黑體空腔中熱平衡條件的導(dǎo)出

黃永義，張淳民

(西安交通大學(xué) 物理學(xué)院，陜西 西安 710049)

1900年瑞利導(dǎo)出瑞利-金斯公式時，直覺地給出了原子的電偶極振子和腔內(nèi)電磁波交換能量達(dá)到熱平衡時的條件：

(1)

1 黑體空腔中原子振子的輻射阻尼

如圖1所示，電場中的原子可視為一維電偶極振子，該振子在腔內(nèi)電磁波環(huán)境中做受迫振動時滿足的運動方程為

(2)

式中m為電子質(zhì)量，ω0為原子的電偶極振子的固有頻率，E0、ω分別為電磁波的振幅和圓頻率，電動力學(xué)教材給出的輻射阻尼系數(shù)為[6]

(3)

圖1 電場中的原子可視為一維電偶極振子

(4)

式中A′為弱阻尼振動的初始振幅，φ′為其初相，第一項阻尼項在長時極限t→∞下趨于零，第2項為式(2)的長時的穩(wěn)態(tài)解：

(5)

(6)

式中

為一維電偶極振子的能量，且有

能夠被該振子接收的電磁波對該振子做功，一個周期內(nèi)給該振子補充能量的平均值為

(7)

式中

〈sin(ωt+φ)cosωt〉=

從式(6)和式(7)看，一個周期內(nèi)電偶極諧振子損失能量和獲得能量相等，這也是意料中的事.事實上，電偶極振子和電磁波都在完美反射的封閉空腔里，電偶極振子輻射阻尼損失的能量變成電磁波，電磁波對電偶極振子做功又把能量還給振子，電偶極振子和電磁波的總能量不會損失，普朗克將空腔里電偶極振子的輻射阻尼稱為守恒阻尼.

2 黑體空腔中熱平衡條件的導(dǎo)出

電磁波對電偶極振子做功給與的能量式(7)，這就要求該電偶極振子能夠接收此電磁波的輻照能量.當(dāng)入射電磁波的電場垂直于振子電偶極矩時，該電偶極振子不會接收到該電磁波的輻照能量.實際空腔內(nèi)的電磁波會來自某電偶極振子的任何一個方向，如何保證電偶極振子能接收各個方向電磁波的輻照能量呢？費曼給出了答案，電偶極矩相互垂直的三個電偶極振子系統(tǒng)像一個振子一樣能夠接收來自任何方向電磁波的輻照能量[8].從式(6)和式(7)，我們得到3個電偶極振子系統(tǒng)輻射阻尼損失的能量和從各種振幅E0i、頻率為ω的電磁波輻照獲得的能量達(dá)到平衡的條件為

(8)

(9)

式(9)中c為光速，將式(9)代入式(8)得

(10)

一個電偶極振子接收的不只是單一頻率ω的電磁波，而是零到無窮的所有頻率的電磁波，此時需要對式(10)右側(cè)進(jìn)行積分:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3 小結(jié)

歷史上普朗克先于瑞利導(dǎo)出了熱平衡條件，最早給出了正確的黑體輻射譜的公式.雖然物理學(xué)家的直覺常常是正確的，不過直覺給出的結(jié)果依然需要經(jīng)過嚴(yán)格的理論論證或?qū)嶒炞C實，因為直覺本質(zhì)上是非邏輯的比較可靠的主觀的猜測.本文導(dǎo)出熱平衡條件的過程對于學(xué)習(xí)黑體輻射知識是有幫助的，同時也能很好地串聯(lián)受迫振動、帶電粒子的輻射、光強和電磁波的能量密度等知識點.理解和掌握該導(dǎo)出過程不需要高深的數(shù)學(xué)，只需要大學(xué)物理的知識就足夠了，因此本文對物理教學(xué)是有意義的.