李 明，鄧 乾，呂劉飛

(武漢科技大學(xué) 理學(xué)院工程力學(xué)系，武漢 430065)

微納輸流管道系統(tǒng)在現(xiàn)階段多領(lǐng)域有著極大的應(yīng)用前景，尤其在生物醫(yī)藥領(lǐng)域，微納管道以其特有的小尺度性在生物傳感器、藥物輸送等方面有著不可替代的作用，其中碳納米管因其具有1～40 nm的平均直徑以及完美的空心管道結(jié)構(gòu)已被認(rèn)為是輸送基因藥品、抗癌藥物等的最佳輸流管道之一[1-4]。在微納管道輸送藥物的具體應(yīng)用中，常通過(guò)施加外加磁場(chǎng)來(lái)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使流體能更為精準(zhǔn)地送至靶向目標(biāo)，基于此大量相關(guān)研究隨之出現(xiàn)[5-8]，而在眾多研究中，納米流固耦合系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理是現(xiàn)階段亟待了解與掌握的熱點(diǎn)研究之一[9-13]。大量研究表明這類系統(tǒng)的振動(dòng)與管內(nèi)流體流速及系統(tǒng)的邊界條件有關(guān)，即：管內(nèi)流體流速增加，輸流管道會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，但邊界條件不同失穩(wěn)類型又不盡相同。過(guò)去的十幾年中納米輸流管道系統(tǒng)另一個(gè)研究熱點(diǎn)是如何反映納米管道的小尺度效應(yīng)，由此基于小尺度效應(yīng)的許多高階連續(xù)介質(zhì)理論得以應(yīng)用于納米輸流管道的振動(dòng)以及失穩(wěn)特性[14-16]的研究中。Ghane等[17]應(yīng)用非局部連續(xù)介質(zhì)理論，以Euler-Bernoulli梁模型研究了縱向磁場(chǎng)中輸流碳納米管的振動(dòng)及顫振失穩(wěn)。Bahaadini等[18]則應(yīng)用非局部應(yīng)變梯度理論采用Timoshenko梁模型研究了小尺度效應(yīng)、稀薄效應(yīng)對(duì)碳納米輸流管道振動(dòng)以及失穩(wěn)特性的影響。在納米流體儲(chǔ)存、運(yùn)輸以及納米復(fù)合材料等納米技術(shù)領(lǐng)域，碳納米管常嵌于某一基體中，而研究納米管動(dòng)力學(xué)特性所涉及的基體大都等效為Winkler弾性模型、Pasternak弾性模型以及其他一些粘彈性模型等[19-21].

目前文獻(xiàn)中對(duì)作用于輸流碳納米管道系統(tǒng)各參數(shù)間相互影響的研究鮮少提及。筆者依據(jù)非局部Euler-Bernoulli梁模型，彈性基體采用Pasternak弾性模型，針對(duì)縱向磁場(chǎng)作用下嵌入彈性基體中的簡(jiǎn)支輸流單層碳納米管(SWCNT)系統(tǒng)，研究各項(xiàng)參數(shù)耦合作用時(shí)該系統(tǒng)的振動(dòng)及穩(wěn)定性問(wèn)題，并著重對(duì)各參數(shù)間的相互影響做進(jìn)一步地分析，以期為納米管在各領(lǐng)域中的應(yīng)用提供一定的理論依據(jù)。

1 振動(dòng)控制方程

圖1為彈性基體中簡(jiǎn)支輸流碳納米管在縱向磁場(chǎng)中的示意圖。

圖1 縱向磁場(chǎng)中嵌入Pasternak彈性基體簡(jiǎn)支輸流單層碳納米管Fig. 1 A fluid-conveyed SWCNT embedded in Pasternak elastic matrix subjected to a longitudinal magnetic field

如圖所示建立坐標(biāo)系，X為納米管的軸向坐標(biāo)，碳納米管長(zhǎng)度記為L(zhǎng)，外徑為D，彎曲剛度記為EI。該系統(tǒng)僅發(fā)生面內(nèi)橫向小幅振動(dòng)，不計(jì)重力及管道外部拉、壓力的影響，管內(nèi)流體流動(dòng)為理想流體的定常流動(dòng)，不計(jì)流動(dòng)阻力，流速不變記為U。

(1)

式中：W(X,t)為z向位移，t為時(shí)間，eXX為x方向的應(yīng)變。

(2)

式中：σXX為x方向的應(yīng)力，E為納米管彈性模量，e0為材料常數(shù)，a為材料內(nèi)部特征長(zhǎng)度，對(duì)于碳納米管而言C—C鍵長(zhǎng)一般為0.142 nm[23]。

碳納米管內(nèi)部流體作用于納米管的力可表示為[24]

(3)

式中，mf為每單位長(zhǎng)度上納米管內(nèi)部流體的質(zhì)量。

縱向磁場(chǎng)中，由磁場(chǎng)引起的作用于納米管z方向上單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)力為[6]

(4)

Pasternak弾性基體由彈性參數(shù)K與剪切參數(shù)G來(lái)描述，其對(duì)納米管作用力表示為[25]

(5)

基于上述各式，由彈性基體、磁場(chǎng)以及管內(nèi)流體共同作用于碳納米管的功為：

(6)

管道系統(tǒng)的總動(dòng)能為

(7)

式中，mc為每單位長(zhǎng)度上納米管的質(zhì)量。

管道系統(tǒng)的應(yīng)變能為

(8)

考慮到彎矩M與應(yīng)力σXX的關(guān)系式：

M=?σXXZdA，

(9)

應(yīng)用哈密頓原理：

(10)

可以得到輸流簡(jiǎn)支碳納米管的運(yùn)動(dòng)方程為：

(11)

邊界條件為：

(12)

2 振動(dòng)控制方程求解

則上述橫向振動(dòng)方程(11)及邊界條件(12)可分別轉(zhuǎn)化為下述的無(wú)量綱方程

(13)

無(wú)量綱邊界條件

(14)

設(shè)方程(13)的解為w=φ(x)eΩ τ，代入方程(13)有

(15)

采用微分變換法(DTM)求解上述高階微分方程，DTM算法是將待求解的微分方程轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的代數(shù)方程組，進(jìn)而通過(guò)求解該代數(shù)方程組來(lái)獲得原微分方程閉合級(jí)數(shù)解的一種半解析算法。DTM法應(yīng)用于納米級(jí)別輸流管道系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性分析已在文獻(xiàn)[4]得到證實(shí)。

基于DTM運(yùn)算法則[26]，可得到方程(15)的微分變換形式：

[(u2-ψ-g)-μ(Ω2+k)](n+2)!Φ(n+2)+(Ω2+k)n!Φ(n)=0。

(16)

其中Φ(n)為φ(x) 變換函數(shù)。

邊界條件的微分變換形式：

Φ(0)=Φ(2)=0，

(17)

(18)

令Φ(1) =C1,Φ(3) =C2，進(jìn)而與式(17)一起代入式(16)，迭代求得Φ(n)，n= 4, 5,…,N。然后將Φ(n)，n= 0, 1, 2, …,N代入式(18)，可得到以下2個(gè)方程：

(19)

令上式系數(shù)矩陣行列式為零即可獲得輸流碳納米管系統(tǒng)無(wú)量綱復(fù)頻率Ω，其中虛部Im(Ω)是系統(tǒng)的無(wú)量綱頻率，研究表明[27]，在Im(Ω) = 0 時(shí)，簡(jiǎn)支管道系統(tǒng)出現(xiàn)屈曲失穩(wěn)，此時(shí)流速稱為系統(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速，記為ucr。

3 數(shù)值算例分析

采用的納米管幾何與材料參數(shù)分別為[6]：管內(nèi)流體的密度rf= 1 000 kg/m3,碳納米管密度rc= 2 300 kg/m3，外層半徑R0= 3 nm，壁厚td= 0.1 nm，彈性模量E= 3.4 TPa，泊松比n=0.3。振動(dòng)中為不計(jì)納米管剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，長(zhǎng)徑比取L/2R0= 40，磁導(dǎo)率h= 4π×10-7，質(zhì)量比β= 0.5，其余參數(shù)選擇在算例中將給與說(shuō)明，選取DTM算法收斂截取數(shù)60以確保各項(xiàng)數(shù)值解足夠精確[6]。

圖2為不考慮彈性基體時(shí)，簡(jiǎn)支輸流SWCNT系統(tǒng)無(wú)量綱臨界流速在小尺度系數(shù)μ及磁場(chǎng)強(qiáng)度HX耦合作用下的變化規(guī)律。由圖2可以看出隨著小尺度系數(shù)的增加系統(tǒng)臨界流速降低，系統(tǒng)更易出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象；而隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增強(qiáng)系統(tǒng)臨界流速增大、穩(wěn)定性提高。進(jìn)一步分析圖2可以發(fā)現(xiàn)，小尺度系數(shù)越大，磁場(chǎng)的增強(qiáng)對(duì)臨界流速的提高越明顯，例如：磁場(chǎng)強(qiáng)度由0提高到1×108A/m，在m= 0時(shí)，臨界流速提升量Δucr= 4.42；在μ= 0.2時(shí)， Δucr= 4.714.而磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，改變小尺度效應(yīng)對(duì)臨界流速的影響越不明顯，例如：小尺度參數(shù)μ由0增加到0.2，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度HX= 0 A/m時(shí)，臨界流速降低值Δucr= 0.481；當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度HX=1×108A/m時(shí)，Δucr= 0.187.

圖3為不計(jì)小尺度效應(yīng)及磁場(chǎng)作用時(shí)，彈性基體無(wú)量綱彈性參數(shù)k及剪切參數(shù)g對(duì)系統(tǒng)無(wú)量綱臨界流速u的影響。由圖3可以看到，隨著彈性基體雙參數(shù)的增加系統(tǒng)臨界流速均提高，說(shuō)明彈性基體增強(qiáng)了系統(tǒng)的剛度。比較雙參數(shù)耦合作用的影響可以發(fā)現(xiàn)，剪切參數(shù)g對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響優(yōu)于彈性參數(shù)k。

圖2 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨磁場(chǎng)強(qiáng)度 與小尺度系數(shù)變化規(guī)律 (k = g = 0)Fig. 2 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of both nonlocal parameter and magnetic field(k = g = 0)

圖3 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨彈性基體 雙參數(shù)變化規(guī)律 (μ = 0, HX = 0 A/m) Fig. 3 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of Pasternak matrix parameters (μ = 0, HX = 0 A/m)

圖4和圖5為不計(jì)小尺度效應(yīng)時(shí)，彈性基體與磁場(chǎng)共同作用下輸流SWCNT系統(tǒng)無(wú)量綱臨界流速的變化規(guī)律，其中圖4剪切參數(shù)g= 0、圖5彈性參數(shù)k= 0。由圖4、5可以看到增強(qiáng)外加磁場(chǎng)及彈性基體均可提高系統(tǒng)的臨界流速，說(shuō)明彈性基體與縱向磁場(chǎng)均能增強(qiáng)系統(tǒng)的剛度。進(jìn)一步比較各參數(shù)間的相互影響可以發(fā)現(xiàn)：在較強(qiáng)磁場(chǎng)中，彈性基體的改變對(duì)系統(tǒng)臨界流速的影響程度降低，例如：無(wú)量綱彈性參數(shù)k由0增至300(圖4)，磁場(chǎng)強(qiáng)度為0 A/m時(shí)，臨界流速提升量Δucr= 3.024；磁場(chǎng)強(qiáng)度為1×108A/m時(shí)，Δucr= 1.797。而在較強(qiáng)彈性基體下，磁場(chǎng)的增強(qiáng)對(duì)系統(tǒng)臨界流速的提升程度也相應(yīng)降低，如：外加磁場(chǎng)時(shí)由0增至1×108A/m，在彈性參數(shù)k= 0時(shí)，Δucr= 4.42；在k= 300時(shí)，Δucr= 3.013。分析圖5數(shù)據(jù)也可得到類似結(jié)論，這里不再贅述。這意味著在對(duì)系統(tǒng)剛度的提升作用中，縱向磁場(chǎng)與彈性基體并沒(méi)有“遇強(qiáng)更強(qiáng)”，而是出現(xiàn)了“此長(zhǎng)彼消”的變化情況。

圖4 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨磁場(chǎng)與彈性參數(shù)k 變化規(guī)律(μ = g = 0)Fig. 4 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of both magnetic field and elastic parameter k (μ = g = 0)

圖5 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨磁場(chǎng)與剪切參數(shù)g 變化規(guī)律(μ = k = 0)Fig. 5 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of both magnetic field and shear parameter g (μ = k = 0)

圖6和圖7為不計(jì)磁場(chǎng)作用時(shí)，彈性基體與小尺度效應(yīng)共同作用時(shí)輸流SWCNT系統(tǒng)無(wú)量綱臨界流速的變化規(guī)律，其中圖6剪切參數(shù)g= 0、圖7彈性參數(shù)k= 0。由圖6、7可以看到有無(wú)彈性基體，小尺度系數(shù)μ的增加都會(huì)降低系統(tǒng)的臨界流速，而增強(qiáng)彈性基體可以提高系統(tǒng)臨界流速。進(jìn)一步比較各參數(shù)間的相互影響可以發(fā)現(xiàn)：小尺度效應(yīng)與彈性基體間的相互影響作用表現(xiàn)得較為復(fù)雜。小尺度效應(yīng)越強(qiáng)，彈性參數(shù)k的變化對(duì)系統(tǒng)臨界流速的影響越弱，但剪切參數(shù)g對(duì)臨界流速的影響越強(qiáng)，如：彈性參數(shù)k由0增至300，在小尺度系數(shù)為0時(shí)，臨界流速提升值Δucr= 3.204，小尺度系數(shù)為0.2時(shí)，Δucr= 2.123(圖6)；剪切參數(shù)g由0增至60，在小尺度系數(shù)為0時(shí)，Δucr= 5.217，小尺度系數(shù)為0.2時(shí)，Δucr= 5.53(圖7)。反觀彈性基體，在較大彈性參數(shù)k與較小剪切參數(shù)g時(shí)，小尺度效應(yīng)的改變對(duì)臨界流速的影響越明顯，如：μ由0增加到0.2，在k= 0時(shí)，臨界流速降低值Δucr= 0.481，k= 300時(shí)，Δucr=1.562(圖6)；同樣的μ由0增加到0.2，在g= 0時(shí)， 臨界流速降低值Δucr= 0.481，g= 60時(shí)，Δucr= 0.168(圖7)。

圖6 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨小尺度系數(shù) 與彈性參數(shù)k變化規(guī)律(g = 0, HX = 0 A/m) Fig. 6 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of both nonlocal parameter and elastic parameter k (g = 0, HX = 0 A/m)

圖7 輸流SWCNT無(wú)量綱臨界流速隨小尺度系數(shù) 與剪切參數(shù)g變化規(guī)律(k = 0, HX = 0 A/m) Fig. 7 Critical flow velocities for the fluid-conveyed SWCNT with the change of both nonlocal parameter and shear parameter g (k = 0, HX = 0 A/m)

圖8和圖9分別給出了外加縱向磁場(chǎng)與小尺度效應(yīng)對(duì)彈性基體中輸流管道系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響，其中圖8小尺度系數(shù)m= 0，圖9磁場(chǎng)強(qiáng)度HX= 0 A/m。由圖8、9可以發(fā)現(xiàn)，不同參數(shù)情形下，管道系統(tǒng)振動(dòng)

圖8 不同縱向磁場(chǎng)與彈性基體系統(tǒng)無(wú)量綱流速與 頻率的關(guān)系 (m = 0) Fig. 8 The dimensionless complex frequency as a function of u for different elastic matrixes and magnetic fields(m = 0)

圖9 不同小尺度系數(shù)與彈性基體系統(tǒng)無(wú)量綱流速與 頻率的關(guān)系(HX = 0 A/m)Fig. 9 The dimensionless complex frequency as a function of u for different elastic matrixes and nonlocal parameters(HX = 0 A/m)

頻率均隨管內(nèi)流體流速增加而降低，且當(dāng)流速達(dá)到相應(yīng)的某一臨界流速時(shí)，管道系統(tǒng)均產(chǎn)生了發(fā)散失穩(wěn)。由圖8、9還可以看出，外加縱向磁場(chǎng)與彈性基體可提高系統(tǒng)的振動(dòng)頻率，而小尺度效應(yīng)降低系統(tǒng)振動(dòng)頻率。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，磁場(chǎng)在沒(méi)有彈性基體時(shí)對(duì)頻率的提高程度優(yōu)于有彈性基體時(shí)的情況；而對(duì)于小尺度效應(yīng)，由圖9可以看到，在較大彈性參數(shù)與較小剪切參數(shù)的彈性基體中，小尺度系數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)頻率的影響程度較強(qiáng)。

4 結(jié) 論

基于非局部連續(xù)介質(zhì)理論，以Euler-Bernoulli梁模型，彈性基體采用Pasternak弾性模型，研究了縱向磁場(chǎng)作用下嵌入彈性基體中的輸流SWCNT管道系統(tǒng)在小尺度系數(shù)、磁場(chǎng)強(qiáng)度及彈性基體共同作用下的發(fā)散失穩(wěn)問(wèn)題，并著重研究了上述耦合作用的各參數(shù)相互之間的影響情況，得到如下結(jié)論：

1) 彈性基體、縱向磁場(chǎng)均能提升系統(tǒng)剛度，從而提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；而小尺度效應(yīng)則降低了系統(tǒng)的剛度，使納米管道系統(tǒng)更易出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。

2)彈性基體在對(duì)系統(tǒng)剛度的提升中，其剪切參數(shù)的作用優(yōu)于彈性參數(shù)的作用。

3) 彈性基體與外加縱向磁場(chǎng)在共同提升系統(tǒng)穩(wěn)定性的過(guò)程中，出現(xiàn)了“此長(zhǎng)彼消”這一現(xiàn)象，即較強(qiáng)的彈性基體將降低外加磁場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的提升效率，反之亦然。

4) 彈性基體與小尺度效應(yīng)的相互作用顯得較為復(fù)雜，具體表現(xiàn)為：彈性基體的彈性參數(shù)越大、剪切參數(shù)越小，小尺度效應(yīng)對(duì)輸流管道系統(tǒng)的影響越強(qiáng)；而小尺度效應(yīng)越明顯，彈性基體中彈性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響越弱、剪切參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響越強(qiáng)。

上述結(jié)論意味著，在實(shí)際應(yīng)用中，為了增強(qiáng)納米輸流管道的穩(wěn)定性，可通過(guò)外加磁場(chǎng)或彈性基體的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，但二者耦合作用時(shí)一味增大二者強(qiáng)度并不是一個(gè)較為經(jīng)濟(jì)的做法。另外，可適當(dāng)增強(qiáng)磁場(chǎng)強(qiáng)度或選擇彈性參數(shù)小、剪切參數(shù)大的彈性基體來(lái)降低小尺度效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的影響。