帶比例交易成本的Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅和注資

候力佳,胡 華

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

近年來，隨著保險(xiǎn)市場的高速發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)理論成為當(dāng)今金融數(shù)學(xué)界和精算學(xué)界的重要研究內(nèi)容之一，最優(yōu)分紅問題引起專家學(xué)者們的廣泛關(guān)注，保險(xiǎn)公司何時分紅以及分紅量的多少成為了學(xué)者們所要研究的一個重要問題.為了更好地刻畫保險(xiǎn)公司盈余過程并準(zhǔn)確模擬金融市場運(yùn)行規(guī)律Lévy過程滿足這一特點(diǎn)且更符合實(shí)際，是非常重要的隨機(jī)模型，具有如獨(dú)立平穩(wěn)增量性、馬爾可夫性和無窮可分性等許多良好的性質(zhì)，在隨機(jī)分析等領(lǐng)域有著大量的研究和應(yīng)用.

目前，關(guān)于保險(xiǎn)公司分紅與注資問題已有大量的研究成果[1-5]，但是這些模型均假設(shè)分紅可以在任何時候進(jìn)行.然而，在現(xiàn)實(shí)生活中分紅只能在一定的時間間隔內(nèi)做出決定再進(jìn)行分紅.Albrecher等[6]在Cramér-Lundberg模型中首次提出了周期性障礙分紅策略，其中破產(chǎn)和分紅只能在某些隨機(jī)觀察時間才能被觀察到.隨后，具有周期性分紅的風(fēng)險(xiǎn)模型得到了廣泛的關(guān)注.Noba 等[7]討論了譜負(fù)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型下的最優(yōu)分紅問題，其中分紅是在獨(dú)立泊松過程的跳躍時間下進(jìn)行，證明了周期性障礙策略的最優(yōu)性.Avanzi等[8]將固定交易成本納入譜負(fù)Lévy過程，并對其最優(yōu)周期分紅問題進(jìn)行了建模和研究，證明了在Lévy測度條件下周期分紅策略是最優(yōu)的.Avanzi等[9]考慮了一類具有持續(xù)支出和一次性收益的Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題，研究了固定交易成本對最優(yōu)周期分紅的影響策略，表明當(dāng)決策時間根據(jù)在某個分紅時刻，周期策略是一個最優(yōu)的獨(dú)立的泊松過程.Noba等[10]考慮了有救助條件下的譜負(fù)Lévy模型，證明了巴黎經(jīng)典反射策略的最優(yōu)性.鐘瑋[11]討論了基于非指數(shù)折現(xiàn)函數(shù)的譜正Lévy模型下周期分紅問題，給出了值函數(shù)滿足的HJB方程并借助伊藤公式等得到了驗(yàn)證定理，結(jié)果表明在一定條件下周期障礙分紅策略是均衡意義下的最優(yōu)策略.

由于注資也是公司管理風(fēng)險(xiǎn)的常用手段，允許注資條件下的分紅問題研究更加貼近現(xiàn)實(shí)，此時公司的價值可以重新定義為破產(chǎn)前分紅現(xiàn)值與注資金值之差的期望值.注資是新的投資，應(yīng)以換回足夠的回報(bào)為前提，因此分紅與注資同時優(yōu)化就成了亟待解決的問題.而Lévy過程的樣本路徑具有間斷點(diǎn)，可以刻畫隨機(jī)運(yùn)動中的跳躍行為，帶跳的Lévy過程具有非對稱的尖峰厚尾性質(zhì)和不連續(xù)性，克服了正態(tài)分布的對稱性，可以很好地描述突發(fā)事件帶來的影響，這使其更適用于刻畫一些偶然的、極端的和特殊的隨機(jī)波動模型，更符合實(shí)際情況的變化.Dong等[12]研究了具有兩種分紅的譜負(fù)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型在獨(dú)立泊松觀測時間下進(jìn)行注資，通過尺度函數(shù)表示所有結(jié)果.Dong等[13]考慮了具有隨機(jī)觀測時間的譜負(fù)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型，分紅和注資都是在獨(dú)立泊松過程的觀測時間下進(jìn)行，在絕對破產(chǎn)情況下，討論了預(yù)期貼現(xiàn)股息和預(yù)期的貼現(xiàn)注資.

但是目前關(guān)于譜正Lévy過程的最優(yōu)分紅與注資問題的研究相對較少，譜正Lévy 風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅與注資策略同時優(yōu)化的一些問題尚未解決.基于前人對于此問題的研究，本文研究帶比例交易成本的Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅和注資問題，其中分紅只能在獨(dú)立泊松過程的跳躍時間下進(jìn)行.假設(shè)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅策略是周期障礙策略，通過構(gòu)造q-尺度函數(shù)求解最優(yōu)策略和值函數(shù)，并運(yùn)用驗(yàn)證定理證明周期障礙策略的最優(yōu)性.

1 模型建立

1.1 譜正Lévy過程

設(shè)X={Xt}t≥0是定義在完備的帶流概率空間(Ω,F,F,P)上有非單調(diào)軌跡的譜正Lévy過程,其中F={Ft}t≥0是由隨機(jī)過程X生成的，譜正Lévy過程意味著沒有負(fù)跳.

(1)

其中1A表示集合A的示性函數(shù).假設(shè)-ψ′(0+)=E(X1)>0，即隨機(jī)過程X趨于+∞.隨機(jī)過程X是有界變差的充要條件是

此時，公式(1)可寫為

(2)

1.2 泊松分紅策略下的最優(yōu)控制問題

假設(shè)一個公司的盈余過程由Lévy過程X驅(qū)動，其中拉普拉斯指數(shù)見公式(1).控制策略分為分紅和注資兩部分.給定一個策略π，記Lπ表示分紅策略，Rπ表示注資策略.假設(shè)分紅是周期分紅策略，此時假設(shè)分紅只能在到達(dá)時間T=(T(i);i≥1)進(jìn)行，其中分紅時刻是由強(qiáng)度r>0的獨(dú)立泊松過程N(yùn)r=(Nr(t);t≥0)所決定.

對于分紅過程，Lπ的形式為

(3)

其中νπ關(guān)于由過程(X,Nr)所生成的域流F=(Ft)t≥0是適應(yīng)的.

對于注資過程，假設(shè)Rπ是非遞減、右連續(xù)的，適應(yīng)F過程且滿足Rπ(0)=0.與分紅相反，資本注入可以持續(xù)進(jìn)行，相應(yīng)的盈余過程記為

Uπ(t)=X(t)-Lπ(t)+Rπ(t),t≥0.

設(shè)Π表示可允許策略的集合，定義破產(chǎn)時刻為Tπ=inf{t>0:Uπ(t)<0}.令inf ?=∞.

(4)

本文的目的是計(jì)算值函數(shù)

與此同時，在策略存在的情況下找到與其對應(yīng)的最優(yōu)策略π*∈Π.

2 周期障礙策略

(5)

2.1 尺度函數(shù)

預(yù)期紅利凈現(xiàn)值可以通過波動理論計(jì)算，為了使得求解的預(yù)期紅利凈現(xiàn)值公式(5)最大.下面給出尺度函數(shù)的定義及其相關(guān)性質(zhì).

定義1 固定q≥0，函數(shù)族W(q)(x)滿足：[0,∞)，當(dāng)x<0時，W(q)(x)=0；當(dāng)x≥0時，存在非負(fù)連續(xù)嚴(yán)格遞增的函數(shù)W(q)(x)，其拉普拉斯變換為

(6)

其中ψ如公式(1)所定義，且

Φ(q)=sup{θ≥0:ψ(θ)=q},

(7)

則稱函數(shù)族W(q)(x)是q-尺度函數(shù).

類似文獻(xiàn)[14]中的定義2，可定義與W(q)(x)相關(guān)的伴隨尺度函數(shù)Z(q)(x):[1,∞),

當(dāng)x∈，同樣定義下面的函數(shù)

注意，當(dāng)-∞

(8)

下面得到關(guān)于W(q)(x)的一些性質(zhì)[15]: 如果隨機(jī)過程X是有界變差，則對任意q≥0,W(q)|(0,∞)∈C1(0,∞)的充要條件是Π沒有原子；如果隨機(jī)過程X是無界變差，則對任意q≥0,W(q)|(0,∞)∈C1(0,∞).此外，如果σ>0，則C1(0,∞)可以替換為C2(0,∞).如果Lévy測度有密度，則尺度函數(shù)始終是可微的[16]，可以得到W(q)(x)和W(q)′(x)的初值

(9)

利用W(q)(q+r)和Φ(q+r)，是由公式(6)和公式(7)中用q+r代替q定義的.根據(jù)ψ在(0,∞)上的凸性，可得當(dāng)r>0時，有Φ(q+r)>Φ(q).當(dāng)q,r>0，x∈時，令

(10)

對公式(10)關(guān)于x求偏導(dǎo)，得

Z(q)′(x,Φ(q+r))=Φ(q+r)Z(q)(x,Φ(q+r))-rW(q)(x),x>0.

同樣，定義

(11)

則

(12)

下面運(yùn)用上述的尺度函數(shù)來計(jì)算預(yù)期凈現(xiàn)值式(5).

2.2 計(jì)算預(yù)期凈現(xiàn)值

引理1 對于所有的b≥0，x≥0，有

(13)

證明首先利用文獻(xiàn)[17]中推論3.3和推論3.4可得

(14)

(15)

由公式(14)與公式(15)可得

注1 當(dāng)x>b>0時，公式(13)為

3 候選最優(yōu)障礙值b*的選擇

本節(jié)首先確定候選障礙值b*，其次證明在b處滿足光滑性的條件，最后證明最優(yōu)障礙值b*的存在性.

3.1 平滑擬合

定理1 在b處滿足期望的光滑性條件是

(16)

證明對于所有的b>0，x∈(0,∞)，對式(13)求導(dǎo)，可得

(17)

當(dāng)x>b時，可得

(18)

首先，當(dāng)b>0時，Vb是連續(xù)可微的，可得

接著，對Vb求二階導(dǎo)，有

因此，要使Vb二階可導(dǎo)，可得

顯然，二次連續(xù)可微性對于無界變差情形自然成立，但是對于有界變差情形時當(dāng)且僅當(dāng)滿足式(16)才成立.

最后，對于無界變差情況，考慮函數(shù)Vb的三階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性.運(yùn)用公式(9)、(17) 和(18)，得

如果

則值函數(shù)Vb有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，值函數(shù)Vb三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件公式(16).

3.2 b*的存在性

下面證明b*的存在性，使得條件Cb對于b=b*成立.

引理2 公式(16)存在唯一解b>0當(dāng)且僅當(dāng)

(19)

證明滿足公式(16)等價于滿足h(b)=0，其中

(20)

對公式(20)求導(dǎo)，得

因此，公式(16)存在唯一解b使得h(b)=0當(dāng)且僅當(dāng)h(0)<0，根據(jù)公式(19)可知

根據(jù)引理2，若公式(19)成立，則取公式(16)的唯一根作為候選最優(yōu)障礙值b*.

4 最優(yōu)性驗(yàn)證

下面證明周期障礙策略πb*的最優(yōu)性.對于b*>0，由于b*滿足Cb，所以公式(13)的預(yù)期凈現(xiàn)值可以簡寫為

(21)

當(dāng)b*=0，得

(22)

下面將提供驗(yàn)證引理并證明Vb*滿足公式(16).給定一個可測函數(shù)g是充分光滑的，如果g是(0,∞)上連續(xù)可微的函數(shù)族(相應(yīng)C2(0,∞)表示(0,∞)上的二次連續(xù)可微的函數(shù)族)，則X具有有界變差(相應(yīng)無界變差)路徑.令L是作用于充分光滑函數(shù)g上的算子，可表示為

(23)

(24)

下面將證明候選值函數(shù)Vb*滿足公式(24).根據(jù)引理4.2[7]，可知Vb*是足夠光滑的.

證明(i) 假設(shè)b*>0，由(16)式和(17)式，對于所有的x>0，可得

(25)

在b*點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)

(ii)假設(shè)b*=0，

(26)

當(dāng)x>0時，對公式(26)求導(dǎo)得

(27)

(28)

特別是

(29)

則V0′(0+)≤α.

引理5 當(dāng)b*>0時，

(30)

引理6 當(dāng)b*>0時，

(31)

當(dāng)b*=0時，有

(32)

證明假設(shè)b*>0，利用文獻(xiàn)[18]中定理2.1，可得

(L-q)K(q,r)(b*-x)=0,0

(33)

利用文獻(xiàn)[19]中(3.9)式和(3.10)式，對于任意的0

(34)

(L-q)Z(q,r)(b*-x,Φ(q+r))=0,0

(35)

(L-q)Z(q)(b*-x)=0,0

(36)

(i)當(dāng)0

(37)

可得

(ii)當(dāng)x>b*時,

(38)

(39)

可得

特別是，當(dāng)b*=0時，

定理2 周期障礙策略πb*是最優(yōu)的，并且對所有的0≤x<∞，值函數(shù)V(x)=Vb*(x).

(i)假設(shè)b*>0.當(dāng)x≤b*時，引理5和引理6說明了公式(24)等號成立.當(dāng)x>b*時，將公式(21)帶入公式(30)中，得

(ii) 假設(shè)b*=0.將公式(22)帶入公式(30)，得

將上式和公式(32)結(jié)合，即得公式(24)等號成立.

5 結(jié)束語

本文研究了帶比例交易成本的Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅只能發(fā)生在獨(dú)立泊松過程跳躍時刻約束下的最優(yōu)分紅和注資問題.將分紅與注資同時優(yōu)化，通過構(gòu)造q-尺度函數(shù)來求解最優(yōu)策略和值函數(shù).本文假設(shè)分紅策略是周期障礙策略，找到一個候選障礙值b*并證明其存在性.最后，運(yùn)用驗(yàn)證定理證明了周期障礙策略的最優(yōu)性，從而解決了帶比例交易成本的Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅和注資問題.