也談數(shù)學(xué)教學(xué)教什么*

江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心

王惠清

對“數(shù)學(xué)教學(xué)教什么？”這個問題的思考，源于當(dāng)前“內(nèi)卷化”的數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀.隨著教育改革進(jìn)入“深水區(qū)”，教育“內(nèi)卷化”效應(yīng)愈加明顯.“內(nèi)卷化”的結(jié)果直接導(dǎo)致學(xué)生不知道學(xué)什么，卻整天在學(xué)；教師不知道教什么，卻整天在教.一切為了高考，學(xué)生學(xué)得累，教師教得累，這似乎成了當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常態(tài).核心素養(yǎng)背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)到底教什么呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該教理解、思維、思想方法和數(shù)學(xué)精神.

1 教理解

有人認(rèn)為，練是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提高考試成績最有效的途徑.于是，教師在教學(xué)時往往存在“輕過程、重結(jié)果”的錯誤做法：新授內(nèi)容無限制地被壓縮，相關(guān)概念、原理等新知內(nèi)容，課上“一帶而過”，甚至和盤托出；然后，進(jìn)行大規(guī)模機械重復(fù)的強化訓(xùn)練，并加大訓(xùn)練難度.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也出現(xiàn)了這樣一種奇怪的現(xiàn)象：雖然不知道問題是如何產(chǎn)生的，卻竟然知道如何去解答.“知其然而不知其所以然”幾乎成了許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實寫照.顯然，這種教法背離了數(shù)學(xué)教育的初衷，歪曲了數(shù)學(xué)的本來面目.

數(shù)學(xué)需要死記硬背嗎？否！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在理解，數(shù)學(xué)科目文科化學(xué)習(xí)，必然會導(dǎo)致數(shù)學(xué)思維的停滯不前.在教三角函數(shù)時，教師都遇到過這樣的尷尬，讓學(xué)生拼命記憶眾多三角公式，并加以默寫，可遇到具體問題時，學(xué)生還是忘記了公式或不知如何用公式.造成這種現(xiàn)象的原因，歸根結(jié)底是學(xué)生沒有理解這些公式是如何產(chǎn)生的.因此，教師要教的不是讓學(xué)生記憶公式，而是利用思維導(dǎo)圖讓學(xué)生理解這些公式及其用途，比如，對于三角恒等變換公式，教師就是這樣讓學(xué)生理解的，如圖1.

圖1

實踐證明：輕過程、重結(jié)果式的數(shù)學(xué)教學(xué)注定是一種失敗的教學(xué).為了扭轉(zhuǎn)失敗局面，教師只能讓學(xué)生刷題，這種低效的教學(xué)不僅阻礙了學(xué)生的進(jìn)步，同時，也抑制了教師的成長，因為忽視理解的教學(xué)直接導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)思維永遠(yuǎn)停留在原地、故步自封.

2 教思維

數(shù)學(xué)是思維的體操.離開了思維談教數(shù)學(xué)，是竹籃打水一場空.無論是怎樣的課堂模式，如果教師激不起學(xué)生思維的漣漪，那就是一堂失敗的課.數(shù)學(xué)課不可盲目地追求形式，如果花哨的課堂形式不能引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這種形式我們就應(yīng)該摒棄.那么，教師如何教學(xué)生數(shù)學(xué)思維呢？

筆者以為，一方面，教師要善于創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)課堂問題情境，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，快速將學(xué)生的思維引向正軌.例如，在學(xué)習(xí)最優(yōu)化問題時，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣一個問題情境：某農(nóng)戶，有100m長的圍欄，準(zhǔn)備將它圍成一個雞圈，試問如何圍才能使雞圈的面積最大.一石激起千層浪.學(xué)生都積極思考起來.大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過計算，認(rèn)為圍成正方形時，雞圈的面積最大.但也有學(xué)生認(rèn)為，圍成一個圓時，面積最大.最后經(jīng)過面積比較發(fā)現(xiàn)，圍欄圍成圓時，面積最大.這其實是一個發(fā)散性思維問題，看似簡單，卻容易因為考慮不周而得到錯誤結(jié)論.通過兩種情形的討論，既教會了學(xué)生思維方法，又培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性.

另一方面，教師要善于設(shè)計問題串，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維螺旋式上升.教師教學(xué)生思維，就是教學(xué)生如何思考問題，并找到解決問題的方法.而問題串是引導(dǎo)學(xué)生思維由淺入深的最有效的途徑之一.例如，在基本不等式的應(yīng)用教學(xué)中，筆者設(shè)計了這樣一組問題串：

(3)已知a>0，b>0，且a+3b-5ab=0，則3a+4b的最小值是______；

以上五個問題，為學(xué)生鋪設(shè)了一條拾階而上的思維之路.學(xué)生順著這條路自主探索，基本不等式應(yīng)用中的思維方法自然生成.

3 教思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能站在解題的制高點.教學(xué)中，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)思想方法滲透到每一堂課中，通過“一題多解”或“一題多變”，讓學(xué)生在多元思維碰撞中，感悟與形成思想方法.

例如，解析幾何計算問題一直是學(xué)生的痛點，主要原因是學(xué)生沒有真正領(lǐng)會解析幾何問題包含的思想方法，為此，教師就要站在思想方法的高度引導(dǎo)學(xué)生解題.如有這樣一道題：

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點的直線l：y=k1x(k1>0)交拋物線C：y2=2x于點P(異于原點O)，拋物線C上點P處的切線交y軸于點M，設(shè)線段OP的中點為N，連接線段MN交C于點T.

圖2

(2)過點P作圓O′：(x-1)2+y2=1的切線交C于另一點Q，設(shè)直線OQ的斜率為k2，證明：|k1-k2|為定值.

這是一道2021年蘇州高考模擬題，主要考查直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時考查對復(fù)雜式子的簡化處理.教師在評析時，應(yīng)從不同角度或不同方法去引導(dǎo)學(xué)生分析問題.限于篇幅，本文中給出與學(xué)生探討的問題(1)的兩種解法：

通過對本題的評析，強化了學(xué)生對復(fù)雜等式簡化處理的方法，讓學(xué)生感悟到了方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并學(xué)會用這兩個基本的思想去解決解析幾何中的運算問題.

4 教數(shù)學(xué)精神

精神，即靈魂.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界就是讓數(shù)學(xué)精神伴隨一生.教學(xué)中，除讓學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思想方法去解決問題，更應(yīng)讓學(xué)生體會其中的數(shù)學(xué)精神，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不畏艱險知難而上的韌勁、化繁為簡化難為易的巧勁、腳踏實地穩(wěn)步向前的干勁等，這些才是教師應(yīng)該教給學(xué)生并讓學(xué)生終身受益的“精神財富”.

總之，數(shù)學(xué)不僅僅是一門課程，它更代表一種獨特的思維、獨特的方法和獨特的精神，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.