作為優(yōu)化收斂判別準(zhǔn)則，為保證獲得最優(yōu)解，最大迭代次數(shù)往往設(shè)有冗余，此時使用不具備收斂判別能力的加點準(zhǔn)則[13-14]將導(dǎo)致新增的樣本更新點陷入解的多樣性尋優(yōu)空間中.這種多樣性尋優(yōu)空間中的樣本更新并不能增強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力，反而很大程度上浪費(fèi)了計算資源，限制了動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化方法在工程中的應(yīng)用.

針對上述問題，本文基于多目標(biāo)優(yōu)化理論，融合基坑開挖中的多目標(biāo)監(jiān)測數(shù)據(jù)，反演識別了土體參數(shù)，量化修正了隧道位移的時間效應(yīng).同時為減少優(yōu)化迭代時數(shù)值模型的計算次數(shù)，提出了一種基于自適應(yīng)加點準(zhǔn)則的動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化(Dynamic Multi-objective Optimization with Adaptive Infill Criterion，DMO-AIC)方法.首先通過兩個常用的多目標(biāo)優(yōu)化測試函數(shù)，說明了方法的計算效益；再通過虛擬數(shù)值算例，驗證了方法的多目標(biāo)響應(yīng)預(yù)測能力；最后將該方法應(yīng)用于上海外灘596基坑工程案例，準(zhǔn)確預(yù)測了基坑分步開挖引起的既有隧道豎向位移.

1 DMO-AIC方法

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述

一個經(jīng)典的無約束、多目標(biāo)優(yōu)化問題可以表示為

min [f1(x)f2(x) …fk(x)]T

(1)

s.t.l≤x≤u

式中：l和u為參數(shù)向量x的尋優(yōu)空間邊界；k為目標(biāo)函數(shù)f(x)的數(shù)目.

多目標(biāo)優(yōu)化問題所得是一個非劣解集或非支配解集，稱為Pareto解集，其在目標(biāo)空間的映射稱為Pareto前沿，如圖1所示.Pareto支配定義為假設(shè)x和x*是參數(shù)搜索空間中的兩個可行解，對于?i∈(1, 2, …,k)都有fi(x)≤fi(x*) ∧F(x)≠F(x*)，則稱x支配x*.

圖1 Pareto解在二維目標(biāo)函數(shù)空間上的分布及映射Fig.1 Distribution and mapping of Pareto solutions on two-dimensional objective functions space

1.2 Kriging代理模型

代理模型常被用來在工程優(yōu)化中近似計算昂貴的數(shù)值模型.常用的代理模型包括Kriging模型、多項式響應(yīng)面及徑向基函數(shù)等[7]，其中Kriging插值模型具有良好的非線性擬合能力，近似精度較高，基于Kriging的加點準(zhǔn)則應(yīng)用也較為廣泛.

采用Kriging方法對數(shù)值模型進(jìn)行近似，假設(shè)對于設(shè)計變量未知點x，其對應(yīng)的函數(shù)響應(yīng)值y(x) 可表示為隨機(jī)函數(shù)：

(2)

(3)

式中：R(θ,x,x*)為與距離有關(guān)的相關(guān)函數(shù)；θ為函數(shù)的寬度控制參數(shù).Kriging插值的公式推導(dǎo)過程和實現(xiàn)見文獻(xiàn)[15].

1.3 動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化

動態(tài)優(yōu)化是在優(yōu)化進(jìn)程中不斷更新代理模型的優(yōu)化方法，可分為動態(tài)單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化.動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化的框架如圖2所示.

圖2 動態(tài)多目標(biāo)代理模型優(yōu)化框架Fig.2 Framework of dynamic multi-objective optimization using surrogate models

步驟1基于全局抽樣方法抽取一定數(shù)目的初始樣本集，調(diào)用數(shù)值模型計算模型響應(yīng)，訓(xùn)練初始代理模型.

步驟2構(gòu)建多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，融合監(jiān)測數(shù)據(jù)，調(diào)用代理模型計算目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)值.

步驟3基于多目標(biāo)優(yōu)化算法尋找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

步驟4基于相應(yīng)的加點準(zhǔn)則，得到最優(yōu)的樣本點并更新樣本集，詳見1.4節(jié).

步驟5調(diào)用數(shù)值模型計算新樣本點的模型響應(yīng)，更新代理模型.

步驟6判別優(yōu)化過程的收斂準(zhǔn)則，當(dāng)滿足收斂準(zhǔn)則時，停止優(yōu)化并輸出Pareto最優(yōu)解，否則，重復(fù)步驟2～5.

1.4 基于距離的自適應(yīng)加點準(zhǔn)則

為減少優(yōu)化過程中數(shù)值模型的計算次數(shù)，DMO-AIC方法在基于距離的加點準(zhǔn)則[13]中加入了收斂判別策略，使得算法可以在種群陷入多樣性尋優(yōu)空間時停止更新代理模型，提升了多目標(biāo)優(yōu)化方法的計算效益及其對于工程優(yōu)化的適用性.DMO-AIC的自適應(yīng)加點準(zhǔn)則包含3個策略：樣本產(chǎn)生、收斂判別及樣本選取.

策略1采用多目標(biāo)粒子群(Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO)算法[16]優(yōu)化過程中每一代的當(dāng)前非支配解作為候選樣本集.當(dāng)前非支配解由上一代解以及種群中其他粒子在經(jīng)過局部飛行和全局變異兩種機(jī)制后演化而來，兼具較強(qiáng)的局部搜索和全局搜索能力.MOPSO算法詳見文獻(xiàn)[16]，本文將重點介紹基于距離的收斂判別策略和樣本選取策略.

策略2首先，定義某一代種群的非支配解粒子在目標(biāo)空間的平均相鄰距離：

(4)

式中：n為種群中的粒子總數(shù)；f(xi)為排序后的第i個非支配解粒子在目標(biāo)空間的函數(shù)值.

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(6)，當(dāng)α=1時，認(rèn)為當(dāng)前非支配解與上一代非支配解相比的進(jìn)化效果能夠滿足預(yù)期，則根據(jù)一定的選點策略從當(dāng)前的候選支配解選取新的代理模型訓(xùn)練樣本點.當(dāng)α<1時，則認(rèn)為當(dāng)前的候選非支配解中沒有能夠滿足更新預(yù)期的粒子.

圖3 最優(yōu)樣本更新點在目標(biāo)函數(shù)空間中的位置Fig.3 Location of best new sample point on objective function space

(8)

為綜合考慮兩種尋優(yōu)機(jī)制，定義一個相對參數(shù)空間最小距離DΩ，則第i個粒子的相對參數(shù)空間最小距離為

(9)

再定義一個相對目標(biāo)空間最小距離D*，則第i個粒子的相對參數(shù)空間最小距離為

(10)

基于式(4)和(5)，被選取為代理模型新樣本點的粒子將使得一個距離因子WD最大，如下：

WD=c1DΩ+c2D*

(11)

式中：c1和c2為兩個權(quán)重系數(shù)，滿足c1+c2=1.本文采用等權(quán)分配，即c1=c2=0.5.

2 DMO-AIC計算效益

為驗證所提自適應(yīng)加點準(zhǔn)則的計算效益，用兩個常用的已知最優(yōu)解的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)對DMO-AIC進(jìn)行測試，并與無收斂判別策略的加點方法(簡稱DMO)的測試結(jié)果進(jìn)行對比.

2.1 測試函數(shù)

測試函數(shù)ZDT2：

(12)

s.t. 0≤xi≤1,i=1, 2, …,n

ZDT2真實最優(yōu)解集為

{x=[x1x2…xn]T|x1∈[0, 1],

(13)

xi=0,i=2, 3, …,n}

測試函數(shù)FON：

(14)

s.t. -4≤xi≤4,i=1, 2, …,n

FON真實最優(yōu)解集為

{x=[x1x2…xn]T|x1=x2=…=

(15)

基于已知最優(yōu)解，可以引入兩個距離指標(biāo)[17]對所得的優(yōu)化解集進(jìn)行收斂性和多樣性的評價.其中，收斂性指的是優(yōu)化得到的解與真實Pareto前沿的靠近程度，可通過優(yōu)化解與Pareto前沿的樣本點的最小距離DG來評價，計算如下：

(16)

式中：di為優(yōu)化解中第i個個體與真實Pareto解集樣本之間的最小目標(biāo)空間距離.

多樣性是指優(yōu)化解的分布均勻性，多樣性評價指標(biāo)為

(17)

式中：df和ds為優(yōu)化解的兩端個體與真實Pareto解集樣本之間的最小目標(biāo)空間距離.

2.2 測試結(jié)果

對兩個測試函數(shù)的主要優(yōu)化參數(shù)設(shè)置如表1所示.Kriging代理模型的基函數(shù)和相關(guān)函數(shù)分別采用二項式函數(shù)和高斯指數(shù)函數(shù).

表1 兩個測試函數(shù)的優(yōu)化參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings for optimization of two test functions

為避免優(yōu)化過程的偶然性，對每個測試函數(shù)進(jìn)行3次優(yōu)化計算并取其平均值.圖4所示為兩個測試函數(shù)的優(yōu)化歷史.使用DMO-AIC和DMO的收斂性、多樣性尋優(yōu)速度都表現(xiàn)較快.相比收斂性，優(yōu)化解的多樣性尋優(yōu)需要更多的計算時間，通常在種群收斂性穩(wěn)定后其多樣性才能趨于穩(wěn)定.

圖4 使用DMO-AIC和DMO的優(yōu)化歷史比較Fig.4 Comparison of optimization histories by using DMO-AIC and DMO

表2所示為兩個測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果的關(guān)鍵評價指標(biāo).可以看到，使用DMO-AIC方法和使用DMO方法的最終收斂性、多樣性結(jié)果接近，且都能滿足計算精度要求.

表2 DMO-AIC和DMO的優(yōu)化質(zhì)量比較Tab.2 Comparison of optimization quality of DMO-AIC and DMO

結(jié)合表2和圖4的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，相比DMO，DMO-AIC尋優(yōu)性能和收斂速度相近，但是使用DMO-AIC方法所需要的樣本更新點平均數(shù)是30和97，而使用DMO所需要的樣本更新點平均數(shù)是93和214，說明DOM-AIC的自適應(yīng)加點準(zhǔn)則能夠在優(yōu)化過程的多樣性尋優(yōu)階段判斷、篩選無效(進(jìn)化效果差)的新樣本點，從而提高計算效率.這種自適應(yīng)加點準(zhǔn)則在面對最優(yōu)解未知的昂貴數(shù)值模型優(yōu)化問題時，能夠保證充分的尋優(yōu)時間(較大迭代次數(shù))，同時避免了數(shù)值模型的無效調(diào)用，有利于動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化方法在工程實踐中的應(yīng)用.

3 多目標(biāo)響應(yīng)更新

3.1 虛擬數(shù)值模型

利用虛擬數(shù)值模型來驗證DMO-AIC對基坑開挖-既有隧道中多目標(biāo)響應(yīng)的更新和預(yù)測能力，在虛擬模型的模型響應(yīng)值中加入合理的人工誤差后，可認(rèn)為最優(yōu)解存在于模型參數(shù)真實值附近[18].同時該算例僅考慮單層土，輸入?yún)?shù)較少，能較快尋優(yōu)到其最優(yōu)解.

虛擬模型如圖5所示，整體寬30 m，深25 m.基坑采取一步開挖，寬5 m，深6 m，有限元模型采用對稱設(shè)置.地連墻和頂管隧道結(jié)構(gòu)采用梁單元模擬，均假設(shè)為彈性材料，彈性模量分別為20和30 GPa，泊松比均為0.2，墻體厚度為 0.6 m，管壁厚度為0.3 m，隧道內(nèi)徑為3 m. 地連墻以及隧道和土體之間采用綁定接觸.支撐結(jié)構(gòu)采用彈簧單元模擬，彈簧剛度上下分別設(shè)為12 和 50 MN/m.土體的重度為18 kN/m3，水平土壓力系數(shù)K0=0.5.土體參數(shù)設(shè)置采用修正劍橋模型，參數(shù)取值如表3所示.數(shù)值模型邊界約束水平位移，底部同時約束水平和豎向位移.

圖5 虛擬數(shù)值模型的土層及結(jié)構(gòu)示意圖(m)Fig.5 Schematic of soil layer and structure of virtual numerical model (m)

文獻(xiàn)[19]指出相對敏感度較高的修正劍橋模型的土體參數(shù)包括臨界狀態(tài)應(yīng)力比M、回彈參數(shù)κ和泊松比ν.因此對土體的M，κ，ν這3個參數(shù)進(jìn)行反演分析，其參數(shù)尋優(yōu)范圍見表3括號內(nèi)取值.

表3 土體修正劍橋模型參數(shù)Tab.3 Soil parameters of modified Cam clay model

數(shù)值模型的參數(shù)優(yōu)化需要對模型計算值和監(jiān)測值進(jìn)行融合，采用一個基于最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)對每個監(jiān)測點的計算誤差進(jìn)行等權(quán)分配，并采用多個目標(biāo)函數(shù)分別融合地連墻的側(cè)移和隧道位移數(shù)據(jù).目標(biāo)函數(shù)值可根據(jù)下式計算：

(18)

式中：X為待優(yōu)化的參數(shù)向量；N為該目標(biāo)函數(shù)所利用的監(jiān)測點個數(shù)；Dm、Um分別為第m個監(jiān)測點的監(jiān)測值和模型計算值.虛擬監(jiān)測值通過在基于參數(shù)真實值計算得到的模型響應(yīng)值中加入人工的高斯隨機(jī)誤差[18]來模擬，高斯隨機(jī)誤差e由儀器系統(tǒng)誤差ε和高斯觀測誤差δ兩部分組成：

e=ε+δ

(19)

式中：ε服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為ξU*的正態(tài)分布，ξ為系統(tǒng)誤差系數(shù)，本文取0.01，U*為模型計算值；δ的均值為0，其標(biāo)準(zhǔn)差σδ取決于儀器精度，取儀器精度為±0.1 mm時，按95%的置信區(qū)間設(shè)置σδ為0.05.

3.2 多目標(biāo)響應(yīng)更新結(jié)果

為實現(xiàn)基坑開挖-隧道工程的多目標(biāo)響應(yīng)更新，基于式(17)，建立兩個目標(biāo)函數(shù)f1和f2，分別融合了地連墻和隧道的位移數(shù)據(jù).優(yōu)化過程的種群規(guī)模設(shè)為50，初始代理模型訓(xùn)練樣本數(shù)為16，最大迭代次數(shù)為100，折減系數(shù)初始值為0.5.

為避免優(yōu)化的偶然性，共進(jìn)行3次優(yōu)化計算，代理模型更新平均增加樣本數(shù)約為12.圖6給出了其中一次優(yōu)化計算得到的Pareto最優(yōu)解，解呈現(xiàn)凹的形態(tài)，且其在目標(biāo)函數(shù)空間上的最大適應(yīng)值在5%左右，誤差較小，說明多目標(biāo)函數(shù)之間的“權(quán)衡”較好[20]，因此將最優(yōu)解集的每個粒子都輸入到數(shù)值模型中計算模型響應(yīng)再取其平均值作為位移更新的結(jié)果.

圖7(a)和7(b)分別給出了基于3組Pareto最優(yōu)解計算得到的地連墻側(cè)向位移UL、隧道位移U的更新均值和誤差條，圖中Dep為地連墻的測點深度.可以看到地連墻和隧道的位移更新平均值與模擬監(jiān)測值都吻合很好，且其誤差條較窄，表明使用圖6中的全部最優(yōu)解能夠?qū)Χ嗄繕?biāo)響應(yīng)同時進(jìn)行準(zhǔn)確更新.

圖6 虛擬案例的Pareto最優(yōu)解Fig.6 Pareto optimal solutions of virtual case

圖7 地連墻及隧道位移的更新均值和誤差條Fig.7 Updated mean value and error bar of wall deflection and tunnel displacement

表4所示為3組Pareto最優(yōu)解得到的土體參數(shù)更新結(jié)果.更新后的土體參數(shù)均值與真實值基本一致，且更新后的土體參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差較小，說明Pareto最優(yōu)解在參數(shù)空間中唯一存在于參數(shù)真實值附近.

表4 更新后的虛擬案例土體參數(shù)Tab.4 Updated soil parameters of virtual case

4 上海外灘596基坑工程

4.1 工程概況

上海外灘596基坑[21]整體分為S1-A區(qū)、S1-B區(qū)及S2-A區(qū)、S2-B區(qū)，工程具體開挖步及時間進(jìn)度如表5所示.采用Abaqus 2018軟件對基坑開挖過程進(jìn)行模擬，二維數(shù)值模型如圖8所示，土體采用莫爾-庫侖模型，各土層參數(shù)如表6所示.地連墻和隧道襯砌結(jié)構(gòu)采用梁單元模擬，假設(shè)為彈性材料，彈性模量分別為20和30 GPa，泊松比均為0.2，墻體等效厚度為0.8 m，襯砌結(jié)構(gòu)厚度為0.3 m，隧道內(nèi)徑為6 m.文獻(xiàn)[21]中未介紹支撐參數(shù)，而本算例目的為預(yù)測和更新下臥隧道的豎向位移，不預(yù)測基坑擋墻側(cè)移，故支撐結(jié)構(gòu)由等效位移約束替代模擬[22-23]，在擋墻上施加監(jiān)測所得側(cè)移值[21].模型兩端施加水平方向位移約束，底部同時施加水平和豎直方向位移.

表5 上海外灘596基坑的開挖進(jìn)程Tab.5 Excavation stages of Shanghai Bund 596 project

圖8 上海外灘596項目的有限元模型(m)Fig.8 FE model of Shanghai Bund 596 project (m)

表6 土體莫爾-庫侖模型參數(shù)Tab.6 Soil parameters of Mohr-Coulomb model

4.2 時間效應(yīng)

文獻(xiàn)[2]基于上海軟土基坑開挖引起的下方隧道位移實測資料，提出了如下時間效應(yīng)修正系數(shù)：

(20)

(21)

基于式(20)和式(21)，可得到隧道在不同開挖步時的累積位移：

(22)

圖9所示為基于土體參數(shù)及時間效應(yīng)參數(shù)初始值計算得到的隧道豎向位移(UV)，圖中ES為開挖步，初始計算值與監(jiān)測值有顯著偏差，說明本文依據(jù)同類軟土基坑的文獻(xiàn)資料所決定的土體參數(shù)可靠性較低，且可推測隧道的實際位移相比計算值較為滯后.但位移計算值和監(jiān)測值在不同的開挖區(qū)域施工時都有著相似的發(fā)展趨勢，說明了有限元模型的合理性.

圖9 使用模型參數(shù)初始值計算得到的隧道豎向位移Fig.9 Tunnel vertical displacement calculated by using initial values of model parameters

4.3 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

實例計算中，采用DMO-AIC方法預(yù)測更新下臥隧道的豎向位移.考慮深厚土層的開挖對下臥隧道的影響較大，隧道位移可能隨之快速發(fā)展，有必要對近期的隧道位移監(jiān)測數(shù)據(jù)重點關(guān)注，因此多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)向量可設(shè)為F(X)=[f1(X)f2(X)]T，其中f1(X)、f2(X)分別為融合了全部開挖步數(shù)據(jù)和近期開挖步數(shù)據(jù)的目標(biāo)函數(shù).多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)所融合的監(jiān)測數(shù)據(jù)構(gòu)成如表7所示.

表7 兩次更新計劃所融合的監(jiān)測數(shù)據(jù)Tab.7 Monitoring data merged from two update schemes

為識別關(guān)鍵的影響參數(shù)，降低未知參數(shù)維度，對上海外灘596基坑有限元模型進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，計算公式[19]如下：

(23)

式中：Spq為第p個開挖步的隧道位移對應(yīng)于第q個輸入?yún)?shù)的相對敏感性系數(shù)；Up為第p個開挖步的隧道位移值；ΔUp為第p個開挖步的隧道位移差值；xq為第q個參數(shù)的輸入值；Δxq為第q個參數(shù)的差值.

圖10 土體參數(shù)及時間效應(yīng)參數(shù)的敏感度Fig.10 Sensitivity of soil parameters and time effect parameters

4.4 位移預(yù)測更新

相比單目標(biāo)優(yōu)化得到的唯一“最優(yōu)解粒子”，多目標(biāo)優(yōu)化得到的最優(yōu)解集能體現(xiàn)出多目標(biāo)函數(shù)之間的“權(quán)衡”.為了避免工程案例的多目標(biāo)最優(yōu)解兩端延伸過廣，采用一個誤差限制對最優(yōu)解進(jìn)行二次擇優(yōu)，該誤差限制代表了決策者對各個目標(biāo)函數(shù)的容許誤差.

圖11(a)和11(b)分別給出了兩次更新計劃I、II得到的Pareto解集.黑色粒子是優(yōu)化計算得到的Pareto解，紅色粒子表示對目標(biāo)函數(shù)設(shè)置一定的“誤差限制”后得到的二次擇優(yōu)解.解呈現(xiàn)出凹的形態(tài)，說明多目標(biāo)函數(shù)間的“權(quán)衡”較好.但粒子在Pareto前沿上的分布比較不均勻，解的多樣性較差，且由于工程案例最優(yōu)解的未知性，端部粒子在目標(biāo)函數(shù)f1上的誤差值較大，為了提升預(yù)測準(zhǔn)確度，有必要對目標(biāo)函數(shù)設(shè)置一定的“誤差限制”來對Pareto解集進(jìn)行二次擇優(yōu).本文案例中的“誤差限制”可以設(shè)置為f1≤10%且f2盡可能小.

圖11 兩次更新計劃下使用DMO-AIC得到的Pareto解集Fig.11 Pareto solutions of DMO-AIC in two updated schemes

圖12所示為在兩次更新計劃下使用DMO-AIC方法的二次擇優(yōu)解計算得到的隧道位移預(yù)測均值和誤差，可以看出，兩次更新中后續(xù)開挖步的位移預(yù)測值與監(jiān)測值都很接近.具體來說，更新計劃 I 對近期開挖步10～14的監(jiān)測數(shù)據(jù)賦予了較高權(quán)重，其對后續(xù)開挖步15～17的隧道位移預(yù)測值比更新計劃 II 的計算值更為準(zhǔn)確；而更新計劃 II 對開挖步17的監(jiān)測數(shù)據(jù)賦予了較高權(quán)重，其對后續(xù)開挖步18～20的隧道位移預(yù)測準(zhǔn)確度高于更新計劃 I，說明近期監(jiān)測數(shù)據(jù)更能反映隧道位移的發(fā)展趨勢.當(dāng)隧道位移在某些開挖步突然快速發(fā)展時，需要及時融合近期的監(jiān)測數(shù)據(jù)并更新預(yù)測.

圖13所示為在更新計劃 II 下使用DMO-AIC和DMO方法對隧道位移的預(yù)測準(zhǔn)確度，圖中Ta為所有開挖步完成后的后續(xù)施工時間.可以看出，二者對后續(xù)開挖步18～20的隧道位移預(yù)測誤差接近且都較小.更新后的時間效應(yīng)表明，隧道位移在開挖至坑底后的3個月內(nèi)將會快速發(fā)展，其位移最大值為 25 mm 左右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于開挖至基底時的12 mm監(jiān)測值，說明如果基坑被暫停施工足夠長時間，隧道位移將會有持續(xù)的較大發(fā)展，應(yīng)及時進(jìn)行后序的施工步驟.

圖13 更新計劃 II 下DMO-AIC、DMO的預(yù)測精度比較Fig.13 Comparison of prediction accuracy of DMO-AIC and DMO in Scheme II

表8所示為使用DMO-AIC和DMO方法對上海596基坑案例的計算效率.使用DMO-AIC所需的平均樣本更新點個數(shù)為11和12個，使用DMO所需的平均樣本更新點為72和79個，說明以最大迭代次數(shù)作為工程優(yōu)化問題的收斂判別條件時，使用DMO-AIC方法能很好地避免產(chǎn)生過多的無效代理模型樣本更新點，大大提高尋優(yōu)的計算效率.

表8 使用DMO-AIC和DMO時兩次更新計劃的計算效率Tab.8 Calculation efficiency of two updated schemes by using DMO-AIC and DMO

5 結(jié)論

為提高工程優(yōu)化中的動態(tài)代理模型方法的計算效率，提出一種基于自適應(yīng)加點準(zhǔn)則的動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化方法(DMO-AIC)，將其應(yīng)用于上海外灘596基坑案例中，成功預(yù)測了基坑開挖引起的既有隧道位移，具體結(jié)論包括：

(1) 在兩個多目標(biāo)測試函數(shù)以及上海外灘596基坑案例的計算結(jié)果中，DMO-AIC和DMO方法都具有較高的計算精度，但DMO-AIC所需的樣本更新點平均數(shù)分別僅為DMO的31%、45%和15%，有效避免了優(yōu)化進(jìn)程中原模型的無效調(diào)用.DMO-AIC的計算效率提升對于復(fù)雜工程優(yōu)化問題具有重要意義.

(2) 虛擬基坑案例計算結(jié)果表明，最優(yōu)解在目標(biāo)函數(shù)空間上的誤差值較小，表明最優(yōu)解能較好滿足多目標(biāo)函數(shù)之間的“權(quán)衡”，此時使用所有最優(yōu)解粒子能夠?qū)娱_挖中的多目標(biāo)響應(yīng)同時進(jìn)行準(zhǔn)確更新.

(3) 以上海外灘596基坑為例，利用DMO-AIC方法分步融合了監(jiān)測數(shù)據(jù)，成功準(zhǔn)確預(yù)測了后續(xù)開挖步的鄰近隧道豎向位移.其中，近期監(jiān)測數(shù)據(jù)更能反映隧道位移的發(fā)展趨勢，應(yīng)對新的監(jiān)測數(shù)據(jù)及時進(jìn)行融合并賦予更高的權(quán)重.

(4) 上海外灘596基坑的更新后參數(shù)表明，隧道位移在開挖至坑底后的3個月內(nèi)將會快速發(fā)展，最大值為25 mm，遠(yuǎn)大于開挖至基底時的12 mm監(jiān)測值，說明該隧道位移的時間效應(yīng)顯著，在開挖至基底后應(yīng)及時進(jìn)行后序的施工步驟.所提時間效應(yīng)修正模型及反演方法可為同類軟土基坑開挖實踐提供參考.

(5) 實際工程案例的Pareto最優(yōu)解在目標(biāo)函數(shù)空間上可能分布過廣，通過對目標(biāo)函數(shù)設(shè)置一定的“誤差限制”可以對Pareto最優(yōu)解二次擇優(yōu)，從而提升解的預(yù)測準(zhǔn)確度.