于露露，文 鵬，唐勝達

(1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006；2.桂林學(xué)院理工學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引言

霧網(wǎng)絡(luò)(Fog Networking，F(xiàn)ogging)或霧計算(Fog Computing)是由思科(Cisco)在2011年首次提出的[1].霧網(wǎng)絡(luò)或霧計算能夠?qū)⒂嬎阈枨蠓謱哟?、分區(qū)域處理，以解決可能出現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)擁塞等現(xiàn)象.相比要把所有數(shù)據(jù)集中運輸?shù)酵粋€中心的云計算，霧計算的模式是設(shè)置多個中心節(jié)點，即運用所謂的“霧節(jié)點”來處理數(shù)據(jù)，霧計算可以將一些并不需要放到云上的數(shù)據(jù)，直接在網(wǎng)絡(luò)邊緣層進行處理和存儲，提高數(shù)據(jù)分析處理的效率，降低時延，減少網(wǎng)絡(luò)傳輸壓力，提升安全性.霧網(wǎng)絡(luò)在人們生活的許多方面都具有重要作用，例如醫(yī)療保健、交通、農(nóng)業(yè)、工業(yè)自動化和安全等方面.然而，霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點處理數(shù)據(jù)，需要消耗大量的能源，為了延長節(jié)點的壽命，可以考慮能量收集.能量收集(Energy Harvesting，EH)指的是收集環(huán)境中易獲得的能量(如太陽能、風(fēng)能、機械振動、溫度變化、磁場等)并將其轉(zhuǎn)化為電能的過程.能量收集使能量來源更豐富，減少對自然界的碳排放，促進生態(tài)可持續(xù)發(fā)展，同時能量收集能夠降低成本和提高系統(tǒng)壽命.能量收集在許多方面具有廣泛的應(yīng)用，比如通信方面[2-3]、工業(yè)方面[4-5].

近年來，許多學(xué)者對網(wǎng)絡(luò)性能進行了研究.TANDO等[6]研究了能量收集通信系統(tǒng)，通過一個兩階段的虛擬排隊系統(tǒng)，對能量到達過程和等待服務(wù)過程進行解耦，得出該虛擬排隊系統(tǒng)中平均數(shù)據(jù)包延遲，以及由于緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)的溢出而導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失的概率的封閉表達式.PATIL等[7]研究了能量采集無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中傳感器節(jié)點的最優(yōu)傳輸策略，將該系統(tǒng)建模為具有兩個耦合隊列的離散時間排隊模型，能量獲取過程為伯努利過程，采用策略迭代算法，獲得最優(yōu)的傳輸策略.JIANG等[8]研究了霧網(wǎng)絡(luò)中塑造和監(jiān)管數(shù)據(jù)流量的模型，通過漏桶模型利用Markov控制的流體源，反映了數(shù)據(jù)流量的突發(fā)性特性，推導(dǎo)出數(shù)據(jù)流量的四個性能指標.寇名揚等[9]研究了能量采集無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，采用兩狀態(tài) Markov調(diào)制的on-off流體模型，描述數(shù)據(jù)和能量到達的突發(fā)，利用虛擬隊列刻畫數(shù)據(jù)緩存的占用情況和能量狀態(tài)之間的相關(guān)性，對虛擬隊列進行排隊分析，通過譜分析得到丟包率和平均延遲的表達.但是TANDO[6]和PATIL[7]研究的能量到達過程都是離散的，而能量一般是以電子流的形式收集，離散過程無法刻畫能量收集的實際情況.JIANG等[8]只對數(shù)據(jù)進行了分析，沒有考慮能量可收集的情況，但是對于數(shù)據(jù)的處理，需要大量的能量消耗，傳統(tǒng)的電池已不能滿足大數(shù)據(jù)時代數(shù)據(jù)處理所需求的能量；而且JIANG運用的方法都是譜分析，當(dāng)特征值趨于0時，數(shù)值解會有很大波動，不利于數(shù)值的分析.寇名揚等[9]僅考慮了兩狀態(tài)Markov過程控制的流體模型，其求解方式無法推廣到多狀態(tài)求解.

本文主要討論具有能量收集的霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，在霧節(jié)點中推廣了上述對能量和數(shù)據(jù)的分析，同時考慮能量收集和數(shù)據(jù)到達為多種狀態(tài)的情況，基于流體隊列理論(Stochastic Fluid Queues，SFQ)運用矩陣分析方法得出霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中數(shù)據(jù)和能量的聯(lián)合分布，以及緩沖區(qū)的溢出和閑置概率.

1 系統(tǒng)建模

本文使用下面的符號體系，[A]ij表示矩陣A的第(i,j)項元素，Aij表示矩陣A的分塊矩陣.特別地，0、I和1分別表示適當(dāng)維數(shù)的零矩陣(向量)、單位矩陣和單位列向量.

1.1 模型描述

如圖1所示，本文描述具有能量收集的霧網(wǎng)絡(luò)的工作原理：設(shè)備由能量緩沖區(qū)和數(shù)據(jù)緩沖區(qū)構(gòu)成，其處理數(shù)據(jù)的能力受到能量采集速率的影響，數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后被傳輸?shù)浇邮斩耍颂巶鬏斚牡哪芰靠梢院雎圆挥?為了提高設(shè)備處理數(shù)據(jù)的能力，將能量收集設(shè)備收集的能量盡可能地用于數(shù)據(jù)處理.具體來講，當(dāng)數(shù)據(jù)緩存區(qū)中有數(shù)據(jù)時，收集到的能量將全部用于數(shù)據(jù)處理；當(dāng)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中沒有數(shù)據(jù)時，處理數(shù)據(jù)剩余的能量將被保存在能量緩沖區(qū)中，由于數(shù)據(jù)到達和能量收集的隨機性，在緩沖區(qū)的大小都有限的情況下，不可避免地會發(fā)生數(shù)據(jù)丟失或即將收集的能量被丟棄.

圖1 霧節(jié)點工作原理簡化圖

用隨機變量X(t)和Y(t)分別表示在t時刻數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中的數(shù)據(jù)水平和能量緩沖區(qū)中的能量水平.假設(shè)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)和能量緩沖區(qū)的大小分別為BD和BE，則0≤X(t)≤BD和0≤Y(t)≤BE，且滿足：

(i)當(dāng)數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空(X(t)=0)時，能量緩沖區(qū)才有能量緩存(Y(t)>0)，否則到達的數(shù)據(jù)將立即被儲存在能量緩沖區(qū)中的能量處理.因此有X(t)=0,Y(t)>0.

(ii)類似地，當(dāng)能量緩沖區(qū)為空(Y(t)=0)時，到達的數(shù)據(jù)才能被緩存到數(shù)據(jù)緩沖區(qū)(X(t)>0) 中，否則收集的能量將立即被用來處理數(shù)據(jù).即Y(t)=0,X(t)>0.

根據(jù)(i)(ii)顯然有X(t)Y(t)=0.

數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平的變化過程：

(1)

能量緩沖區(qū)中能量水平的變化過程：

(2)

由式(1)和式(2)可知，數(shù)據(jù)緩沖區(qū)內(nèi)緩存的數(shù)據(jù)與能量緩沖區(qū)內(nèi)的能量相關(guān)，不易直接求出X(t)和Y(t)的個體統(tǒng)計量，但是可以先找到聯(lián)合概率，然后再得出各自的統(tǒng)計量.按照ELWALID[10]的方法，通過將X(t)和Y(t)的兩個緩沖區(qū)組合在一起，即二者的聯(lián)合“虛擬隊列”，定義V(t)表示虛擬隊列中的水平容量，S表示狀態(tài)空間，則有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE,

(i)0≤V(t)≤B,B=BD+BE；

(ii)當(dāng)0≤V(t)≤BE時，有X(t)=0,V(t)=BE-Y(t)；

(iii)當(dāng)BE≤V(t)≤B時，有Y(t)=0,V(t)=BE+X(t).

因此，可定義虛擬緩沖區(qū)的凈流入速率為

經(jīng)過上述分析，隨后基于SFQ得出虛擬緩沖區(qū)中流體的變化情況，通過得到的V(t)密度函數(shù)，可以分析出數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平和能量緩沖區(qū)中能量水平的變化.

1.2 模型轉(zhuǎn)化

基于上述的分析，將模型轉(zhuǎn)化為SFQ，分析云存儲系統(tǒng)中數(shù)據(jù)和能量的分布特點.

將本文模型建模為隨機過程{V(t),I(t),H(t)}，定義隨機過程J(t)={I(t),H(t)}，根據(jù)實際情況，I(t)和H(t)是相互獨立的CTMC，因而隨機過程J(t)={I(t),H(t)}也是一個CTMC，將J(t)作為SFQ的背景過程，其狀態(tài)空間S=SD×SE={1,2,…,mn},其生成元矩陣為T=M⊕N，其中，⊕是Kronecker和.隨機過程V(t)表示虛擬緩沖區(qū)的水平變化過程，則得到SFM{V(t),J(t)}.

令dJ(t)=λI(t)-rH(t)，不失一般性，假設(shè)λI(t)≠rH(t)，即dJ(t)≠0.則SFM{V(t),J(t)}的凈輸入率矩陣D=Λ⊕-R.由于dJ(t)的不同，狀態(tài)空間S可以分為兩個不相交的子集：

S=S+∪S-,

(3)

其中，S+={j∈S|dj>0}，S-={j∈S|dj<0}.

根據(jù)(3)，矩陣T和D可以分別寫成分塊形式：

其中，D+=diag{dj>0,j∈S+}，D-=diag{dj<0,j∈S-}.

隨后，本文提出SFQ{V(t),J(t)}的平穩(wěn)分布，進而得出一些相關(guān)分析.

1.3平穩(wěn)分布

在SFQ模型中，當(dāng)0

μ=ξ+D+1-ξ-D-1.

(4)

其中，ξ+D+1表示長期情況下虛擬系統(tǒng)中流體流入的速率，ξ-D-1表示長期情況下虛擬系統(tǒng)中的流體流出的速率.μ的物理意義代表了長期的緩沖區(qū)中凈流入率.因此，當(dāng)μ<0時，V(t)有向下的趨勢，即能量緩沖區(qū)為滿；當(dāng)μ>0時，V(t)有向上的趨勢，即數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為滿的趨勢，這種情況下，可能導(dǎo)致大量的數(shù)據(jù)溢出(丟失)，所以假設(shè)μ<0，在SFM中存在平穩(wěn)密度[11].

下面對緩沖區(qū)的邊界進行分析：

(i)對于任意j∈S+，即數(shù)據(jù)到達速率大于能量收集速率，則數(shù)據(jù)緩沖區(qū)趨于滿(X(t)→BD)，能量緩沖區(qū)容量趨于空(Y(t)→0)，因此，

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→BD+BE=B.

(5)

對于這些狀態(tài)集，虛擬隊列為空的概率一定是0，則有

Πj(0)=P[V(t)≤0,J(t)=j]=0，j∈S+.

(ii)對于任意j∈S-，即能量收集速率大于數(shù)據(jù)到達速率，則能量緩沖區(qū)趨于滿(Y(t)→BE)，數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中趨于空(X(t)→0)，故有

V(t)=X(t)-Y(t)+BE→0.

(6)

對于這些狀態(tài)集，虛擬隊列為滿的概率一定是0，則有

Πj(B)=P[V(t)=B,J(t)=j]=0，j∈S-.

經(jīng)過上述分析，可以得出SFQ{V(t),J(t)}的平穩(wěn)分布和邊界概率，進而得出能量緩沖區(qū)能量水平和數(shù)據(jù)緩沖區(qū)中數(shù)據(jù)水平.

2 系統(tǒng)分析

2.1 背景知識

定義1 首達時(FPT)：

θ=inf{t>0:V(t)=0},ι=inf{t>0:V(t)=B},

其中，θ表示首次到達水平0的時刻；ι表示首次到達水平B的時刻.

根據(jù)上述首達時定義，類似地定義下面首達概率矩陣[12]：

對于i∈S+,j∈S+,k∈S-，有

[Ψ]ik=P[θ<∞,J(θ)=k|V(0)=0,J(0)=i]，

同理，對于i∈S-,k∈S-,j∈S+，有

并且，有矩陣Ψ滿足下面的Riccati方程：

ΨQ-+Ψ+Q++Ψ+ΨQ--+Q+-=0,

(7)

根據(jù)文獻[13-14]關(guān)于求解Ψ的算法可以求得Ψ.

(8)

(9)

2.2 主要結(jié)論

(10)

(11)

證明過程類似于文獻[11].

(12)

證明過程類似于文獻[11].

定理3 對于本文提出的SFQ{V(t),J(t)}，其邊界概率和平穩(wěn)密度函數(shù)為

證明 為了確定α，則有下面事實成立：

3 數(shù)值解釋

下面運用數(shù)值計算數(shù)據(jù)和能量的聯(lián)合分布，根據(jù)研究結(jié)果來說明緩沖區(qū)大小對于霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點性能指標的影響.

3.1 數(shù)據(jù)設(shè)置

3.2 數(shù)值分析

根據(jù)本文的理論推導(dǎo)得出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果，如圖2至圖5所示.

圖2 緩沖區(qū)的平穩(wěn)密度函數(shù)

圖3 緩沖區(qū)的平穩(wěn)分布函數(shù)

圖4 緩沖區(qū)大小與溢出概率的變化趨勢

圖5 緩沖區(qū)大小與閑置概率的變化趨勢

圖2和圖3顯示了在聯(lián)合緩沖區(qū)B的大小分別為10、40、60、100時對應(yīng)的平穩(wěn)密度函數(shù)以及分布函數(shù).圖2的橫坐標是以聯(lián)合緩沖區(qū)的大小為單位縮小繪制的，可以看出，當(dāng)B=10時，處于兩端的水平概率密度占比較大，這是由于漂移μ=-0.172 9<0，漂移影響著緩沖區(qū)容量水平變化的整體趨勢.由于μ<0，流體水平整體趨勢是遞減的，這導(dǎo)致更易觸碰到邊界水平0，有流體的反饋，水平會上升，但此時緩沖區(qū)較小，也易接觸上邊界，所以處于兩端的水平概率密度占比較大.隨B的增大，觸碰上邊界B的可能性越來越小，因此處于上邊界的概率密度逐漸減少，其平穩(wěn)密度在區(qū)間(0,B)上的分布幾近于一致，當(dāng)緩沖區(qū)的大小增加時，處于水平0和水平B的概率質(zhì)量減小.這是由于如果B是無限的，那么隊列將接近于瞬態(tài)的；在B有限的情況下，平穩(wěn)分布傾向于均勻地分布在整個狀態(tài)空間上.

圖4和圖5分別顯示了在不同狀態(tài)下緩沖區(qū)大小分別與溢出概率和閑置概率的變化趨勢圖.根據(jù)式(5)可知，有4個狀態(tài)下可能發(fā)生溢出，即聯(lián)合緩沖區(qū)為滿，也意味著數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為滿，即會發(fā)生數(shù)據(jù)溢出(數(shù)據(jù)丟失)，如圖4顯示緩沖區(qū)大小對于數(shù)據(jù)丟失概率的影響.從圖像可以看出，隨緩沖區(qū)增大，其溢出概率越來越小，這意味著其數(shù)據(jù)丟失的概率越來越小，這是因為隨緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)內(nèi)流體的含量幾乎達不到上界B，達不到上界B也就不會發(fā)生數(shù)據(jù)丟失.

根據(jù)式(6)可知，有5個狀態(tài)下可能發(fā)生閑置，即聯(lián)合緩沖為閑置，意味著能量緩沖區(qū)為滿，即數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空的概率(數(shù)據(jù)到達直接被能量緩沖區(qū)內(nèi)緩沖的能量所服務(wù))，虛擬緩沖區(qū)為空，也意味著數(shù)據(jù)緩沖區(qū)為空，如圖5展示了在不同狀態(tài)下數(shù)據(jù)緩沖區(qū)閑置的概率，隨著緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)閑置的概率越來越小，最終閑置概率都會趨于一個常數(shù).這是因為在緩沖區(qū)中流體量整體趨勢下降的情況下，隨著緩沖區(qū)容量的增大，緩沖區(qū)中流體的量幾乎達不到上界B就已返回邊界水平0，上界對流體水平變化的影響越來越小.

4 結(jié)語

本文對霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的能量和數(shù)據(jù)同時進行分析，并將能量收集過程和數(shù)據(jù)到達過程建模為隨機過程，狀態(tài)空間是多個狀態(tài)的隨機過程，根據(jù)矩陣分析方法計算出緩沖區(qū)水平變化的平穩(wěn)分布以及霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中數(shù)據(jù)緩沖區(qū)的溢出概率和閑置概率，分析霧網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中緩沖區(qū)大小對于數(shù)據(jù)的影響.在未來的工作中，可將本文提出的模型運用于更多通信模型，并應(yīng)用在生產(chǎn)實踐中；同時還可以強化系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如加入可支持電網(wǎng)，提供附加的數(shù)據(jù)處理能力，考慮數(shù)據(jù)服務(wù)的重要性等.