趙致勃，顧大強，李立新，張 靖

（1.浙江大學機械工程學院，浙江杭州 310000；2.浙江環(huán)動機器人關(guān)節(jié)科技有限公司，浙江臺州 318000）

RV（rotary vector，旋轉(zhuǎn)矢量）減速器是工業(yè)機器人中的關(guān)鍵零部件，具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大、振動小以及傳動效率高的優(yōu)點[1-2]。擺線輪齒廓修形技術(shù)是RV減速器加工制造中的核心技術(shù)[3-4]，通過對擺線輪進行合理的修形，可以改善RV減速器的傳動性能[5]。我國的RV減速器以進口為主，國產(chǎn)減速器與世界一流減速器相比有一定的差距。因此，對擺線輪修形技術(shù)展開深入研究具有重要意義[6]。

傳統(tǒng)的擺線輪修形方式有移距修形、等距修形和轉(zhuǎn)角修形等，在實際生產(chǎn)中多采用組合修形方式。陸龍生等[7]提出一種以擺線輪齒面嚙合力為優(yōu)化目標的組合修形方法。關(guān)天民等[8-11]對擺線輪的組合修形方式進行了進一步的研究，并提出了可以保證嚙合力的“反弓”齒廓。張飛翔[12]提出了基于多項式的擺線輪分段修形方法，該方法將擺線輪齒廓分為齒根段、工作段和齒頂段：對于齒根段和齒頂段，為保證一定的徑向間隙，將這2段的修形量設(shè)為多項式函數(shù)；對于工作段，為保證共軛嚙合，該段采用標準擺線齒廓。丁國龍等[13]提出了一種基于接觸應(yīng)力均化的擺線輪修形方法，即以轉(zhuǎn)角修形齒廓為目標齒廓，采用等距和移距組合修形逼近方法確定相應(yīng)的修形量。鄧紀辰[14]利用有限元分析軟件ANSYS建立了擺線輪與針齒的接觸模型，分析了擺線輪齒廓接觸應(yīng)力的分布情況。

上述方法在一定程度上可實現(xiàn)擺線輪齒廓接觸應(yīng)力的均化。為進一步降低擺線輪齒廓的接觸應(yīng)力，以改善其傳動性能，筆者基于反弓齒廓提出了一種兩段修形方法，即根據(jù)要求在擺線輪齒廓的不同位置處采用不同的修形量，使得齒廓接觸應(yīng)力的分布更加合理。同時，分別通過理論計算和有限元仿真分析來驗證兩段修形方法的可行性。

1 擺線輪齒面受力分析

1.1 擺線輪的齒廓方程

標準擺線輪經(jīng)等距、移距組合修形后，其齒廓方程可表示為[15]：

其中：

式中：rp為針齒中心圓半徑；rrp為針齒半徑；Δrp為移距修形量；Δrrp為等距修形量；iH為傳動比，iH=zp/zc，其中zp為針齒數(shù)，zc為擺線輪齒數(shù)；φ為針齒中心相對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角（下文簡稱針齒轉(zhuǎn)角）；a為偏心距；k1'為移距修形時的短幅系數(shù)，。

1.2 組合修形產(chǎn)生的幾何回轉(zhuǎn)角

擺線輪組合修形時產(chǎn)生的幾何回轉(zhuǎn)角β可表示為[8]：

結(jié)合擺線輪與針齒的徑向間隙Δj=Δrp+Δrrp，可得臨界等距/移距修形量Δrrp0、Δrp0，分別為：

臨界等距/移距修形量Δrrp0、Δrp0是幾何回轉(zhuǎn)角β在φ=φ0=arccosk1'處取得極大值和極小值的分界點。當Δrrp＜Δrrp0時，β在φ=φ0處取得極小值；當Δrrp＞Δrrp0時，β在φ=φ0處取得極大值，且在φ0前后各有1個極小值（設(shè)這2處極小值位置分別為φa、φb）。通過計算可得：

其中：

利用式(3)即可求得φa、φb。

1.3 組合修形后的嚙合區(qū)間

在構(gòu)建擺線輪齒面受力分析模型時，假設(shè)變形僅發(fā)生在擺線輪與針齒嚙合的位置處，其余位置不發(fā)生變形[15]。

組合修形后的擺線輪在空載時，其各輪齒與針齒之間存在寬度不同的初始嚙合間隙Δ()φj[8]：

式中：rc為擺線輪節(jié)圓半徑，rc=azc；φz為最先嚙合點處的針齒轉(zhuǎn)角；φj為第j顆擺線輪輪齒對應(yīng)的針齒轉(zhuǎn)角。

擺線輪與針齒最先嚙合點處的總變形量δmax為：

其中：

式中：wmax為擺線輪與針齒的接觸變形量；fmax為針齒的彎曲變形量，對于臥枕式針齒，其彎曲變形量可以忽略不計[15]；μ為擺線輪與針齒材料的泊松比；E為擺線輪與針齒材料的彈性模量；b為擺線輪厚度；Fmax為最大嚙合力；ρz為最先嚙合點處的齒廓曲率半徑；Fmax和ρz均參照文獻[15]中的方法計算。

擺線輪與針齒的任意嚙合點處的總變形量δj為：

根據(jù)擺線輪與針齒的初始嚙合間隙和嚙合點處的總變形量，即可確定擺線輪的嚙合區(qū)間。

1.4 嚙合力與接觸應(yīng)力計算

組合修形后擺線輪的第j顆嚙合輪齒的嚙合力Fj可表示為[15]：

擺線輪第j顆嚙合輪齒的接觸應(yīng)力σHj按赫茲公式進行計算[16]：

式中：ρj為第j個嚙合點處的齒廓曲率半徑；分子中取正號表示外接觸，取負號表示內(nèi)接觸。

結(jié)合式(6)和式(7)，可得組合修形下擺線輪齒廓的接觸應(yīng)力隨修形量的變化情況。

2 擺線輪的兩段修形方法

已知齒輪的承載能力與接觸應(yīng)力關(guān)系密切[17]。為了進一步降低擺線輪反弓齒廓的最大接觸應(yīng)力，以提高其承載能力，提出了一種兩段修形方法。

對擺線輪反弓齒廓的嚙合力與接觸應(yīng)力（見圖1）進行分析可知，雖然反弓齒廓可以產(chǎn)生較好的齒面受力狀態(tài)[8]，保證最先嚙合點有2個（φa和φb），且這2個點處的嚙合力均最大，但從圖1(b)所示的接觸應(yīng)力看，擺線輪齒廓已不再保留反弓形狀，最大接觸應(yīng)力僅在φb附近取得。通過分析赫茲公式可以得出，2個最先嚙合點的接觸應(yīng)力不同是因為這2個嚙合位置處的齒廓曲率半徑不同，與針齒的接觸狀態(tài)一個為外接觸，另一個為內(nèi)接觸。故可以通過兩段修形的方式來使擺線輪接觸應(yīng)力最大的位置在空載嚙合時具有一定的初始間隙，即改變該嚙合點處的齒廓曲率半徑。綜上，兩段修形方法是在反弓齒廓的基礎(chǔ)上，先將擺線輪的齒廓分為2段，再對不同工作段的齒廓采用不同的組合修形量，最終達到降低齒廓接觸應(yīng)力的目的。

圖1 擺線輪反弓齒廓嚙合力與接觸應(yīng)力分布示意Fig.1 Schematic diagram of meshing force and contact stress distribution of cycloidal gear inverse archshaped tooth profile

2.1 齒廓分段區(qū)間確定

擺線輪反弓齒廓嚙合力最大的位置是在φa和φb附近，而接觸應(yīng)力最大的位置在φb附近。因此，以φ0為分界點，將擺線輪的齒廓分為兩部分：第1段，0°～φ0；第2段，φ0～180°。

2.2 不同分段區(qū)間組合修形量確定

第1段齒廓的接觸應(yīng)力較小，無需改善，故該段仍采用原反弓齒廓的組合修形量。

第2段齒廓出現(xiàn)最大接觸應(yīng)力，需要進行改善，采用修形量變化的組合修形方法，即將等距修形量和移距修形量定義為關(guān)于針齒轉(zhuǎn)角的多項式函數(shù)。為了保證嚙合平穩(wěn)，必須使2個工作段的連接處光滑[18]，故將修形量設(shè)為關(guān)于針齒轉(zhuǎn)角的二次多項式函數(shù)，其中等距修形量曲線如圖2所示。結(jié)合擺線輪與針齒的徑向間隙，可確定移距修形量曲線。

圖2 基于兩段修形的擺線輪齒廓的等距修形量曲線Fig.2 Isometric modification quantity curve of cycloidal gear tooth profile based on two-stage modification

2.3 兩段修形產(chǎn)生的幾何回轉(zhuǎn)角

由上文分析可知，修形產(chǎn)生的幾何回轉(zhuǎn)角的大小由最先嚙合點確定，故需要找出兩段修形后擺線輪的最先嚙合點。

采用兩段修形方法后，擺線輪第2段齒廓的初始嚙合間隙比反弓齒廓略大，故最先嚙合點僅有1個，在φa位置處，產(chǎn)生的幾何回轉(zhuǎn)角與原反弓齒廓的相等，可根據(jù)式(2)確定。

修形對擺線輪傳動精度的影響是由幾何回轉(zhuǎn)角決定的。采用兩段修形后新齒廓的幾何回轉(zhuǎn)角與反弓齒廓相同，故新齒廓在能夠保證傳動精度相同的基礎(chǔ)上，具有更好的承載能力。

3 實例分析

3.1 修形量確定

以RV-40E減速器為例[12]，通過計算得到基于兩段修形的擺線輪的組合修形量。RV-40E減速器的基本參數(shù)如表1所示。

表1 RV-40E減速器的基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of RV-40E reducer

基于兩段修形方法原理和表1參數(shù)，計算得到的RV-40E減速器擺線輪的組合修形量如下：

對于第1段齒廓（0°～36.122°），仍采用原反弓齒廓的組合修形量。借助MATLAB軟件進行一維尋優(yōu)，計算得到等距修形量Δrrp=0.6 mm，移距修形量Δrp=-0.375 mm。

對于第2段齒廓 （36.122°～180°），為保證其與第1段齒廓的連接光滑、平穩(wěn)，在φ0=36.122°處的組合修形量仍取Δrrp=0.6 mm、Δrp=-0.375 mm。由上文分析可知，當徑向間隙Δj固定時，等距修形量Δrrp越大，擺線輪整體的初始嚙合間隙越大。為了改善齒廓的最大接觸應(yīng)力，應(yīng)使第2段齒廓的初始嚙合間隙比反弓齒廓的大。經(jīng)過多次計算，最終確定φ=180°處的組合修形量為Δrrp=0.825 mm、Δrp=-0.6 mm時效果較為理想。

根據(jù)φ0=36.122°和φ=180°處的組合修形量，可以確定第2段齒廓的等距修形量：

結(jié)合徑向間隙和式(8)即可確定相應(yīng)的移距修形量。將擺線輪的2段齒廓的組合修形量代入式(1)即可得到新齒廓的方程。

3.2 新齒廓與反弓齒廓對比

利用MATLAB軟件編寫擺線輪受力分析程序，并將新齒廓與反弓齒廓的嚙合力和接觸應(yīng)力進行對比，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，雖然新齒廓的最大嚙合力比反弓齒廓大，嚙合區(qū)間比反弓齒廓小，但最大接觸應(yīng)力比反弓齒廓低。新齒廓的最大接觸應(yīng)力為1 631.6 MPa，比反弓齒廓的最大接觸應(yīng)力1 780.1 MPa降低了8.34%。

圖3 2種齒廓的嚙合力和接觸應(yīng)力對比Fig.3 Comparison of meshing force and contact stress between two tooth profiles

4 擺線輪齒廓接觸應(yīng)力有限元分析

利用三維軟件Creo建立擺線輪傳動的參數(shù)化模型，并將其導入ANSYS Workbench軟件，以對擺線輪齒廓的接觸應(yīng)力進行靜力學分析。

4.1 前處理

結(jié)合RV-40E減速器的基本參數(shù)，考慮擺線輪的實際傳動過程以及計算機資源的限制，以及擺線輪與針齒的接觸分析可歸類為平面應(yīng)變問題，故接觸模型采用平面模型。由于RV-40E減速器采用臥枕式針齒結(jié)構(gòu)，則針齒與針齒槽之間的接觸變形忽略不計，故將針齒殼與針齒作為整體考慮。在完成擺線輪傳動的參數(shù)化模型的構(gòu)建后，先設(shè)置材料屬性：擺線輪與針齒的材料取GCr15SiMn，其密度為7 820 kg/m3，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，許用接觸應(yīng)力為3 800 MPa。然后，進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格單元類型為PLANE183，整體網(wǎng)格尺寸為1 mm，將擺線輪與針齒表面的網(wǎng)格細化并調(diào)整相關(guān)性，使網(wǎng)格縱橫比盡可能接近1，以保證網(wǎng)格劃分質(zhì)量，從而保證有限元仿真結(jié)果的收斂性和準確性。

完成網(wǎng)格劃分后，定義擺線輪與針齒的接觸關(guān)系?？紤]到擺線輪與針齒的接觸變形對接觸剛度的影響，以及擺線輪與針齒的材料相同，將兩者均定義為柔性體；根據(jù)目標-接觸凹凸面的選取規(guī)則，定義擺線輪齒面為接觸面，針齒表面為目標面；接觸設(shè)置為摩擦接觸，摩擦系數(shù)為0.1；接觸界面處理選擇用戶指定偏移數(shù)值，逐漸施加載荷，有利于提高收斂性；接觸算法選擇較容易收斂的增廣拉格朗日法。考慮到擺線輪與針齒接觸時，其齒面法向剛度會因接觸區(qū)間的變化而不斷變化，屬狀態(tài)非線性問題，故設(shè)置每次平衡迭代后自動更新接觸剛度；時間步長控制設(shè)置為預測沖擊，可自動預測接觸行為突變的最小時間增量并分割子步。

最后，定義載荷和約束。將針齒殼外側(cè)圓柱面定義為圓柱面約束，徑向固定，釋放切向自由度；同時，在針齒殼外側(cè)圓柱面加載206 N·m工作扭矩（RV-40E減速器有2個擺線輪，故負載減半）；對擺線輪的2個曲柄軸孔施加固定約束。

綜上，構(gòu)建的擺線輪與針齒接觸的有限元模型如圖4所示。

圖4 擺線輪與針齒接觸的有限元模型Fig.4 Finite element model of contact between cycloidal gear and needle tooth

4.2 求解及結(jié)果分析

為了能夠反映擺線輪齒廓接觸應(yīng)力的真實分布情況，采用不同尺寸的網(wǎng)格對嚙合位置處的齒面進行劃分并分別進行求解。

表2所示為2種齒廓在不同網(wǎng)格尺寸下的最大接觸應(yīng)力。由表2可以看出，在不同網(wǎng)格尺寸下，新齒廓的最大接觸應(yīng)力均比反弓齒廓的小；最大接觸應(yīng)力在網(wǎng)格尺寸達到0.010 mm時已逐漸開始收斂，繼續(xù)減小網(wǎng)格尺寸后結(jié)果差異并不明顯，但計算量急劇增加。鑒于網(wǎng)格尺寸越小，仿真結(jié)果越能真實反映擺線輪齒面的受力情況，本文選擇0.005 mm的網(wǎng)格尺寸。

表2 不同網(wǎng)格尺寸下2種齒廓的最大接觸應(yīng)力Table 2 Maximum contact stress of two tooth profiles under different mesh sizes

圖5(a)所示為網(wǎng)格尺寸取0.005 mm時擺線輪新齒廓最先嚙合點處的接觸應(yīng)力分布云圖；圖5(b)所示為網(wǎng)格尺寸取0.005 mm時新齒廓與反弓齒廓的接觸應(yīng)力對比。由圖可知，新齒廓同時嚙合的齒數(shù)為7對，反弓齒廓為8對；新齒廓的接觸應(yīng)力分布較反弓齒廓均勻，其最大接觸應(yīng)力為1 990.3 MPa，比反弓齒廓的最大接觸應(yīng)力2 081.6 MPa降低了4.39%。由此說明，嚙合齒數(shù)越多并不能代表擺線輪齒廓的接觸應(yīng)力越低，且結(jié)果驗證了兩段修形方法的可行性。

圖5 擺線輪齒廓接觸應(yīng)力的有限元仿真結(jié)果Fig.5 Finite element simulation results of contact stress of cycloidal gear tooth profile

圖6所示為2種齒廓接觸應(yīng)力有限元仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果的對比。由圖6可以看出，基于2種方法得到的擺線輪的嚙合區(qū)間基本相同，反弓齒廓最大接觸應(yīng)力的仿真結(jié)果為2 081.6 MPa，與計算結(jié)果1 780.1 MPa相差14.48%；新齒廓最大接觸應(yīng)力的仿真結(jié)果為1 990.3 MPa，與計算結(jié)果1 636.1 MPa相差17.79%。產(chǎn)生誤差的原因可能有以下幾點：1）理論計算時假設(shè)擺線輪整體為剛性，仿真分析時則假設(shè)整體為柔性；2）仿真分析時考慮了擺線輪上通孔的影響，理論計算時則沒有考慮；3）其他可能產(chǎn)生誤差的因素。其中，剛?cè)峒僭O(shè)的不同對結(jié)果的影響最大。綜上，仿真結(jié)果與計算結(jié)果的相對誤差為14%～18%，在允許范圍內(nèi)。考慮到理論計算模型和有限元模型均進行了簡化，由此可驗證兩段修形方法的可行性。

圖6 2種齒廓接觸應(yīng)力的有限元仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果對比Fig.6 Comparison between finite element simulation results and theoretical calculation results of contact stress of two tooth profiles

5 結(jié)論

通過建立擺線輪的受力分析模型，探究了組合修形量與其嚙合力、嚙合區(qū)間的關(guān)系，以及反弓齒廓的形成條件；在反弓齒廓的基礎(chǔ)上，提出了一種可以降低最大接觸應(yīng)力的兩段修形方法。最后，以RV-40E減速器為例，分析了兩段修形后擺線輪的受力情況，并對新齒廓與反弓齒廓進行了比較。有限元仿真結(jié)果表明，兩段修形方法可以降低齒廓的接觸應(yīng)力，可為擺線輪的加工制造提供一定的參考。

研究發(fā)現(xiàn)，擺線輪修形后的嚙合區(qū)間越大并不意味著其接觸應(yīng)力越小及承載能力越強。以RV-40E減速器為例，兩段修形后新齒廓的嚙合齒數(shù)為7對，反弓齒廓的嚙合齒數(shù)為8對，但新齒廓的最大接觸應(yīng)力卻明顯降低。不過本文在仿真分析時考慮到計算資源和時間的限制，采用的是平面模型，建議進一步研究時采用三維模型，并考慮曲柄軸、軸承以及第一級漸開線行星齒輪的影響。