楊 帆 華 濱 陳 帆 陳 剛 劉 兵 張紅衛(wèi) 劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學院 機械工程學院 湖北 武漢：430205)

銅材具有一定的強度、良好的韌性以及較強的耐腐蝕性，在工程實踐中得到廣泛應用，例如，采用銅材制造承壓設備等[1]。銅材的力學性能指標包括強度指標、硬度指標和塑性指標等，抗拉強度、維氏硬度與延伸率是其中的代表。為了規(guī)范銅材或者其他金屬材料的應用，我國制定了有關標準[1]，規(guī)定了材料的型號、相應的化學成分及力學性能指標，例如，TP2是銅材型號之一。

銅材的力學性能指標是計算銅制承壓設備幾何尺寸與選擇材料型號的重要依據，從工程實踐的角度，有如下幾個問題值得研究：①同一企業(yè)按國家標準生產、試驗與檢驗的相同型號銅材，其相同力學性能指標實測值是否在誤差允許范圍內波動，其力學性能指標實測值是否與存在顯著差異，即相同企業(yè)產品的質量是否穩(wěn)定，實測值是否具有有效性；②不同企業(yè)按國家標準生產、試驗與檢驗的相同型號銅材，其力學性能指標實測值是否與存在顯著差異，即不同企業(yè)的產品質量是否符合相同國家標準，力學性能指標的實測值是否具有同質性；③基于實測值的銅材力學性能指標的概率分布研究，是建立可靠性設計技術的基礎，有必要進行探索[2-15]。

針對上述問題，文中應用概率論與數理統(tǒng)計知識[16-17]，建立了銅材力學性能指標試驗數據有效性與同質性的分析模型，以TP2銅材室溫抗拉強度、維氏硬度與延伸率為研究對象，基于三個力學性能指標的90個試驗數據[18]，對TP2銅材的力學性能指標概率分布進行了探索，分析了其分布規(guī)律與分布參數。

1 建立模型

1.1 試驗數據的有效性與同質性

銅材力學性能指標試驗數據的有效性，是指同一型號銅材在相同的生產與試驗條件下，單個試驗數據的誤差在允許范圍內；銅材力學性能指標試驗數據的同質性，是指同一型號銅材在生產或者試驗條件發(fā)生改變時，兩組試驗數據的誤差仍然在允許范圍內，并且能刻劃力學性能指標的本質。

基于概率論與數理統(tǒng)計知識[16-17]，通過有限相同生產與試驗條件下獲得的試驗數據，可分析單個試驗數據有效性；通過有限不同生產與試驗條件下獲得的試驗數據，可分析兩組試驗數據同質性；對于具有有效性與同質性的試驗數據，可合并分析銅材力學性能指標的分布規(guī)律與分布參數。

1.1.1 單個試驗數據的有效性

平均值與精密度是分析試驗數據有效性與同質性的基礎，為討論方便，假設銅材的某一力學性能指標K是隨機變量。

1)在生產與試驗條件為A時，通過試驗測得KA的nA組試驗數據KAi(i=1，2，…，nA)時，其力學性能指標KA的平均值與精密度分別為：

(1)

(2)

在生產與試驗條件為A時，試驗數據KAi(i=1，2，…，nA)有效性的判據ti為：

(3)

在雙側置信度為(1-2α)時，若判據ti滿足

|ti|≤tα,nA

(4)

表明有(1-2α)的把握認為試驗數據KAi是有效的，否則是無效的。

式中，tα,nA為用α時與(nA-1)查得的t分布系數。

工程上可取α=0.01、0.02、0.05，文中取α=0.01，所用t分布系數見表1[19]。

表1 分布系數

如果KAi為無效數據，需要將其排除后重新統(tǒng)計KA的平均值與精密度，再進行有效性判別。

1.1.2 兩組試驗數據的同質性

當同一型號銅材在生產或者試驗條件發(fā)生改變時，應當通過銅材力學性能指標的標準差與均值比較，分析條件發(fā)生改變時對其同質性的影響；如果條件發(fā)生改變，對銅材力學性能指標的標準差與均值的影響都在控制范圍內，可認為條件發(fā)生改變時兩組試驗數據無顯著差異是同質性的，否則存在顯著差異是不同質性的。雖然銅材力學性能指標的標準差與均值是未知的，但可由有限的有效試驗數據的平均值與精密度，預測銅材力學性能指標的標準差與均值，通過對比兩組試驗數據的精密度與平均值，分別分析其是否存在顯著差異，然后進行同質性判斷。

1)標準差的比較。假設在條件分別為A與B時，銅材力學性能指標K的標準差分別為σKA與σKB，σKA與σKB是否具有同質性可采用F分布比較。

在雙側置信度為(1-2α)時，比較標準差σKA與σKB是否存在顯著差異的判據為[16-17]

(5)

如果F滿足

F1-2α,nA-1,nB-1≤F≤Fα,nB-1,nA-1

(6)

表明的標準差σRA與σRB無顯著差異，是同質的。

其中

式中，F1-2α,nA-1,nB-1與Fα,nB-1,nA-1分別為F分布系數，分別由雙側置信度(1-2α)、(nA-1)及(nB-1)與α、(nB-1)及(nA-1)查得。

文中取α=0.01，所用F分布系數見表1[20]。

如果F不滿足式(6)，表明標準差σKA與σRB存在顯著差異，不具有同質性。

2)均值的比較。假設在條件分別為A與B時，銅材力學性能指標K的標準差σRA與σRB無顯著差異，當銅材力學性能指標K的均值分別為μKA與μKB時，μKA與μKB是否具存在顯著差異可采用t分布判別。

在雙側置信度為(1-2α)時，比較均值μKA與μKB是否存在顯著差異的判據tKAB為[16-17]

(7)

其中

(8)

如果tKAB滿足

|tKAB|≤tα,nA+nB-2

(9)

表明在雙側置信度為(1-2α)時μKA與μKB無顯著差異。

如果tKAB滿足

tKAB>tα,nA+nB-2

(10)

表明在雙側置信度為(1-2α)時μKA與μKB存在顯著差異，并且μKA>μKB。

如果tKAB滿足

tKAB<-tα,nA+nB-2

(11)

表明在雙側置信度為(1-2α)時μKA與μKB存在顯著差異，并且μKA<μKB。

文中取α=0.01，所用t分布系數見表1[19]。

3)兩組試驗數據同質性的判斷。兩組試驗數據的同質性，是指其標準差與均值分別無顯著差異，這是合并兩組試驗數據的基礎。

1.2 概率分布

銅材力學性能指標K的概率分布包括分布規(guī)律與分布參數。

1.2.1 分布規(guī)律

如果在條件A與B時，銅材力學性能指標K分別有nA與nB個有效性試驗數據，并且A與B兩組試驗數據具有同質性，則可將，A與B兩組試驗數據合并，對銅材力學性能指標K的分布規(guī)律進行假設檢驗，具體方法是[8，16-17]：

2)假設銅材力學性能指標K為隨機變量，且基本符合正態(tài)分布；

3)把n個具有有效性與同質性的試驗數據K1、K2、…、Kn分為M個區(qū)間，M=1+3.3lgn，取整數；

4)理論頻數。對于基本符合正態(tài)分布的隨機變量K，其試驗數據Ki落在分組區(qū)間[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內的理論概率為

式中:Φ(·)為標準正態(tài)積分；a1=(Ki)min，aM+1=(Ki)max，(Ki)min、(Ki)max分別為Ki中的最小值與最大值。

其中

n個具有有效性與同質性的試驗數據Ki位于分組區(qū)間[aj，aj+1]內的理論頻數為n×pj；

5)計算每個分組區(qū)間[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]內實際頻數Nj與理論頻數n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和：

工程上一般取顯著度δ=0.05[13]，文中所用的χ2分布系數見表1[21]。

1.2.2 分布參數

如果銅材力學性能指標K是基本符合正態(tài)分布的隨機變量，均值與標準差為其分布參數，可采用具有有效性與同質性的試驗數據進行取值區(qū)間估計。

1)均值的取值區(qū)間。在雙側置信度為(1-2α)時，力學性能指標K的均值μK取值區(qū)間為[16-17]：

μK∈[μKmin，μKmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中，μKmin與μKmax分別為力學性能指標K的均值μK在雙側置信度為(1-2α)時的下限與上限，MPa。

文中取α=0.01，所用t分布系數見表1[19]。

1)標準差的取值區(qū)間。在雙側置信度為(1-2α)時，力學性能指標K標準差σK的取值區(qū)間為[16-17]：

σK∈[σKmin，σKmax]

(15)

其中

(16)

(17)

式中，σKmin與σKmax分別為力學性能指標K標準差在雙側置信度為(1-2α)時的下限與上限，MPa。

取α=0.01，文中所用χ2分布分布系數見表1[21]。

2 試驗數據有效性與同質性分析

2.1 試驗數據及統(tǒng)計

維氏硬度、抗拉強度與延伸率是TP2銅材力學性能指標的重要組成部分，文獻[16]分別提供了兩個企業(yè)關于上述指標的90個試驗數據，文中采用R、H與δ分別表示抗拉強度、維氏硬度與延伸率，用A與B分別表示兩個企業(yè)的生產與試驗條件，有關試驗數據見表2，利用式(1)與式(2)得到的平均值與精密度也列入表2。

表2 不同企業(yè)相同力學指標試驗數據及統(tǒng)計(nA=nB=15)

2.2 同組單個試驗數據的有效性

根據表2中的平均值與精密度，利用式(3)與式(4)，可得到相同企業(yè)不同指標單個試驗數據有效性的判據，在α=0.01即雙側置信度為98%時，有效性的判據與結論見表3。由表3可知，同組的單個試驗數據都是有效的。

表3 相同力學指標同組單個試驗數據的有效性判別(雙側置信度為98%)

表4 相同力學指標不同組試驗數據的同質性判別(雙側置信度為98%)

2.3 相同力學指標不同組試驗數據的同質性

在α=0.01即雙側置信度為98%時，利用式(5)～式(11)，可判別相同力學指標不同組試驗數據的同質性，同質性的判據與結論見表4。由表4可知，同組維氏硬度試驗數據具有同效性，但是不同組維氏硬度試驗數據不具有同質性；抗拉強度與延伸率試驗數據同時具有有效性與同質性。

2.4 具有有效性與同質性試驗數據合并與統(tǒng)計

由于抗拉強度與延伸率試驗數據同時具有有效性與同質性，因此，可將其分別合并統(tǒng)計，合并后每組試驗數據數量為n=nA+nB=30，統(tǒng)計數據見表5。

表5 具有有效性與同質性試驗數據的合并統(tǒng)計

3 三個力學性能指標的概率分布

3.1 抗拉強度的分布規(guī)律與分布參數

3.1.1 抗拉強度的分布規(guī)律

根據表2～表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的抗拉強度試驗數據具有有效性與同質性，可將兩組數據合并分析抗拉強度分布規(guī)律。根據1.2.1的方法，依據A組與B組抗拉強度試驗數據，分別對兩個企業(yè)得到的抗拉強度的分布規(guī)律進行假設檢驗。

表6 抗拉強度的皮爾遜統(tǒng)計量

3.1.2 抗拉強度的分布參數

雙側置信度為98%時，將表5中抗拉強度有效試驗數據統(tǒng)計值代入式(12)～式(17)，可得到抗拉強度均值μR和標準差σR的取值區(qū)間：

μR∈[236.1，240.1]，σR∈[3.411，6.361]

3.2 維氏硬度的分布規(guī)律與分布參數

3.2.1 維氏硬度的分布規(guī)律

根據表2維氏硬度試驗數據，以及表3與表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的試驗數據具有有效性，雖然A組與B組數據的標準差無顯著差異，但是，兩組數據的均值有顯著差異，因此，不能將兩組數據合并分析維氏硬度分布規(guī)律。

在維氏硬度的每個分組區(qū)間，實際頻數Nj與理論頻數n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和見表7。

表7 維氏硬度的皮爾遜統(tǒng)計量

3.2.2 維氏硬度的分布參數

雙側置信度為98%時，將表2的維氏硬度有效試驗數據統(tǒng)計值代入式(12)～式(17)，可得到企業(yè)A與B維氏硬度均值μHA、μHB和標準差σHA、σHB的取值區(qū)間：

μHA∈[51.18，54.82]，σHA∈[1.795，4.489]

μHB∈[47.56，51.84]，σHB∈[2.114，5.287]

3.3 延伸率概率分布的討論

根據表2～表4的分析，可知由企業(yè)A與B分別得到的延伸率試驗數據具有有效性與同質性，可將兩組數據合并分析延伸率分布規(guī)律。根據1.2.1的方法，依據A組與B組延伸率試驗數據，分別對兩個企業(yè)得到的延伸率的分布規(guī)律進行假設檢驗。

在延伸率試驗數據的每個分組區(qū)間，實際頻數Nj與理論頻數n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計量之和見表8。

表8 延伸率的皮爾遜統(tǒng)計量

以上探索與討論表明，銅材延伸率的概率分布與生產企業(yè)存在比較大的關系，必須具體問題具體分析。

4 結語

基于概率論與數理統(tǒng)計知識，建立了試驗數據有效性與同質性的分析模型，根據兩個企業(yè)關于TP2銅材三個力學性能指標的90個試驗數據，對其抗拉強度、維氏硬度與延伸率指標的概率分布進行了探索，得到如下結論。

1)雙側置信度為98%時，兩個企業(yè)關于TP2銅材抗拉強度試驗數據具有有效性與同質性；顯著度為0.05時，抗拉強度是基本符合正態(tài)分布的隨機變量；抗拉強度在雙側置信度為98%時的均值不小于236.1MPa且不大于240.1MPa，標準差不小于3.411MPa且不大于6.361MPa。

2)雙側置信度為98%時，兩個企業(yè)關于TP2銅材維氏硬度指標分別具有有效性，但不具有同質性；顯著度為0.05時，維氏硬度分別是基本符合正態(tài)分布的隨機變量；在雙側置信度為98%時，一個企業(yè)得到的維氏硬度的均值不小于51.18且不大于54.82，標準差不小于1.795且不大于4.489；另一個企業(yè)得到的維氏硬度的均值不小于47.56且不大于51.84，標準差不小于2.114且不大于5.287。

3)雙側置信度為98%時，盡管兩個企業(yè)關于TP2銅材延伸率指標具有有效性與同質性，但是在顯著度為0.05時的分析表明，延伸率的概率分布與生產企業(yè)存在比較大的關系，必須具體問題具體分析。