方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

甘肅省秦安縣第二中學(xué)

王永強(qiáng)

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).人類(lèi)歷史發(fā)展中數(shù)學(xué)是最先且一直應(yīng)用在實(shí)際生活中的一門(mén)科學(xué).任何一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，也是一切科學(xué)的靈魂.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性，而且在于應(yīng)用的廣泛性.我們只有掌握了數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用，并能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各種各樣的實(shí)際問(wèn)題，才能說(shuō)真正學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和途徑之一，它可以促進(jìn)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用主要和數(shù)學(xué)建模的方法結(jié)合起來(lái)，利用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.

其中方程思想往往通過(guò)和函數(shù)思想、不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想等的結(jié)合，可以解決現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)過(guò)程中的很多問(wèn)題.本文中選取經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、數(shù)據(jù)測(cè)量、軍事國(guó)防等方面的具體實(shí)例，尋求解決這些問(wèn)題的辦法.

1 在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)方面的應(yīng)用

現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到向銀行存款時(shí)怎樣存款獲得的利息最多，按揭貸款買(mǎi)房時(shí)怎么貸款支付的利息最少等合理使用資金的問(wèn)題.這些問(wèn)題可以應(yīng)用方程思想來(lái)解決，下面我們舉一個(gè)銀行存款的問(wèn)題.

1.1 問(wèn)題提出

北京大學(xué)學(xué)?；饡?huì)有一筆M萬(wàn)元的基金，打算將其存入銀行或購(gòu)買(mǎi)國(guó)庫(kù)券，當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券的利息見(jiàn)表1.假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定，取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策.

表1 銀行存款、國(guó)庫(kù)券年利率表

北京大學(xué)學(xué)校基金會(huì)計(jì)劃在每年用部分本息資金獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀的師生，要求每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額大致相同，并且讓基金使用N年后M萬(wàn)元的基金不能減少.

請(qǐng)你幫助北京大學(xué)學(xué)?；饡?huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案.

假設(shè)M=5 000萬(wàn)元，N=10年.北京大學(xué)在基金到位后的第3年要舉行百年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其他年度多20%.請(qǐng)給出具體分析結(jié)果.

1.2 模型假設(shè)

(1)假設(shè)銀行利率和國(guó)庫(kù)券利率一直保持不變.

(2)假設(shè)每年存取款也就是國(guó)庫(kù)券發(fā)行期.

(3)假設(shè)每年獎(jiǎng)金發(fā)放時(shí)間不定，和存取款時(shí)間相同.

1.3 模型分析

本模型的一個(gè)目的是提高所得利率，從利率表可以看出銀行存款或國(guó)庫(kù)券時(shí)間越長(zhǎng)，利率越大，收益越大.另一個(gè)目的是每年利用大致相同的部分本息資金獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，也就是每年要取出一部分錢(qián)來(lái)使用.滿足這兩點(diǎn)，模型才合理.通過(guò)對(duì)利率表的分析，時(shí)間越長(zhǎng)，利息越多.如果在同一年期國(guó)庫(kù)券利率高時(shí)就買(mǎi)國(guó)庫(kù)券，銀行利率高時(shí)就把錢(qián)存入銀行，也就是把錢(qián)存在同期利率高的方式做投資.

我們假設(shè)：

X1表示1年期存款數(shù)，一年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X2表示購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，二年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X3表示購(gòu)3年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，三年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X4表示購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)，四年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X5表示購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，五年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X6表示購(gòu)3年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)3年期國(guó)庫(kù)券，六年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X7表示購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)券，七年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X8表示購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)3年期國(guó)庫(kù)券，八年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金；X9表示購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)3年期國(guó)庫(kù)券，再到期后連本帶利存一年定期，(也可以購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券，到期后連本帶利再購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)券，到期后連本帶利再購(gòu)2年期國(guó)庫(kù)券，但這種方案沒(méi)有前者優(yōu))，九年后連本帶利發(fā)放獎(jiǎng)金;X10表示購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券數(shù)，到期后連本帶利再購(gòu)5年期國(guó)庫(kù)券，十年后取出，發(fā)放同等的獎(jiǎng)金，剩余部分還是原來(lái)的基金.

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=5 000.

①

X1(1+0.018)=X2(1+2×0.025 5)

=X4(1+2×0.025 5)2

=X5(1+5×0.031 4)

=X6(1+3×0.028 9)2

=X7(1+5×0.031 4)(1+2×0.025 5)

=X8(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)

=X9(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)(1+0.018)

=X10(1+5×0.031 4)2- 5 000

②

可以把方程組②的數(shù)據(jù)依次利用換元法變成X1的代數(shù)式再代入①式，這樣就把①式變成只含有X1的一元方程來(lái)解題，就可以求出每年的基金使用計(jì)劃.限于本文主要探究數(shù)學(xué)的方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，具體解題過(guò)程在此不再詳述.

2 在數(shù)據(jù)測(cè)量方面的應(yīng)用

方程思想可以簡(jiǎn)單快速解決許多問(wèn)題，如在安裝中央空調(diào)時(shí)、架構(gòu)高壓線時(shí)電阻的測(cè)量等就可以利用方程的思想來(lái)解決.以下我們舉一個(gè)關(guān)于中央空調(diào)電阻的測(cè)量問(wèn)題.

2.1 問(wèn)題提出

有一幢100層大廈安裝了中央空調(diào)，裝成之后發(fā)現(xiàn)儀表顯示的溫度和實(shí)際溫度有較大的誤差.經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)由于連接儀表的三根導(dǎo)線電阻不相等所致，只有測(cè)出每根導(dǎo)線的電阻才可以解決儀表不準(zhǔn)的問(wèn)題.每根導(dǎo)線都從一樓連接到頂樓，很明顯直接測(cè)量每根導(dǎo)線電阻是不可能的，因?yàn)閷?dǎo)線一頭在一層，另一頭在一百層.那么應(yīng)該怎么辦？

2.2 模型假設(shè)

我們應(yīng)用數(shù)學(xué)的方程思想，假設(shè)：三根導(dǎo)線的電阻分別是Ra，Rb，Rc.把導(dǎo)線a和b，b和c，c和a在樓房頂部連成一個(gè)回路，在一樓就可以使用電阻表分別測(cè)量.

2.3 模型分析

我們依次利用連接的三個(gè)電路，再使用電阻表在樓房底部分別測(cè)出每一個(gè)回路的電阻，假設(shè)測(cè)定的電阻分別為X，Y，Z，那么就有方程組

Ra+Rb=X

③

Rb+Rc=Y

④

Rc+Ra=Z

⑤

聯(lián)立方程組③④⑤可以算出每根導(dǎo)線的電阻Ra，Rb，Rc.

再根據(jù)物理知識(shí)給三根導(dǎo)線分別串聯(lián)合適的電阻就可以使三根導(dǎo)線的電阻相等了.

3 在軍事國(guó)防方面的應(yīng)用

測(cè)量大海上駛來(lái)的一艘軍艦的長(zhǎng)度大小和位置方向，空中飛來(lái)的敵機(jī)的高度和位置，敵國(guó)導(dǎo)彈發(fā)射基地的位置，測(cè)量河流的寬度，樓房的高度，山的高度，等等，我們也可以嘗試?yán)脭?shù)學(xué)的方程思想和數(shù)形結(jié)合思想去解決這類(lèi)問(wèn)題.下面我們舉例一個(gè)測(cè)量高度的問(wèn)題.

3.1 問(wèn)題的提出

大家都看過(guò)電影《攀登者》吧？為了登上珠穆朗瑪峰的山頂測(cè)量海拔高度，花費(fèi)了巨大的人力物力，甚至有人為此付出了生命的代價(jià).如果我們不用登上珠穆朗瑪峰的山頂，能否可以測(cè)量出它的海拔高度呢？

3.2 模型的假設(shè)

如圖1，只要測(cè)量人員在珠穆朗瑪峰的山腳下D點(diǎn)可以測(cè)量出D點(diǎn)的海拔高度，那么珠穆朗瑪峰山頂A點(diǎn)的海拔高度也就可以解決了.

圖1

假設(shè)過(guò)山頂最高點(diǎn)A作D點(diǎn)所在的水平面的垂線，垂線交水平面于B點(diǎn).其中A點(diǎn)是我們的一個(gè)不變的觀察點(diǎn).設(shè)AB的高度為H，如果我們能夠計(jì)算出H，那么珠穆朗瑪峰的海拔高度就等于D點(diǎn)的海拔高度加H.

3.3 模型的分析

首先在Rt△ABD中,測(cè)出測(cè)量人員從點(diǎn)D觀察珠穆朗瑪峰最高點(diǎn)A的仰角，即∠ADB的大小，如果再計(jì)算出AD的長(zhǎng)度，就可以計(jì)算出H=ADsin∠ADB.

為了計(jì)算AD的長(zhǎng)度，需要確定一個(gè)與點(diǎn)D在同一水平面的觀察點(diǎn)C，首先測(cè)量出CD的長(zhǎng)度，再使用儀器測(cè)量出∠ACD和∠ADC的大小，就可以計(jì)算出∠CAD=π-(∠ACD+∠ADC),最后利用正弦定理，得

把上面結(jié)果代入H=ADsin∠ADB就可以計(jì)算出高度H.

因此，可以計(jì)算出珠穆朗瑪峰的海拔高度=D點(diǎn)的海拔高度+高度H.

通過(guò)上面的一些具體實(shí)際生活問(wèn)題的探究，我們可以看出數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用較多，且非?？茖W(xué)、嚴(yán)謹(jǐn).其中方程思想在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用更是非常廣泛和巧妙.因此，我們必須要學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，更要應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際生活中的一些問(wèn)題.