混凝土跨尺度損傷開裂自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)分析方法

徐 磊 姜 磊 王紹洲 任青文

(1河海大學(xué)水利水電學(xué)院,南京 210098) (2中國電建集團(tuán)昆明勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司,昆明 650051)

混凝土損傷開裂是一種典型的跨尺度現(xiàn)象.宏觀裂縫的形成源于細(xì)觀裂紋的萌生、擴(kuò)展、集聚和貫通[1],而混凝土在細(xì)觀尺度上復(fù)雜的隨機(jī)非均勻材料結(jié)構(gòu)以及各細(xì)觀組分 (粗骨料、砂漿及界面過渡區(qū)) 差異明顯的力學(xué)特性是這一現(xiàn)象的主要致因[2-3].因此,在單一宏觀尺度下無法準(zhǔn)確模擬混凝土損傷開裂的跨尺度演化過程[4].

計(jì)算多尺度方法是在分析中考慮2種或2種以上空間尺度,并以相對較低的計(jì)算代價(jià)獲取較高精度分析結(jié)果的復(fù)合材料現(xiàn)代計(jì)算分析方法[5],主要分為協(xié)同多尺度方法[6-8]和遞進(jìn)多尺度方法[9-10]兩類.協(xié)同多尺度方法可在同一計(jì)算模型中實(shí)現(xiàn)對彈性區(qū)域的宏觀尺度模擬和對損傷開裂區(qū)域的細(xì)觀尺度模擬,但需在模擬中動(dòng)態(tài)調(diào)整宏-細(xì)觀尺度連接邊界,且隨著細(xì)觀模擬區(qū)域的擴(kuò)大,計(jì)算規(guī)?？焖僭龃骩5].傳統(tǒng)遞進(jìn)多尺度方法是通過求解由宏觀力學(xué)量 (通常為應(yīng)變) 驅(qū)動(dòng)的細(xì)觀代表性體積單元 (representative volume element,RVE) 邊值問題,來為宏觀尺度分析提供所需的本構(gòu)關(guān)系,局部化 (降尺度) 和均勻化 (升尺度) 是其尺度連接的2個(gè)主要環(huán)節(jié)[9].遞進(jìn)多尺度方法的宏觀分析與細(xì)觀分析是在信息傳遞的基礎(chǔ)上分開進(jìn)行的,故相較于協(xié)同多尺度方法,對計(jì)算資源的要求相對較低,且便于在常規(guī)有限元分析框架內(nèi)實(shí)現(xiàn)[11].

存在RVE是應(yīng)用傳統(tǒng)遞進(jìn)多尺度方法的前提[12].由于非軟化復(fù)合材料滿足RVE存在性,故針對該類材料的遞進(jìn)多尺度有限元分析已漸趨成熟并得以應(yīng)用[10].但對于軟化類材料,均勻化獲取的宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在軟化階段依賴于細(xì)觀模型尺寸,故不滿足RVE存在性假定,致使無法直接應(yīng)用傳統(tǒng)遞進(jìn)多尺度方法.針對這一問題,Gitman等[13]分析了軟化材料遞進(jìn)多尺度有限元模擬中宏觀單元網(wǎng)格尺寸與細(xì)觀RVE尺寸對計(jì)算結(jié)果的影響,并將細(xì)觀模型體積取為宏觀單元積分點(diǎn)的積分體積,以消除分析結(jié)果的宏觀單元網(wǎng)格尺寸依賴性和細(xì)觀模型尺寸依賴性.這一方法突破了傳統(tǒng)遞進(jìn)多尺度方法的RVE存在性假定,但變尺寸的細(xì)觀模型增加了數(shù)值實(shí)施的難度,且若對分析域內(nèi)的宏觀積分點(diǎn)均開展宏細(xì)觀遞進(jìn)多尺度分析,細(xì)觀計(jì)算規(guī)模很大 (與全細(xì)觀模擬相當(dāng)).Rezakhani等[11]基于耦合體積思想,以有限元模型為宏觀尺度模型,以格構(gòu)離散元模型為細(xì)觀尺度模型,實(shí)現(xiàn)了混凝土損傷斷裂的耦合體積宏細(xì)觀遞進(jìn)多尺度分析,但分析中采用了均勻宏觀網(wǎng)格,以規(guī)避細(xì)觀模型的變尺寸問題.此外,鑒于尺度連接方式的特點(diǎn),在宏細(xì)觀遞進(jìn)多尺度分析的傳統(tǒng)框架內(nèi),僅能在宏觀尺度上獲取基本的力學(xué)量 (位移、應(yīng)變及應(yīng)力),無法實(shí)現(xiàn)混凝土損傷狀態(tài)的宏細(xì)觀跨尺度表征.

本文提出了一種混凝土跨尺度損傷開裂自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析方法.該方法將混凝土自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型劃分為單一宏觀尺度和宏細(xì)觀多尺度2個(gè)分析區(qū)域.提出了基于Ottosen強(qiáng)度準(zhǔn)則[14]的分析尺度自適應(yīng)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則,實(shí)現(xiàn)了宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域范圍的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)更新.通過在分析中自適應(yīng)建立與宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型,實(shí)現(xiàn)了變尺寸細(xì)觀模型條件下宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析.提出了細(xì)觀損傷的分區(qū)均勻化方法,對混凝土損傷狀態(tài)的宏細(xì)觀跨尺度進(jìn)行定量表征.

1 自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析方法

1.1 自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型

如圖1所示,混凝土宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型被自適應(yīng)劃分為2個(gè)分析區(qū)域,即單一宏觀尺度分析區(qū)域 (彈性區(qū)) 和宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域 (損傷開裂區(qū)).在單一宏觀尺度分析區(qū)域內(nèi),混凝土被視為均勻材料,采用線彈性本構(gòu)模型描述其力學(xué)行為.在宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域內(nèi),混凝土被視為宏觀均勻但細(xì)觀非均勻的非線性多尺度材料,該區(qū)域內(nèi)任一宏觀積分點(diǎn)均與一個(gè)細(xì)觀模型關(guān)聯(lián).

宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型由一個(gè)覆蓋全部分析區(qū)域的宏觀模型和與損傷開裂區(qū)內(nèi)宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的若干細(xì)觀模型組成.其中,宏觀模型的網(wǎng)格剖分、荷載和邊界條件施加與單一宏觀尺度有限元模型相同,但在宏觀有限元分析中,損傷開裂區(qū)內(nèi)任一宏觀積分點(diǎn)的應(yīng)力和本構(gòu)矩陣是通過均勻化確定的.各細(xì)觀模型相互獨(dú)立,網(wǎng)格剖分與宏觀模型無關(guān),且細(xì)觀各相有確定的本構(gòu)模型,但在細(xì)觀有限元分析中,細(xì)觀模型邊界條件是通過局部化確定的.基于耦合體積思想[13],將細(xì)觀模型尺寸lm視為與之關(guān)聯(lián)的宏觀積分點(diǎn)積分面積SIP或體積VIP的函數(shù).細(xì)觀模型形狀取為正方形時(shí),lm的計(jì)算表達(dá)式為

(1)

細(xì)觀模型形狀取為正方體,lm的計(jì)算表達(dá)式為

(2)

混凝土自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型具有以下特點(diǎn):① 模型由單一宏觀尺度分析區(qū)域和宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域2部分構(gòu)成;② 宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域需在分析中基于分析尺度轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則自適應(yīng)確定并動(dòng)態(tài)更新;③ 與不同宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型是在分析中自適應(yīng)生成的,尺寸可變化且具有隨機(jī)的細(xì)觀結(jié)構(gòu);④ 宏觀模型與細(xì)觀模型均為有限元模型.

1.2 宏-細(xì)觀尺度連接

在宏-細(xì)觀尺度連接中,局部化需將宏觀積分點(diǎn)應(yīng)變轉(zhuǎn)化為與之關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型的位移邊界條件,而均勻化需將細(xì)觀模型的應(yīng)力場與剛度矩陣均勻化為與之關(guān)聯(lián)的宏觀積分點(diǎn)應(yīng)力與本構(gòu)矩陣.

(3)

(4)

(5)

根據(jù)散度定理,式(4)和(5)分別可變?yōu)?/p>

(6)

(7)

式中,S為細(xì)觀模型邊界的積分變量;t、x、u、n分別為細(xì)觀模型邊界上各點(diǎn)處的應(yīng)力、位置向量、位移及方向余弦.

將式(6)和(7)代入式(3),可得

(8)

滿足式(8)的細(xì)觀模型邊界條件包括均勻應(yīng)力邊界條件、線性位移邊界條件和周期性邊界條件3種[16].考慮到相對于均勻應(yīng)力和線性位移邊界條件,周期性邊界條件可取得更為精確的宏觀均勻化解[17],故本文在局部化中采用周期性邊界條件.

(9)

(10)

為便于建立滿足式(10)形式約束條件的細(xì)觀模型周期性邊界條件,依據(jù)細(xì)觀模型邊界的空間位置,將其分為一一對應(yīng)的正邊界和負(fù)邊界2個(gè)部分,并通過細(xì)觀有限元網(wǎng)格剖分在對應(yīng)邊界上,形成一系列節(jié)點(diǎn)對.

為滿足式(5),令

(11)

式中,x+和x-分別表示正邊界和負(fù)邊界對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位置向量.

由式(9)和(11)可得

(12)

由細(xì)觀平衡條件可得

t(x+)+t(x-)=0

(13)

(14)

式中,xA為細(xì)觀模型角點(diǎn)的位置向量.

為實(shí)現(xiàn)宏-細(xì)觀尺度連接,在細(xì)觀分析完成后,通過均勻化確定宏觀積分點(diǎn)的應(yīng)力和本構(gòu)矩陣.其中,宏觀均勻化應(yīng)力可依據(jù)式(4)確定.為求解宏觀積分點(diǎn)的均勻化本構(gòu)矩陣,將細(xì)觀有限元增量平衡方程記為

(15)

式中,KNN、KNA、KAN、KAA為細(xì)觀模型整體剛度列陣的4個(gè)分區(qū);δuA、δuN分別為細(xì)觀模型角點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)和非角點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)的增量位移列陣;δfA為細(xì)觀模型角點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)的增量反力列陣.

由式(15)可得

(16)

(17)

基于式(6)、(14)、(17),可得

(18)

由式(18)可得均勻化本構(gòu)矩陣DM中第i行第j列元素為

(19)

1.3 分析尺度自適應(yīng)轉(zhuǎn)換

在實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu)中,一般僅有范圍較小的局部區(qū)域會(huì)出現(xiàn)損傷開裂現(xiàn)象,而其他大部分區(qū)域則始終處于彈性階段[20-22].因此,為在保證分析精度的前提下提高分析效率,應(yīng)在分析過程中依據(jù)模型的受力狀態(tài),自適應(yīng)確定宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域范圍,并動(dòng)態(tài)更新,這一過程即為分析尺度的自適應(yīng)轉(zhuǎn)換.

基于Ottosen強(qiáng)度準(zhǔn)則[14],提出以宏觀積分點(diǎn)應(yīng)力為指標(biāo)的混凝土分析尺度自適應(yīng)轉(zhuǎn)換準(zhǔn)則為

(20)

(21)

式中

基于Kupfer等[24]的試驗(yàn)結(jié)果,C1、C2、C3和K的計(jì)算公式為[25]

(22)

式中,λ=ft/fc,其中fc和ft分別為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度.

1.4 細(xì)觀模型的自適應(yīng)建立

由于宏細(xì)觀多尺度分析區(qū)域的范圍是動(dòng)態(tài)變化的,且不同宏觀積分點(diǎn)通常具有不同的積分范圍,故細(xì)觀模型的建立是一個(gè)自適應(yīng)過程.為建立與某一宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型,首先需獲取該積分點(diǎn)的積分面積或體積,進(jìn)而確定細(xì)觀模型尺寸lm.在此基礎(chǔ)上,依據(jù)混凝土骨料體積分?jǐn)?shù)Va、粒徑、級配等控制參數(shù)及其形狀,生成混凝土細(xì)觀模型的隨機(jī)材料結(jié)構(gòu),并在剖分網(wǎng)格、定義細(xì)觀各相力學(xué)特性和施加周期性邊界約束條件的基礎(chǔ)上建立細(xì)觀模型.

本文以隨機(jī)取放法[26]作為細(xì)觀隨機(jī)材料結(jié)構(gòu)的生成方法,以ABAQUS前處理模塊[27]作為細(xì)觀結(jié)構(gòu)網(wǎng)格剖分的基本工具,以多點(diǎn)位移約束方程[19]作為細(xì)觀周期性邊界約束條件的施加手段,通過MATLAB和PYTHON混合編程編制了混凝土細(xì)觀自適應(yīng)二維建模程序AGCMM.該程序可在獲取宏觀積分點(diǎn)的積分面積、細(xì)觀結(jié)構(gòu)控制參數(shù)以及細(xì)觀各相力學(xué)參數(shù)的基礎(chǔ)上,自動(dòng)完成細(xì)觀模型尺寸計(jì)算、圓形或多邊形骨料細(xì)觀結(jié)構(gòu)隨機(jī)生成、三相(骨料、砂漿及界面過渡區(qū))細(xì)觀網(wǎng)格剖分(見圖2)、細(xì)觀各相力學(xué)參數(shù)定義以及細(xì)觀周期性邊界約束條件施加,從而建立與該積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型.在所建立的細(xì)觀模型中,以三節(jié)點(diǎn)單元模擬骨料與砂漿,以四節(jié)點(diǎn)薄層單元模擬界面過渡區(qū).

圖2 細(xì)觀有限元網(wǎng)格剖分實(shí)例

混凝土損傷開裂通常是在界面過渡區(qū)中萌生并向砂漿中擴(kuò)展,而(硬)骨料一般不會(huì)發(fā)生破壞[28-29].因此,在細(xì)觀模型中,將骨料視為線彈性材料,將砂漿與界面過渡區(qū)(ITZ)視為準(zhǔn)脆性材料,采用塑性損傷模型(CDP模型)[30]描述兩者的力學(xué)行為.

2 基于分區(qū)均勻化的宏觀損傷表征

為實(shí)現(xiàn)混凝土損傷演化的宏細(xì)觀跨尺度分析,基于混凝土細(xì)觀損傷分布的局部化特征,提出了一種用于表征宏觀損傷的分區(qū)均勻化方法.

在混凝土應(yīng)力達(dá)到峰值后的損傷開裂軟化階段,隨著應(yīng)力的減小,非彈性應(yīng)變逐漸集中于局部區(qū)域 (損傷開裂區(qū)) ,其他區(qū)域的彈性應(yīng)變則逐漸減小[31],這一過程稱為應(yīng)變局部化.文獻(xiàn)[32]指出,混凝土在開裂軟化階段的損傷演化與應(yīng)變局部化直接相關(guān),主要表現(xiàn)為在應(yīng)變局部化過程中,開裂區(qū)的損傷程度不斷增加,而在應(yīng)力達(dá)到峰值前產(chǎn)生的彌散于其他區(qū)域的損傷則基本保持狀態(tài)不變.因此,通過對細(xì)觀模型全域應(yīng)用體積平均原理已不適于建立細(xì)觀損傷與宏觀損傷之間的關(guān)系.

為在混凝土損傷開裂軟化階段實(shí)現(xiàn)基于細(xì)觀模型損傷計(jì)算結(jié)果的宏觀損傷表征,根據(jù)細(xì)觀分析所得的損傷狀態(tài),將細(xì)觀模型區(qū)域Ω劃分為損傷加載區(qū)Ωd(損傷變量處于增大狀態(tài)的區(qū)域)和非損傷加載區(qū)Ωnd(損傷變量為0或保持不變的區(qū)域).在區(qū)域劃分的基礎(chǔ)上,對細(xì)觀模型中的損傷加載區(qū)應(yīng)用體積平均原理,實(shí)現(xiàn)基于細(xì)觀損傷狀態(tài)的宏觀損傷表征,即

(23)

式中,D為宏觀積分點(diǎn)的損傷變量;d為細(xì)觀損傷變量;di為細(xì)觀模型中損傷加載區(qū)內(nèi)第i個(gè)積分點(diǎn)的損傷變量;Ωd,i為損傷加載區(qū)內(nèi)第i個(gè)積分點(diǎn)的積分范圍.由于D是通過對損傷加載區(qū)內(nèi)細(xì)觀非均勻損傷場進(jìn)行均勻化所得,故可綜合體現(xiàn)處于不同損傷狀態(tài)下細(xì)觀各相對宏觀損傷的影響,具有較為明確的力學(xué)意義.

由于式(23)中僅考慮了損傷加載區(qū),未計(jì)算應(yīng)變局部化過程中保持損傷狀態(tài)不變的區(qū)域,故由其所得的宏觀損傷量與混凝土真實(shí)損傷狀態(tài)間會(huì)存在一定差異.但由于混凝土為準(zhǔn)脆性材料,其宏觀力學(xué)性能的受損劣化主要發(fā)生在應(yīng)力達(dá)到峰值后的應(yīng)變局部化過程中[33-34],因此,按照式(23)計(jì)算所得的宏觀損傷量可描述混凝土在損傷開裂軟化階段的受損狀態(tài).

3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

在混凝土自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型中,宏觀模型在不同分析尺度下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系均為局部形式,便于與已有的材料非線性有限元分析程序相結(jié)合.

基于ABAQUS用戶材料子程序接口UMAT[35],通過編制用于獲取宏觀均勻化應(yīng)力與本構(gòu)矩陣的程序HSCM以及用于定量表征宏觀損傷的程序MD,并結(jié)合細(xì)觀自適應(yīng)建模程序AGCMM,對所提出的混凝土跨尺度損傷開裂自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析方法進(jìn)行了數(shù)值實(shí)現(xiàn).

UMAT在從ABAQUS主程序獲取相關(guān)數(shù)據(jù)后,通過所編制的接口程序并調(diào)用HSCM和AGCMM等程序,完成宏觀積分點(diǎn)應(yīng)力與本構(gòu)矩陣的更新,并可自定義狀態(tài)變量用于存儲(chǔ)分析尺度、宏觀損傷等相關(guān)信息[36].ABAQUS主程序?qū)ι鲜鯱MAT子程序的調(diào)用是在積分點(diǎn)的層次上進(jìn)行的,即在宏觀分析的每次整體平衡迭代過程中遍歷所有宏觀積分點(diǎn),逐一完成每個(gè)宏觀積分點(diǎn)的應(yīng)力、本構(gòu)矩陣與狀態(tài)變量更新.分析尺度狀態(tài)變量用于存儲(chǔ)宏觀積分點(diǎn)當(dāng)前的分析尺度信息,取值為0(初始值)表示單一宏觀尺度,取值為1表示宏細(xì)觀多尺度.宏觀損傷狀態(tài)變量初始值為0,且保持該值至進(jìn)入損傷開裂軟化階段.

4 算例分析

算例1為四節(jié)點(diǎn)正方形單元(CPS4R)單軸拉伸過程模擬(見圖3),位移荷載(u=24 μm)分為100個(gè)增量步逐級施加.由于該單元僅有一個(gè)積分點(diǎn),故與之關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型尺寸與其尺寸相同,骨料粒徑范圍和質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為5～8 mm和50%,ITZ厚度取為100 μm[37].表1列出了細(xì)觀各相的材料參數(shù).其中,骨料彈性模量取為50 GPa,與玄武巖骨料的試驗(yàn)結(jié)果[38]相當(dāng);砂漿的彈性模量、單軸抗壓和抗拉強(qiáng)度分別取為2.5×104、26和2.5 MPa,與文獻(xiàn)[39-41]中的取值接近;ITZ的力學(xué)性能弱于砂漿,由于其力學(xué)參數(shù)難以通過試驗(yàn)手段測得,通常假定其參數(shù)取值為砂漿的0.5～0.9倍[1,21,32],本文取為0.8倍.為討論混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)隨機(jī)性對其宏觀力學(xué)行為的影響,算例1重復(fù)進(jìn)行了3次自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析(AHS).由于細(xì)觀模型是在分析中自適應(yīng)生成的,故在3次分析中,生成的細(xì)觀模型A、B、C具有相異的幾何結(jié)構(gòu).

(a) 宏觀單元

表1 細(xì)觀材料參數(shù)

為獲取單一宏觀尺度分析所需的線彈性本構(gòu)參數(shù),針對圖3中的細(xì)觀模型A開展了單軸拉伸全細(xì)觀數(shù)值模擬(DNS);并基于數(shù)值模擬所得的宏觀均勻化應(yīng)力-應(yīng)變曲線,取應(yīng)力為0～0.4ft(ft=2.12 MPa) 的割線彈性模量33.19 GPa作為宏觀彈性模量[42],泊松比取為0.2.此外,通過開展細(xì)觀模型A的單軸壓縮數(shù)值試驗(yàn),確定單軸抗壓強(qiáng)度fc為23.32 MPa,進(jìn)而基于式(22)確定C1、C2、C3和K的取值,分別為0.280 6、0.374 8、0.002 9和0.997;應(yīng)力放大系數(shù)w取為1.05.

圖4給出了對應(yīng)于細(xì)觀模型A的自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析宏觀應(yīng)力-位移曲線.圖中,宏觀應(yīng)力為位移加載邊界上各節(jié)點(diǎn)水平反力之和與其長度的比值;位移為施加在位移加載邊界上的節(jié)點(diǎn)水平位移;點(diǎn)Ⅰ～Ⅳ為曲線軟化段上處于不同加載階段的4個(gè)點(diǎn).由圖可知,分析尺度轉(zhuǎn)換發(fā)生在第9個(gè)增量步,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析與全細(xì)觀數(shù)值模擬的曲線基本重合,表明自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析在單元層次上可以達(dá)到與全細(xì)觀模擬相當(dāng)?shù)木?根據(jù)宏觀損傷演化曲線,在應(yīng)力達(dá)到峰值后的損傷開裂軟化階段,隨著位移荷載的逐漸增大,宏觀損傷量逐漸增大.

圖4 模型A的宏觀應(yīng)力-位移及宏觀損傷演化曲線

圖5給出了對應(yīng)于圖4中點(diǎn)Ⅰ～Ⅳ的細(xì)觀損傷分布.與宏觀損傷變化規(guī)律一致,隨著加載位移的逐漸增大,細(xì)觀損傷分布范圍和量值均逐漸增大.由此可知,采用本文方法可同時(shí)在宏觀尺度和細(xì)觀尺度上定量分析混凝土的損傷演化過程.

(a) 點(diǎn)Ⅰ

圖6對比了不同細(xì)觀模型下自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析所得的宏觀應(yīng)力-位移曲線.由圖可知,3條曲線在分析尺度轉(zhuǎn)換前完全重合,而在分析尺度轉(zhuǎn)換為宏細(xì)觀多尺度后則呈現(xiàn)出一定的離散性,體現(xiàn)了混凝土細(xì)觀隨機(jī)性對其宏觀力學(xué)行為的影響.

圖6 AHS宏觀應(yīng)力-位移曲線

算例2模擬了混凝土狗骨試件受拉損傷開裂過程.試件尺寸、加載及邊界條件見圖7(a).骨料粒徑范圍、質(zhì)量分?jǐn)?shù)、宏細(xì)觀模型材料參數(shù)取值與算例1相同,位移荷載分為100步逐級施加.圖7(b)給出了宏觀網(wǎng)格以及與其中2個(gè)宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型有限元網(wǎng)格.

(a) 試件尺寸、加載及邊界條件

圖8對比了自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析和全細(xì)觀數(shù)值模擬所得的位移加載邊界反力(加載邊界上各節(jié)點(diǎn)豎向反力之和)與加載位移的關(guān)系曲線.圖中,點(diǎn)ⅰ～ⅳ為DNS曲線軟化段上不同階段的4個(gè)點(diǎn).由圖可知,兩者總體上基本一致,但與算例1相比,損傷開裂軟化階段的差異有所增大.究其原因在于,算例2中自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析的細(xì)觀模型與全細(xì)觀模型具有不同的細(xì)觀結(jié)構(gòu).

圖8 加載邊界反力-位移曲線

圖9給出了試件名義應(yīng)力(加載邊界上各節(jié)點(diǎn)豎向反力之和與試件最小截面寬度之比)與開裂位移(加載位移和與名義應(yīng)力相應(yīng)的彈性位移之差)的關(guān)系曲線,同時(shí)還給出了根據(jù)不同尺寸狗骨試件物理試驗(yàn)得到的曲線分布范圍[43].由圖可知,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析與全細(xì)觀模擬所得的名義應(yīng)力-開裂位移曲線基本一致,且均位于試驗(yàn)曲線分布范圍內(nèi).

圖9 名義應(yīng)力-開裂位移曲線

圖10給出了分析尺度自適應(yīng)轉(zhuǎn)換過程.由圖可知,發(fā)生分析尺度轉(zhuǎn)換的宏觀積分點(diǎn)位于試件最小截面處,且呈現(xiàn)出兩側(cè)先轉(zhuǎn)換、中間后轉(zhuǎn)換的特點(diǎn),符合試件的受力特點(diǎn).

圖11給出了與不同宏觀單元(單元編號分別為62、55和47)積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型在不同加載階段(對應(yīng)于圖8中的點(diǎn)Ⅰ～Ⅳ)的細(xì)觀損傷分布.由圖可知,隨著加載位移的逐漸增大,各細(xì)觀模型的損傷范圍和量值亦呈現(xiàn)出逐漸增大的變化特征,進(jìn)而影響試件的宏觀受力狀態(tài)(見圖8).此外,與不同宏觀積分點(diǎn)關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型具有相異的細(xì)觀結(jié)構(gòu)并呈現(xiàn)出不同的損傷開裂路徑,表明本文方法不僅可以通過宏-細(xì)觀尺度連接為宏觀尺度分析提供本構(gòu)關(guān)系,亦可在此過程中體現(xiàn)混凝土材料特性的隨機(jī)性.

(a) 第10個(gè)增量步

(a) 宏觀單元62

圖12給出了自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析所得的宏觀損傷演化過程.由圖可知,試件宏觀損傷量呈現(xiàn)出隨加載位移增大而增大的變化規(guī)律.在軟化段初期,宏觀損傷分布總體呈現(xiàn)出兩側(cè)大、中間小的分布特征;而在軟化段中后期,宏觀損傷分布逐漸趨于均勻,與狗骨試件在受拉條件下的破壞過程相符[44].

圖13給出了在不同加載階段(對應(yīng)于圖8中的點(diǎn)ⅰ～ⅳ)全細(xì)觀數(shù)值模擬所得的細(xì)觀損傷分布.由圖可知,細(xì)觀損傷量首先出現(xiàn)于試件最小截面附近的ITZ內(nèi),隨后向兩側(cè)的砂漿中延伸并集聚,最終形成一條貫穿試件的損傷裂縫帶.雖然受到細(xì)觀材料結(jié)構(gòu)的影響,損傷裂縫帶分布具有隨機(jī)性,但整體處于試件中部,與自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析所得的宏觀損傷分布特征相符.

(a) 點(diǎn)Ⅰ

(a) 點(diǎn)ⅰ (b) 點(diǎn)ⅱ (c) 點(diǎn)ⅲ (d) 點(diǎn)ⅳ

圖14給出了加載過程中自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型計(jì)算自由度的變化過程.由圖可知,在加載初期,與全細(xì)觀模型相比,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型的計(jì)算自由度數(shù)量基本可忽略不計(jì).隨著部分宏觀積分點(diǎn)的分析尺度由單一宏觀尺度轉(zhuǎn)換為宏細(xì)觀多尺度,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型的計(jì)算自由度有所增加,但直至完成加載,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元模型的計(jì)算自由度僅約為全細(xì)觀模型的8.35%.此外,在配置為Intel?CoreTMi9-9900 CPU@3.1 GHz、64 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)上,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析與全細(xì)觀數(shù)值模擬的CPU耗時(shí)分別為1.3與7.4 h,前者約為后者的17.57%.由此可知,與計(jì)算自由度數(shù)量的比值相比,CPU耗時(shí)的比值相對較大,這是因?yàn)樵诤昙?xì)觀遞進(jìn)多尺度分析中需進(jìn)行宏細(xì)觀尺度連接 (局部化和均勻化) .但相較而言,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析的CPU耗時(shí)仍遠(yuǎn)少于全細(xì)觀數(shù)值模擬,體現(xiàn)了其在計(jì)算效率方面的優(yōu)勢.

圖14 自由度數(shù)量變化

5 結(jié)論

1) 通過在宏細(xì)觀遞進(jìn)多尺度分析中實(shí)施分析尺度由單一宏觀尺度至宏細(xì)觀多尺度的自適應(yīng)轉(zhuǎn)換,可在保證分析精度的前提下,縮減細(xì)觀計(jì)算規(guī)模,提高分析效率.

2) 通過在分析中依據(jù)宏觀積分點(diǎn)的積分范圍,自適應(yīng)建立與之關(guān)聯(lián)的細(xì)觀模型,既可實(shí)現(xiàn)變尺寸細(xì)觀模型條件下的宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析,又可體現(xiàn)混凝土材料特性的隨機(jī)性.

3) 通過對細(xì)觀損傷加載區(qū)進(jìn)行均勻化,可獲取混凝土宏觀損傷量,實(shí)現(xiàn)在損傷開裂軟化階段對混凝土損傷狀態(tài)進(jìn)行宏細(xì)觀跨尺度定量表征.

4) 算例分析中,自適應(yīng)宏細(xì)觀遞進(jìn)有限元分析的計(jì)算自由度數(shù)量和CPU耗時(shí)分別約為全細(xì)觀數(shù)值模擬的8.35%和17.57%,體現(xiàn)了本文方法在計(jì)算效率方面的優(yōu)勢.