王國良，狄心瑩

（遼寧石油化工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001）

鋰離子電池作為電源系統(tǒng)的重要組成部件，其具有小巧輕便、環(huán)保節(jié)能、高續(xù)航能力等優(yōu)點(diǎn)[1]，被廣泛應(yīng)用于各大領(lǐng)域。為了促進(jìn)新能源技術(shù)的發(fā)展，對鋰離子電池的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測研究至關(guān)重要。以往對鋰離子電池充放電過程的研究中發(fā)現(xiàn)，隨著電池的使用時(shí)間和充放電循環(huán)次數(shù)的增加，其容量在不斷減小[2]。為了避免對重要設(shè)備造成永久性損壞，必須對電池容量進(jìn)行預(yù)測，從而保證電池在使用期間處于健康狀態(tài)[3]。

鋰離子電池的剩余壽命預(yù)測可分為基于概率統(tǒng)計(jì)分布、模型驅(qū)動(dòng)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)測方法[4]。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)作為概率統(tǒng)計(jì)理論的主要預(yù)測方法，其結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)（SVM）[5]等學(xué)習(xí)方法，通過建立輸入和輸出變量之間的模型來預(yù)測鋰離子電池的剩余壽命。解冰[6]建立基于最小二乘支持向量機(jī)模型，引入遺傳退火算法提高了預(yù)測精度。王瀛洲等[7]利用蟻獅優(yōu)化和支持向量回歸的方法提高了電池壽命預(yù)測準(zhǔn)確性。倪裕隆[8]改進(jìn)了蟻獅優(yōu)化算法，為SVM方法提供最優(yōu)參數(shù)，進(jìn)一步提高了其預(yù)測精度。但是，支持向量機(jī)須選用滿足一定約束條件的核函數(shù)，預(yù)測結(jié)果為無概率性表現(xiàn)形式，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，訓(xùn)練時(shí)間長，預(yù)測值為稀疏性的點(diǎn)估計(jì)值。引入貝葉斯思想后，彌補(bǔ)了該不足。但是，通?；赗VM相關(guān)的鋰離子電池壽命預(yù)測方法只考慮單一變量的輸入輸出關(guān)系，對多變量輸入與輸出不能直接建立關(guān)系模型。對單一特征因素變量分別預(yù)測并加權(quán)融合得到的預(yù)測值，雖然在一定程度上提高了預(yù)測精度，但效果不夠明顯且步驟冗余。針對這一問題，本文提出了基于主元分析的特征因素變量加權(quán)的RVM鋰離子電池剩余壽命預(yù)測方法，該方法的普適性更廣，對鋰離子電池的壽命預(yù)測精度更高。

1 基本原理和算法

基于相關(guān)向量機(jī)的鋰離子電池壽命預(yù)測模型數(shù)據(jù)處理方法，對單一特征變量預(yù)測輸出值加權(quán)和基于PCA的特征因素變量加權(quán)融合構(gòu)建得到預(yù)測輸出值。首先，對不同特征變量，通過相關(guān)向量機(jī)得到相應(yīng)預(yù)測模型，考慮輸出的各預(yù)測值向量之間線性相關(guān)性得到相應(yīng)權(quán)值。然后，基于PCA思想，直接將不同特征變量對電池壽命衰減的影響程度作為給出權(quán)值的重要依據(jù)。

1.1 PCA的數(shù)學(xué)意義

假設(shè)對系統(tǒng)的n個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行m次獨(dú)立采樣，則系統(tǒng)可以由一個(gè)n×m維的隨機(jī)矩陣G∈Rm×n描述。

式中，gi,j為采樣數(shù)據(jù)變量，i=1,…,m;j=1,…,n。

由于所采集的數(shù)據(jù)中包含不同量綱，為消除帶有不同量綱的數(shù)據(jù)所組成的數(shù)據(jù)矩陣對PCA的運(yùn)行結(jié)果有所影響，先對G進(jìn)行歸一化處理，去除系統(tǒng)數(shù)據(jù)的量綱。

1.1.1 歸一化處理 通過式（2）對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

式中，為對向量Gi歸一化處理后的得到的新數(shù)據(jù)向量；μi和σi分別為Gi的均值和方差。通過處理，可得隨機(jī)矩陣

隨機(jī)矩陣可以分解為n個(gè)向量的外積之和，即：

式中，Um×n=[u1,u2,…,un]為得分矩陣，由得分主元ui∈Rm×1構(gòu) 成；Vn×n=[v1,v2,…,vn]為 負(fù) 荷 矩陣，由負(fù)荷向量vi∈Rn×1構(gòu)成，且由矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣給出。

1.1.2 特征值與特征向量 記上述隨機(jī)矩陣Gˉ的協(xié)方差矩陣為ΣGˉ，則：

對式（5）求解：

式中，λi為特征值；I為特征向量。

求解后可以分別得到協(xié)方差矩陣ΣGˉ的特征值λi(i=1,…,n)及相對應(yīng)的特征向量vi(i=1,…,n)。通常假設(shè)n個(gè)特征值都不相等，并且有λ1＞λ2＞λ3＞…＞λn。為證明式（4）成立，兩邊同乘以vi得：

1.1.3 確定主成分個(gè)數(shù) 一般情況下，設(shè)主成分個(gè)數(shù)為k(k≤n)，且k滿足：

求得k，那么矩陣則可表示為：

式中，?為主成分空間（主元空間）為殘差空間。

在現(xiàn)代工業(yè)控制研究中，PCA常與其他方法結(jié)合應(yīng)用于各領(lǐng)域控制系統(tǒng)的在線故障檢測問題研究[9-10]及其他方面的數(shù)據(jù)分析中。T2和SPE是PCA中兩個(gè)常用的性能指標(biāo)，用于故障診斷。

1.2 相關(guān)向量機(jī)

相關(guān)向量機(jī)（RVM）[11]是在SVM的基礎(chǔ)上做相應(yīng)的改進(jìn)，由E.M.Tipping[12]在2001年提出的。

假設(shè)存在訓(xùn)練樣本集{xk,yk},(k=1,2,…,n),其中xk為輸入向量，yk為輸出向量，并認(rèn)為yk是關(guān)于xk的函數(shù)?(xk)的輸出，即：

式中，εk為方差σ2的高斯噪聲，服從均值為0。常見的?(xk)形式為：

式中，ω=(ω1,ω2,…,ωn)為權(quán)重向量；K(x,xi)為核函數(shù)；ω0為偏差[13]。E.M.Tipping從貝葉斯理論的角度出發(fā)，認(rèn)為ω服從先驗(yàn)分布，即

可以得到權(quán)重向量的后驗(yàn)分布：

式中，Σ為后驗(yàn)分布方差；μ為后驗(yàn)分布均值；y為訓(xùn)練 樣 本 的 輸 出 量；A=diag(θ1,θ2,…,θn)，Φ=[?(x1),…,?(xn)]T為設(shè)計(jì)矩陣，?(x)=[1,K(x,x1),…,K(x,xn)]T。超參數(shù)的θ和方差σ2優(yōu)化可以通過式（17）和式（18）實(shí)現(xiàn)。

選取RBF核函數(shù)[14]，該核函數(shù)具有使特征輸入和輸出樣本呈現(xiàn)非線性的能力，僅在測試數(shù)據(jù)點(diǎn)的附近較小領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生影響，非線性逼近能力很強(qiáng)，其表達(dá)式為：

式中，r為核函數(shù)的參數(shù)。r越小，RBF對原數(shù)據(jù)的影響范圍越小。

1.3 基于PCA特征因素變量加權(quán)建構(gòu)概述

1.3.1 單因素變量RVM預(yù)測值的加權(quán)處理 根據(jù)RVM理論基礎(chǔ)，分別對可能影響鋰離子電池容量的不同特征變量測量值與電池容量真實(shí)值建立RVM模型，得到所對應(yīng)的預(yù)測輸出y*。由于電池容量的變化非單獨(dú)某個(gè)特征變量引起，不同y*和實(shí)際容量存在相應(yīng)的線性關(guān)系：

式中，y*1,y*2,…,y*n分別對應(yīng)n個(gè)特征變量；x1,x2,…,xn為RVM模型下的預(yù)測容量值；Y*為預(yù)測值線性融合向量，由預(yù)測值線性融合所得；ti為相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)，由向量相關(guān)系數(shù)給出：

式中，ρy*y為表征電池容量預(yù)測值向量y*與真實(shí)值向量y之間線性關(guān)系的緊密程度指標(biāo)(||ρ≤1),其絕對值決定二者之間的緊密程度，cov(·)為協(xié)方差為標(biāo)準(zhǔn)差。|ρy*y|較大，說明y*與y的線性相關(guān)程度較強(qiáng)；|ρy*y|較小，說明y*與y的線性相關(guān)程度較弱；|ρy*y|=0，則說明y*與y不相關(guān)。。

1.3.2 基于PCA的特征變量加權(quán)建構(gòu)方法 根據(jù)PCA的數(shù)學(xué)意義可知，對采樣特征變量原始數(shù)據(jù)矩陣G歸一化去量綱處理后得到矩陣Gˉ，通過Gˉ求取協(xié)方差矩陣ΣGˉ，并計(jì)算該協(xié)方差矩陣特征值及與之對應(yīng)的特征向量，可以找到表征變量主要特征的主元向量ui(i=1,2,…,m)。特征值決定主元的重要程度。

式中，ri為權(quán)重系數(shù)由協(xié)方差矩陣特征值給出：

該協(xié)方差矩陣特征值同樣決定主元的重要程度，即主元向量對原變量向量的覆蓋程度。因此，可以得到相關(guān)主元的權(quán)重系數(shù)，從而得到各特征因素變量加權(quán)構(gòu)建以后的特征變量。將此變量作為鋰離子電池在線剩余壽命預(yù)測相關(guān)向量機(jī)的輸入，與真實(shí)電容值建立相應(yīng)預(yù)測模型。對新采集的電池?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行PCA分析，并對處理后的特征變量通過相關(guān)向量機(jī)進(jìn)行在線預(yù)測，得到預(yù)測結(jié)果。具體流程如圖1所示。

圖1 PCA加權(quán)特征建構(gòu)電池壽命預(yù)測流程

2 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提出的預(yù)測值加權(quán)構(gòu)建及特征因素變量加權(quán)構(gòu)建方法的性能，證明兩種方法的有效性，選取B7型號鋰離子電池實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，采用兩種方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。對已有的相關(guān)研究分析發(fā)現(xiàn)，鋰離子電池在線運(yùn)行存在不完全充放電的現(xiàn)象，因此需將數(shù)據(jù)中鋰離子電池不完全充放電時(shí)數(shù)據(jù)全部剔除，對鋰離子電池進(jìn)行在線剩余壽命預(yù)測方法的研究才具有一定意義。等壓升充電時(shí)間間隔、等流降充電時(shí)間間隔和等壓降放電時(shí)間間隔三個(gè)特征因素變量可作為主要相關(guān)向量機(jī)建立模型的輸入。提取可測量特征因素變量后，根據(jù)已有容量數(shù)據(jù)，通過相關(guān)向量機(jī)（RVM）建立特征因素變量與電池容量的關(guān)系模型；將在線采集的特征變量數(shù)據(jù)向量作為輸入，輸出得到相應(yīng)的容量預(yù)測值向量。充電時(shí)，電壓從2.7 V上升到4.2 V所需時(shí)間作為特征因素變量x1，即x1為等壓升充電時(shí)間間隔；電流從1.5 A下降到0.3 A所需時(shí)間作為特征因素變量x2，即x2為等流降充電時(shí)間間隔。放電時(shí)，電壓從3.7 V下降到2.7 V所需時(shí)間作為特征因素變量x3，即x3為等壓降放電時(shí)間間隔。

綜上，提取等壓升充電時(shí)間間隔等三個(gè)特征因素變量及相應(yīng)的電池容量數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。實(shí)驗(yàn)所用數(shù)據(jù)均采用NASA公布的B7號鋰離子電池的164組充放電循環(huán)真實(shí)測量數(shù)據(jù)。

2.1 預(yù)測值加權(quán)構(gòu)建

分別利用B7號鋰離子電池的三個(gè)特征因素變量x1、x2、x3進(jìn)行預(yù)測，所得預(yù)測值由相關(guān)系數(shù)線性融合所得值與融合前的三組單一變量預(yù)測值進(jìn)行對比，其中選取前100組建模數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，用于建立預(yù)測模型。模擬建模完成后，采集的新產(chǎn)生64組數(shù)據(jù)設(shè)為動(dòng)態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于在線預(yù)測，預(yù)測起點(diǎn)為101。

單一變量及預(yù)測值加權(quán)建構(gòu)預(yù)測結(jié)果如圖2所示。預(yù)測輸出Y*由預(yù)測值線性融合所得。預(yù)測值從101循環(huán)開始，64組預(yù)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果為對不同單一特征因素變量預(yù)測結(jié)果線性擬合得到的加權(quán)預(yù)測值，考慮了多個(gè)特征因素變量對電池容量衰減的影響。對比單一特征因素變量建立的預(yù)測模型機(jī)制，由數(shù)學(xué)增長率算法計(jì)算得擬合程度分別比單個(gè)特征變量的預(yù)測值擬合程度提高2.3%、0.4%、0.7%，在一定程度上增加了其預(yù)測精度，預(yù)測值更加接近容量真實(shí)值，對提高鋰離子電池在線壽命的預(yù)測性能具有一定意義。

圖2 單一變量及預(yù)測值加權(quán)建構(gòu)預(yù)測結(jié)果

單一變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測效果如表1所示。

表1 單一變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測效果

2.2 基于PCA的特征因素變量加權(quán)建構(gòu)

基于PCA的特征因素變量加權(quán)建構(gòu)預(yù)測實(shí)驗(yàn)分析，采用B7號鋰離子電池164組充放電循環(huán)真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。其中，選取前100組中3個(gè)特征因素變量數(shù)據(jù)作為靜態(tài)數(shù)據(jù)，經(jīng)PCA分析用于相關(guān)向量機(jī)建立電池壽命預(yù)測模型，得到其相應(yīng)核函數(shù)參數(shù)，即通用程序里可調(diào)節(jié)參數(shù)a=3，J=1.8；取后64組設(shè)為動(dòng)態(tài)采集數(shù)據(jù)，用于電池壽命的在線預(yù)測。在線壽命預(yù)測過程如下：

預(yù)測建模確定相關(guān)向量機(jī)核函數(shù)參數(shù)后，開始進(jìn)行在線預(yù)測實(shí)驗(yàn)；讀取第101組數(shù)據(jù)中3個(gè)變量值為第一組測量值，將所構(gòu)成的1×3維向量型矩陣作為PCA的輸入得到加權(quán)建構(gòu)特征變量值，由相關(guān)向量機(jī)得到對應(yīng)預(yù)測電池容量值；繼而讀取第102組數(shù)據(jù),重復(fù)上述運(yùn)算步驟，得到對應(yīng)預(yù)測值；以此類推，分析計(jì)算第103，104，…，164組數(shù)據(jù)，依次得到相應(yīng)電容的預(yù)測值，進(jìn)而完成鋰離子電池的在線壽命預(yù)測實(shí)驗(yàn)。

基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建預(yù)測結(jié)果如圖3所示。

圖3 基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建預(yù)測結(jié)果

由PCA加權(quán)構(gòu)建所得特征變量作為輸入得到的電池容量預(yù)測值，避免忽略多個(gè)特征變量輸入對鋰離子電池容量衰減的影響，從根本上解決了多個(gè)不同特征因素變量對電池容量衰減影響程度不同而導(dǎo)致存在預(yù)測精準(zhǔn)度差異的現(xiàn)象，擬合程度較比單個(gè)特征變量的預(yù)測值擬合程度分別提高2.3%、0.7%、0.9%，在一定程度上提高了其預(yù)測精度，使預(yù)測值更加接近容量真實(shí)值，有效地提高了鋰離子電池壽命的在線預(yù)測性能。

PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測效果如表2所示。其中，X*為PCA加權(quán)建構(gòu)所得特征變量。

表2 PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測效果

2.3 兩種建構(gòu)方法預(yù)測結(jié)果對比

預(yù)測值加權(quán)構(gòu)建與基于PCA特征變量加權(quán)構(gòu)建方法對鋰離子電池容量預(yù)測結(jié)果（見圖4）。

圖4 兩種預(yù)測結(jié)果對比

從圖4可以看出，與單一變量加權(quán)構(gòu)建方法相比基于PCA的特征變量加權(quán)構(gòu)建方法的預(yù)測效果更好。

3 結(jié)論

多個(gè)單一變量預(yù)測值加權(quán)線性融合的方法，雖考慮到多個(gè)特征因素變量對電池容量衰減的影響，在一定程度上增加了預(yù)測精度，但僅適用于變量少的相關(guān)預(yù)測實(shí)驗(yàn)研究，普適性低。由PCA加權(quán)構(gòu)建所得特征變量的方法進(jìn)行預(yù)測，可避免不同特征變量對鋰離子電池容量衰減的影響，同時(shí)從根本上解決因多個(gè)不同特征因素變量對電池容量衰減影響程度不同而存在預(yù)測精度差異的現(xiàn)象，增加其預(yù)測精度，使預(yù)測值更加接近容量真實(shí)值，普適性更高。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提變量加權(quán)建構(gòu)處理方法的預(yù)測結(jié)果與電池真實(shí)容量值擬合程度更好，證明所提方法的可行性和有效性。