梁雪峰

(天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅 天水 741000)

考慮一般的不連續(xù)系統(tǒng)

x′=f(x,t) ,

(1)

其中，f:G→X具有某種不連續(xù)性,G?X×R是一個開集.文獻[1]和文獻[2]討論了在Lebesgue積分意義下Caratheodory系統(tǒng)和Filippov解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.然而,有些不連續(xù)系統(tǒng)的右端函數(shù)f(x,t)在某區(qū)間上是非Lebesgue可積的,并且它的解也是非絕對連續(xù)函數(shù).文獻[3]討論了廣義Caratheodory系統(tǒng)的GC-解,文獻[4]和文獻[5]探討了脈沖微分方程和不連續(xù)系統(tǒng)的有界變差解.文獻[6]和文獻[7]首次將Φ-有界變差函數(shù)理論與Kurzweil 廣義方程理論結(jié)合起來,建立了Kurzweil 方程Φ-有界變差解的存在唯一性定理.本文在Banach空間討論一類不連續(xù)系統(tǒng)Φ-有界變差解,并建立存在唯一性定理,這個結(jié)果是文獻[5]中主要結(jié)果的推廣.

1 預(yù)備知識

設(shè)Φ(u)是對u≥0定義的連續(xù)不減函數(shù),滿足Φ(0)=0,對u>0,Φ(u)>0.后面將用到以下條件

(C1) 存在u0>0及L>0，使得對0

(C2) Φ(u)是凸函數(shù).

設(shè)[a,b]?R,-∞

G=Bc×(a,b).

定義1[8-9]稱函數(shù)x∶[a,b]→X[a,b]上Henstock-Kurzweil可積，若存在A∈X,對?ε>0,存在正函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),使[a,b]的任何δ(τ)-精細分劃D={(ξj,[tj-1,tj]),j=1,2,…,k},其中ξj∈[tj-1,tj]?[ξj-δ(ξj),ξj+δ(ξj)],有

定義2[10-11]稱函數(shù)x∶[a,b]→X在[a,b]上H-K-Stieltjes可積,若存在A∈X,對?ε>0,存在正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),使[a,b]的任何δ(τ)-精細分劃D={(ξj,[tj-1,tj]),j=1,2,…,k},其中ξj∈[tj-1,tj]?[ξj-δ(ξj),ξj+δ(ξj)],有

2 主要結(jié)果

定義3 稱函數(shù)x(t)∶I→X(I表示R中的區(qū)間)是系統(tǒng)(1)的Φ-有界變差解,是指

(i)x(t)在區(qū)間I的任何緊子區(qū)間上是Φ-有界變差函數(shù)；

(ii)當t∈I時，[x,t]∈G;

(iii)x′(t)=f(x(t),t)a.e.t∈I.

(i)存在正值函數(shù)δ：I→(0,+∞)對每個區(qū)間[u,v],滿足τ∈[u,v]?[τ-δ(τ),τ+δ(τ)]?I及x∈Bc,有

(2)

(ii)對每個區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?[τ-δ(τ),τ+δ(τ)]?I及x,y∈Bc,有

(3)

其中，h∶I→R是定義于I上單調(diào)增加的左連續(xù)函數(shù).

(4)

成立.

由于ε>0的任意性,不等式(4)成立.

定理2 設(shè)f:G→X滿足(2)式條件,若當x∶[α,β]→X,[α,β]?[a,b]是系統(tǒng)(1)的一個解,那么x是Φ-有界變差函數(shù)且

VΦ(x;[α,β])≤Φ(VΦ(h;[α,β])<+∞.

(5)

此外h在區(qū)間[α,β]上的每一個左連續(xù)點也是解x∶[α,β]→X的左連續(xù)點.

證明設(shè)α=t0

(6)

由(6)式,有

通過對[α,β]上所有分割取上確界,可得(5)式.

證明由文獻[6]中推論3.8,結(jié)論成立.

定理4 設(shè)f∈VΦ(G,h)且(x(t0),t0)∈G，那么存在d-,d+使得不連續(xù)系統(tǒng)(1)在區(qū)間[t0-d-,t0+d+]上存在一個解x∶[t0-d-,t0+d+]→X,滿足x(t0)=x0.

同理,存在d+>0,使得如果t∈[t0,t0+d+]且x∈X時有

那么(x,t)∈G=Bc×(a,b).

用Α表示所有函數(shù)z:[t0-d-,t0+d+]→X構(gòu)成的集合,當t∈[t0-d-,t0]時,

下面證明Α是集合BVΦ[t0-d-,t0+d+]的閉子集,設(shè)zk∈A,k∈N是BVΦ[t0,t0+d+]上收斂于z的一個序列.由文獻[12]中定理3.11,有

VΦ(z-zk;[t0-d-,t0+d+])→0,(k→∞).

因此，zk(t)在[t0-d-,t0+d+]上一致收斂于函數(shù)z[12].則對于任意ε>0,當k∈N充分大且t∈[t0,t0+d+]，有

由于ε>0的任意性,當s1,s2∈[t0-d-,t0+d+]時有

即T是一個壓縮映射.Banach不動點定理的所有假設(shè)都滿足,因此存在唯一的x∈A使得x=Tx,即x是不連續(xù)系統(tǒng)(1)的唯一的Φ-有界變差解.

3 結(jié)論