呂小茜，于肇賢

(1.廊坊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系，廊坊 065000；2.北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192；3.北京郵電大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)與交換技術(shù)國家重點實驗室，北京 100876)

0 引言

Berry于1984年在量子絕熱理論中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)依賴于參數(shù)的哈密頓量的循環(huán)演化沿著參數(shù)空間中的封閉曲線傳輸絕熱量子態(tài)時，除了一般傳統(tǒng)的動力學(xué)相位外，在循環(huán)演化過程中還獲得了幾何相位。這一發(fā)現(xiàn)在學(xué)術(shù)界引起了廣泛關(guān)注，隨著時間的不斷推移，眾多科研愛好者紛紛加入其中，量子系統(tǒng)的相位問題已然成為目前的研究熱點之一。Lewis[1]提出的量子不變理論是處理具有時間相關(guān)哈密頓量系統(tǒng)的有力工具。Gao 在參考文獻[2]中通過引入基本不變量的概念對其進行了進一步的推廣，Aharonov 等[3-4]將其用于研究與時間相關(guān)的薛定諤方程相關(guān)精確解的幾何相位。量子在絕熱演化過程中的幾何相因子和在非絕熱推廣中的Aharonov-Anandan 相因子也得到了許多研究者的廣泛關(guān)注，它們不僅與許多重要的物理問題密切相關(guān)，而且在許多實驗中也已經(jīng)得到了驗證。其中，Berry幾何相位的發(fā)現(xiàn)不僅對舊的量子絕熱近似理論進行了突破[4]，也為我們提供了對許多物理現(xiàn)象的新見解。如今，Berry 相位的概念已經(jīng)在一些不同的方向得到了發(fā)展[5-10]，但是其方法很難推廣到一般的自旋系統(tǒng)的相位。本文利用Lewis-Riesenfeld (L-R)不變理論引出與時間相關(guān)的薛定諤方程,通過求得精確解的方法來研究一般自旋系統(tǒng)的動力學(xué)相位和幾何相位，并且在此基礎(chǔ)上討論得到了Aharonov-Anandan 相因子。

1 L-R不變理論

(1)

則此時與時間相關(guān)不變量|λn,t〉的本征值方程為

(2)

(3)

|λn,t〉s=exp[iδn(t)]|λn,t〉

(4)

這表明|λn,t〉s(n=1,2,…)形成了方程(3)的完整解集。那么薛定諤方程(3)的通解可以寫成

(5)

其中

Cn=〈λn,0|ψ(0)〉s

(6)

2 動力學(xué)相位和幾何相位

考慮一個具有時間依賴性的一般自旋系統(tǒng)，它的哈密頓量為

(7)

(8)

它們具有交換關(guān)系：

(9)

(10)

這里θ和φ由方程(1)確定并滿足關(guān)系：

(11)

Bzsinθcosφ=0

(12)

Bzsinθsinφ=0

(13)

其中θ和φ上的點表示時間導(dǎo)數(shù)。

構(gòu)造幺正變換：

(14)

通過上述推導(dǎo)過程很容易得到：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

和幾何相位

(20)

此時若考慮循環(huán)演化這一條件，則幾何相位會變?yōu)?/p>

(21)

該結(jié)果即為 Aharonov-Anandan 相因子。

3 結(jié)束語

利用L-R不變量理論，本文研究了一般自旋系統(tǒng)的相位。通過利用與時間有關(guān)的薛定諤方程、幺正變換和Baker-Campbell-Hausdoff 公式等計算方法，分別求出了一般自旋系統(tǒng)的動力學(xué)相位和幾何相位。特別是，當(dāng)考慮循環(huán)演化的條件時，一般自旋系統(tǒng)會出現(xiàn) Aharonov-Anandan 相因子。以上研究成果將對特殊自旋系統(tǒng)相位的研究推廣到了一般自旋系統(tǒng)相位的研究，證明了Berry相位在一定條件下的普遍性。希望本文研究結(jié)論為其他量子系統(tǒng)的研究提供一些參考和借鑒。