李 政，曹利新，余祖元

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

0 引言

葉片是航空發(fā)動機的基礎(chǔ)、核心零部件。葉片前后緣具有厚度薄、半徑輪廓小、曲率變化劇烈等特點，對發(fā)動機性能起著重要作用，其加工一直是葉片制造的難點。本文為解決銑削加手工研磨[1-2]、電解加工[3-4]、電火花拷貝加工[5-8]等方法在前后緣的加工過程中存在的效率低下、精度不達標以及無法脫模等問題，提出一種六軸電火花單參數(shù)包絡(luò)加工方法對葉片前后緣進行修整，以提高效率、解決上述問題。其基本原理為：根據(jù)共軛曲面嚙合原理，用復雜曲面電極線接觸包絡(luò)加工葉片邊緣曲面，此方法需要用6個自由度才能描述電極相對葉片的姿態(tài)。具體加工原理本文不予討論。另外，此工藝需搭建有六軸聯(lián)動功能的專用加工中心進行試驗[9-10]。

影響此工藝加工精度的因素繁多，前期工作已對此工藝幾何原理的正確性進行了驗證，分析了刀位點密度、電極設(shè)計與建模誤差等因素對最終加工精度的影響。本文主要從幾何原理上對此工藝的誤差敏感因素進行仿真分析。因在電極制造、安裝過程中涉及多項誤差，電極模型與運動軌跡相對復雜，難以建立數(shù)學模型，所以這些源誤差對包絡(luò)誤差的影響難以直觀評估。以往公差的制訂都是根據(jù)經(jīng)驗進行，并無可靠依據(jù)，為最大程度降低試驗成本，以較寬松的公差要求獲得滿足精度要求的試件，本文對UG進行二次開發(fā)，以前緣加工為例，對電極工作曲面施加6個自由度方向的單項源誤差和57種組合源誤差，這些誤差既可看作電極制造誤差，又可視作安裝誤差，兩者等價。利用共軛曲面嚙合原理求出電極存在制造、安裝誤差情況下的電極運動包絡(luò)面點云數(shù)據(jù)，分析了各源誤差對最終包絡(luò)加工誤差的影響。為電極制造、安裝，試驗機床的搭建等過程中所涉各項公差的制訂提供了參考。

需說明的是，本文主要從幾何原理上進行仿真分析，并未考慮放電間隙和電極損耗的影響，這些因素的影響可在后續(xù)實驗的基礎(chǔ)上，對所設(shè)計的電極曲面和運動位姿進行修形或補償，此處不予考慮。

1 電極、葉片模型與包絡(luò)加工過程簡述

1.1 電極與葉片模型

電極模型如圖1所示，曲面S為電極工作曲面，OEXYZ為電極坐標系，定義了電極相互垂直的3個定位表面，用于描述電極在工件坐標系中的位置和姿態(tài)，下文用{OE}表示。

圖1 電極模型

圖2所示為葉片截面示意圖，虛線為中弧線，弦長b為中弧線與前后緣交點的連線，也即截面內(nèi)相距最遠兩點的連線。葉片前后緣一般定義為距弦長端點3～5 mm內(nèi)的部分，尺寸a1、a2所定義部分分別代表了葉片前緣和后緣。根據(jù)此定義，取a1=a2=3 mm，對葉片區(qū)域的劃分如圖3所示。

圖2 葉片截面示意圖

圖3 葉片與毛坯模型

1.2 包絡(luò)加工過程簡述

實際加工中，6個自由度的運動由電極和葉片共同完成。而從幾何原理上對誤差敏感因素進行仿真分析只需進行刀軌仿真。故本文中，6個自由度的運動由電極單獨完成。

理想情況下，電極沿刀位軌跡進行六軸運動，且在每一刀位點處始終保持工作曲面與葉片邊緣曲面有一條接觸線。圖4為電極運動過程示意。其中，體1為葉片前緣；OWXYZ為工件坐標系，下文用{OW}表示；曲線a代表電極坐標系原點OE在工件坐標系{OW}中的運動軌跡，電極沿軌跡a運動過程中，電極坐標系{OE}在工件坐標系{OW}中的分量也隨之變化。為描述方便，將電極模型簡化為由電極坐標系與電極工作曲面表示，坐標系{OEi}、曲面Si描述第i個刀位點處電極相對葉片前緣的位置，Ci表示電極工作曲面Si與葉片前緣的接觸線，第j個刀位點同上。當?shù)段稽c足夠密集時，就可包絡(luò)出葉片前緣形狀。

圖4 電極運動過程示意圖

2 電極運動包絡(luò)面點云及其誤差的求解

理想情況下，電極沿刀位軌跡運動后，工作曲面形成的包絡(luò)面與葉片應完全吻合。但因各種因素的影響，包絡(luò)面相對葉片前緣曲面總是存在一定的誤差。電極的設(shè)計、建模誤差、刀位點密度等因素對包絡(luò)誤差的影響已在前期工作中完成仿真分析。本章給出了理想情況下和電極制造安裝存在誤差情況下包絡(luò)面點云及其誤差的求解方法，以便對因電極制造、安裝誤差所引起的包絡(luò)加工誤差進行分析。

2.1 理想狀態(tài)下包絡(luò)面點云的計算

由圖4可知，理想情況下，電極工作曲面S:r(u,v)沿刀位點運動形成的單參數(shù)曲面族{St}可用矢量方程表示：

式中：t為曲面族的參數(shù)，每給t一個值，矢量方程（1）就代表一個曲面St，當t變化時，曲面St就隨之變化；u,v為St上的參數(shù)。

設(shè)曲面族{St}的包絡(luò)面，也即電極工作曲面運動的包絡(luò)面為Σ，則Σ的每一點都屬于{St}中的唯一一個曲面St，且和St在該點相切。由圖4知，Σ可由每時刻電極工作曲面與葉片前緣接觸線Ct的總和表示：

式中：t為刀位點序列；t0、tm為起始和結(jié)束點位。

設(shè)點P0為接觸線Ct0上一點，則其應滿足經(jīng)典嚙合條件：

式中：VP0為點P0相對于包絡(luò)面的相對運動速度；nP0為曲面St0上點P0處的法向單位矢量；刀位點足夠密集時，VP0可根據(jù)St0與St1由差分代替微分求出，nP0可調(diào)用UG函數(shù)求得。

綜上，可在St0上生成n條與接觸線Ct0垂直的參數(shù)線，根據(jù)St0與St1信息，在每條參數(shù)線上用二分法搜索滿足式（3）的點，這些點即為接觸線Ct0上的點。同理，由曲面族{St}可求出所有刀位點處的電極曲面與葉片前緣的接觸線Cti，其中0≤i≤m-1。

刀位點個數(shù)m=60，參數(shù)線條數(shù)n=10時，求得的電極工作曲面運動包絡(luò)面點云如圖5所示。

圖5 包絡(luò)面點云

2.2 存在源誤差情況下包絡(luò)面點云的計算

參考工業(yè)機器人的坐標系描述方法[13]，在電極存在制造、安裝誤差情況下，電極工作曲面沿刀位軌跡運動形成的曲面族{Sδt}在工件坐標系{OW}中可表示為：

當引入的源誤差值確定時，根據(jù)式（4）可在UG平臺上得到曲面族{Sδt}的模型。同2.1節(jié)所述，利用曲面Sδt0與Sδt1可得到Sδt0與包絡(luò)面Σδ的切線上的離散點，同理，刀位點足夠密集時，可由{Sδt}求出存在誤差時電極工作曲面Sδ運動包絡(luò)面Σδ的點云。得到電極工作曲面運動包絡(luò)面的點云數(shù)據(jù)后，調(diào)用UG函數(shù)，即可求得點云中各點距葉片前緣的最短距離，此距離即為各點處的誤差值。

3 電極制造誤差對葉片邊緣包絡(luò)加工精度的影響

由前期工作知：當?shù)段稽c個數(shù)m達到60時，包絡(luò)面上的最大誤差降低到極限。故本章以刀位點個數(shù)m=60為例，對電極進行1:1建模，電極塊尺寸為20 mm×15 mm×44 mm，根據(jù)6級公差等級[11-12]對電極工作曲面施加尺寸與轉(zhuǎn)角源誤差，各項源誤差值如表1所示。表中，δx為電極工作曲面整體沿電極坐標系XOE軸負方向偏移的源誤差值；δy、δz分別為電極工作曲面整體沿電極坐標系YOE、ZOE軸正方向偏移的源誤差值；δA、δB、δC分別為電極工作曲面繞XOE、YOE、ZOE軸順時針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角源誤差。

表1 源誤差值

源誤差對包絡(luò)誤差的影響程度用誤差擴大倍數(shù)K來表示：

式中：εu為存在u類誤差時包絡(luò)面上的最大誤差值；ε0為無源誤差時包絡(luò)面上的最大誤差值。

3.1 單項源誤差仿真分析

為得到單項源誤差對包絡(luò)誤差的影響規(guī)律，對電極模型分別施加6個自由度的單項源誤差，求出電極工作曲面運動的包絡(luò)誤差，與無源誤差時的包絡(luò)誤差形成對比。誤差對比如圖6所示。

圖6 單項源誤差的包絡(luò)誤差對比

包絡(luò)面最大誤差εu(m)與誤差擴大倍數(shù)Ku(m)如表2所示。分析圖6與表2可知，除δz、δC對包絡(luò)誤差的影響較小外，其余4種單項源誤差對包絡(luò)誤差的影響均較大。

表2 包絡(luò)面最大誤差εu與誤差擴大倍數(shù)Ku

3.2 組合源誤差仿真分析

為最大程度降低成本，本節(jié)對6個自由度方向的源誤 差進行共種不同的組合，以期發(fā)現(xiàn)對包絡(luò)加工精度影響最大的源誤差組合。再對影響較大的源誤差組合進行方向上的變化，判斷組合源誤差之間是否存在可以相互抵消的情況，從而盡可能地制訂寬松的公差要求。因篇幅限制，相同項數(shù)的組合只列出了影響最大的6種情況。表3中，δxy表示對電極工作曲面同時施加δx和δy源誤差，其他變量的含義依此類推。分析表2、表3知：δxB、δyA的存在對包絡(luò)加工誤差的影響較大；δz、δC的存在可抵消部分δxB、δyA對包絡(luò)誤差的影響。

表3 同項數(shù)組合中影響最大的6種情況

為探究XOE方向尺寸誤差與繞YOE的轉(zhuǎn)角誤差、YOE方向的尺寸誤差與繞XOE的轉(zhuǎn)角誤差是否可以實現(xiàn)部分抵消，對電極曲面施加δx(-B)、δy(-A)、δxy(-A)(-B)源誤差進行誤差仿真分析，-A、-B表示電極工作曲面分別繞XOE、YOE軸逆時針旋轉(zhuǎn)，結(jié)果如表4所示。由表3、表4可知，δy與δ(-A)同時存在可抵消部分各自對包絡(luò)加工誤差的影響；δx與δ(-B)同時存在可抵消部分各自對包絡(luò)加工誤差的影響。

表4 反向后的組合項

4 結(jié)束語

本文對UG進行二次開發(fā)，在不考慮放電間隙與電極損耗情況下，從幾何原理入手，分析了電極制造誤差對葉片邊緣包絡(luò)加工精度的影響，電極安裝誤差對精度的影響與電極制造誤差等價。得到以下結(jié)論。

（1）單項源誤差中，δz、δC對包絡(luò)誤差影響較小，可制訂適當寬松的公差約束。

（2）57種組合源誤差中，δxB、δyA的誤差擴大倍數(shù)分別為10.46、8.53，對包絡(luò)誤差影響很大，在公差制訂中應嚴格控制，避免出現(xiàn)此類組合的源誤差。

（3）δx(-B)、δy(-A)的誤差擴大倍數(shù)分別為3.91、3.46，即δx與δ(-B)、δy與δ(-A)可相互抵消一部分各自對包絡(luò)誤差的影響。應盡量按照此類組合進行公差的制訂。