“七彩陽光”2022屆新高考研究聯(lián)盟
——道試題的探究

?甘肅省張掖市臨澤縣第一中學(xué)

劉 義

1 引言

解三角形問題能自然合理交匯與融合代數(shù)關(guān)系式變換，以及函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，背景簡潔明了，思想方法豐富，技巧策略多樣，能很好考查考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和數(shù)學(xué)能力，提供考生更多的機(jī)會(huì)與空間，充分展現(xiàn)學(xué)生的能力水平，倍受各方關(guān)注.

2 問題呈現(xiàn)

本題是一道涉及解三角形的最值的綜合應(yīng)用問題，通過給出三角形的面積，求解涉及三角形三邊的代數(shù)關(guān)系式的最值.此類問題是近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)熱點(diǎn)，主要考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，如正弦定理，余弦定理，面積公式等，同時(shí)交匯三角函數(shù)、基本不等式、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)問題.

3 問題破解

思維視角一：三角函數(shù)思維.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過正弦定理化邊為角的關(guān)系式，利用所求代數(shù)關(guān)系式的通分以及恒等變換，結(jié)合余弦定理與正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式，利用輔助角公式變形，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過余弦定理的應(yīng)用與關(guān)系式的變形，從另一角度將所求的代數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為同一角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合輔助角公式的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.利用代數(shù)關(guān)系式的特征，巧妙合理變形，從而實(shí)現(xiàn)等量代換與變形，思維視角不同，方法技巧類似.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，通過余弦定理的應(yīng)用與關(guān)系式的變形，同樣可以將所求的代數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為同一角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合輔助角公式的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定最值.不同的公式應(yīng)用與視角切入，抓住化邊為角，轉(zhuǎn)化為同一三角函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定相應(yīng)的最值.

思維視角二：坐標(biāo)思維(坐標(biāo)法).

根據(jù)基本不等式，可得

點(diǎn)評(píng)：通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，通過兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，通過關(guān)系式的恒等變形以及換元處理，利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.

思維視角三：函數(shù)思維(導(dǎo)數(shù)法).

化簡整理得4c4-6(a2+b2)c2+3(a2-b2)2=0，解得

點(diǎn)評(píng)：利用海倫公式用邊的關(guān)系式來表示三角形的面積，通過關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建涉及c2的方程并加以求解，進(jìn)而用涉及另兩邊的關(guān)系式來表示所求的代數(shù)關(guān)系式，通過換元處理，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值.利用導(dǎo)數(shù)法求解最值時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，合理地?fù)Q元處理為導(dǎo)數(shù)法求解提供條件.

4 變式拓展

探究1保留題目創(chuàng)新情境，簡化求解代數(shù)式，使得問題更加簡單快捷，難度中等偏下，較原題難度有所下降，比較適合大部分同學(xué).

故填答案：4.

探究2保留題目創(chuàng)新情境，改變代數(shù)關(guān)系式，化減號(hào)為加號(hào)，從最值的另一個(gè)角度來求解，知識(shí)點(diǎn)考查的難度與原題相當(dāng)，難度中等.

5 解后反思

(1)思路歸納，策略總結(jié).

解三角形問題的一般思路有以下兩種：①代數(shù)角度，利用正、余弦定理，尋找關(guān)于角或者邊的關(guān)系進(jìn)行合理化簡.有時(shí)也可通過建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進(jìn)行求解.②幾何角度，借助平面幾何知識(shí)，尋找圖形中蘊(yùn)藏的幾何關(guān)系，結(jié)合邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等來分析與求解.

(2)最值問題，方法擔(dān)當(dāng).

破解解三角形有關(guān)的求值與最值問題，關(guān)鍵是對(duì)已知條件的分析，從代數(shù)角度切入，將邊角關(guān)系利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.利用正弦定理化角，往往會(huì)結(jié)合三角恒等變換公式以及輔助角公式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題；利用余弦定理化邊，往往結(jié)合基本不等式和三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解；利用平面幾何圖形的變化規(guī)律，通過極端思維或端點(diǎn)效應(yīng)來確定相應(yīng)的最值問題.