朱亞軍

（江蘇省蘇州中學(xué)，江蘇 蘇州 215007）

2022屆蘇州市第2次調(diào)研考試結(jié)束后，高三師生們對(duì)選擇題第9題留下了比較深刻的印象.雖然單個(gè)小球在豎直平面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)大家都耳熟能詳，但本題設(shè)問(wèn)非常精妙，創(chuàng)新設(shè)計(jì)，要求考生分析兩個(gè)小球在同一豎直光滑圓軌道內(nèi)側(cè)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.有的學(xué)生即使蒙對(duì)正確答案是（C）選項(xiàng)，其實(shí)并沒(méi)有真正理解其中的道理.有的教師在講評(píng)這道選擇題的時(shí)候，由于兩小球間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)比較抽象、復(fù)雜，講解頗為周折，似乎只可意會(huì)，不可言傳.為此，筆者嘗試借助GeoGebra軟件模擬第9題描述的動(dòng)態(tài)情境，進(jìn)而繪制兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相關(guān)物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律，以期給大家今后的教學(xué)提供一點(diǎn)幫助.

1 題目及定性分析

例題.如圖1所示，豎直平面內(nèi)固定著內(nèi)側(cè)光滑的圓形軌道，半徑為r.兩個(gè)質(zhì)量都為m的小球1、2，某時(shí)刻恰好位于軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，初速率分別為，以圓環(huán)最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則兩小球1、2在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

圖1

（A）可能會(huì)在某一位置中發(fā)生碰撞.

（B）可能同時(shí)位于水平直徑的兩端.

（C）兩小球距離最近時(shí)總動(dòng)能最小.

（D）系統(tǒng)重力勢(shì)能的最大值為2mgr.

本題以豎直平面內(nèi)光滑圓軌道約束兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)為情境，通過(guò)分析小球1、2分別以初速率從最高點(diǎn)、最低點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針沿圓軌道做變速圓周運(yùn)動(dòng)的情況，考查學(xué)生對(duì)小球在豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)速率隨時(shí)間變化規(guī)律的掌握情況，同時(shí)考查兩球之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、系統(tǒng)總動(dòng)能和總重力勢(shì)能的變化規(guī)律.

根據(jù)小球在豎直光滑軌道內(nèi)維持變速圓周運(yùn)動(dòng)的條件和機(jī)械能守恒定律可知，題設(shè)初速率恰能滿足小球1、2分別從最高點(diǎn)、最低點(diǎn)開始沿內(nèi)側(cè)光滑圓形軌道維持運(yùn)動(dòng)的條件，由于，所以，小球1運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速率等于v2，小球2運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率等于v1，意味著小球1、2運(yùn)動(dòng)的周期相等，不可能會(huì)在某一位置中發(fā)生碰撞，故選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤.另外，根據(jù)機(jī)械能守恒定理可得小球1、2分別運(yùn)動(dòng)到水平直徑兩端時(shí)的速率都是所以，小球1、2分別運(yùn)動(dòng)到水平直徑右端、左端的過(guò)程中平均速率不相等，經(jīng)歷的時(shí)間必然不同，選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤.

題干中規(guī)定以圓環(huán)最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則最初系統(tǒng)的重力勢(shì)能、動(dòng)能和機(jī)械能分別為2mgr，3mgr和5mgr.在隨后的一小段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因小球2上升的速率大于小球1下降的速率，故系統(tǒng)的重力勢(shì)能逐漸增大，直至小球2越過(guò)水平直徑后與小球1達(dá)到同一高度時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能最大，且大于2mgr，系統(tǒng)的總動(dòng)能最小，小于3mgr.所以，選項(xiàng)（C）正確，選項(xiàng)（D）錯(cuò)誤.

2 借助GeoGebra探究小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

（1）小球運(yùn)動(dòng)的微分方程.

首先，分析小球1的運(yùn)動(dòng)情況.如圖2所示，從小球1在最高點(diǎn)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，設(shè)t時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到圖示位置，小球1和圓心O的連線與豎直方向的夾角為θ1，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有

圖2

（2）在GeoGebra軟件中輸入已知量、初始條件和微分方程組.可調(diào)節(jié)的已知量：軌道半徑r＝2.5 m，小球質(zhì)量m＝0.1 kg；不可調(diào)節(jié)的已知量：重力加速度g＝9.8 m／s2.

（3）利用“NsolveODE”指令解常微分方程組，繪制小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相關(guān)物理量隨時(shí)間變化的圖像.

圖3所示為θ1- t、ω1- t圖像.圖4所示為θ2- t、ω2-t圖像.

圖3

圖4

為描繪小球的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相關(guān)物理量隨時(shí)間變化的圖像，需要從圖3、圖4中獲取任意時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的θ1、ω1、θ2和ω2的瞬時(shí)值.

輸入：len＝length（θ1），

描 點(diǎn)：Point（θ1，t），Point（ω1，t），Point（θ2，t），Point（ω2，t），如 圖 5所示.

圖5

輸 入：x1＝r sinθ1，y1＝r（1＋cosθ1）；x2＝－r sinθ2，y2＝r（1－cosθ2）.

輸入：（x1，y1）——小球1的位置，Locus（1，t）——小球1的軌跡；（x2，y2）——小球2的位置，Locus（2，t）——小球2的軌跡.小球1、2的初始位置和軌跡如圖6所示.

圖6

用虛線連接小球1、2，并獲取這段虛線的長(zhǎng)度l.利用“Locus”指令描繪l- t圖像，如圖7所示.由此可見，小球1、2之間的最大距離為5.00 m，最小距離約為4.62 m.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球1、2不可能發(fā)生碰撞.

圖7

圖8

圖9

圖10

圖7—圖11表明，當(dāng)小球1、2的連線水平，且在水平直徑的正上方時(shí)，兩球之間的距離l最小，小球1、2的動(dòng)能相等，重力勢(shì)能相等，且重力勢(shì)能大于動(dòng)能；兩個(gè)小球的總動(dòng)能最小，總重力勢(shì)能最大，故本題的選項(xiàng)（C）正確.

圖11

3 小結(jié)

本文借助GeoGebra的“NsolveODE”指令探究小球1、2的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.利用“Locus”指令描繪小球1、2運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相關(guān)物理量（θ1，θ2，ω1，ω2，l，Ek1，Ek2，Ep1，Ep2，Ek總和Ep總）隨時(shí)間t變化的圖像，非常直觀、形象地呈現(xiàn)小球1、2的相對(duì)運(yùn)動(dòng)情境和總動(dòng)能、總重力勢(shì)能的變化情況.將轉(zhuǎn)瞬即逝的運(yùn)動(dòng)過(guò)程逐一定格——化動(dòng)為靜，實(shí)現(xiàn)豎直平面內(nèi)光滑圓軌道約束小球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的可視化，突破教學(xué)的難點(diǎn).