王寅，趙磊，曾潔

(大連交通大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)①

永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor，PMSM)以其小體積、低噪聲、高功率因數(shù)等特點(diǎn)，在航空航天、電動(dòng)汽車、機(jī)器人等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1-2].PMSM的閉環(huán)控制方式主要包括矢量控制和直接轉(zhuǎn)矩控制[3]，這兩種閉環(huán)控制方式根據(jù)需求獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)行速度以及轉(zhuǎn)子的位置角信息，但其通過另外安裝機(jī)械傳感器的方式，無疑會(huì)增加系統(tǒng)體積和成本，并且還會(huì)影響到整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，可以選擇采用無位置傳感器控制技術(shù)加以改進(jìn).無位置傳感器控制主要包括：磁鏈觀測器法、高頻注入法、模型參考自適應(yīng)法、卡爾曼濾波器[4]、滑模觀測器等[5-6].Zhang等[7]對比了龍貝格觀測器、滑模觀測器和擴(kuò)展卡爾曼濾波器在穩(wěn)態(tài)精度、動(dòng)態(tài)性能、參數(shù)魯棒性等方面的特性.在實(shí)用性方面龍貝格觀測器更好，但在魯棒性方面，滑模觀測器遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于另外兩種觀測器.因此，滑模觀測器以其對電機(jī)參數(shù)變化不敏感、魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)受到了國內(nèi)外諸多學(xué)者的關(guān)注.Zhao等[8]提出了一種基于二階滑模超螺旋算法和MRAS估計(jì)理論的觀測器，相比傳統(tǒng)一階滑模觀測器，該方案減輕了抖振問題.楊淑英等[9]通過電流觀測誤差來設(shè)計(jì)滑模面并設(shè)計(jì)反饋矩陣，使電機(jī)的磁鏈誤差逐漸趨于零.馬文華等[10]結(jié)合間接矢量控制與固定邊界層滑模觀測器，設(shè)計(jì)了一種感應(yīng)電機(jī)無速傳感器驅(qū)動(dòng)控制方案，與傳統(tǒng)觀測器相比，其在低速工況下具有更高的精度.滑模觀測器的系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)后，由于系統(tǒng)慣性，會(huì)來回穿越滑模面，這會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振.本文在傳統(tǒng)的滑模觀測器的基礎(chǔ)上使用雙曲正切函數(shù)取代開關(guān)函數(shù)，并針對傳統(tǒng)的PI控制調(diào)節(jié)能力弱的問題，引入滑?？刂?，以進(jìn)一步削弱系統(tǒng)抖振.最后通過Matlab/Simulink仿真驗(yàn)證了改進(jìn)后算法的優(yōu)越性.

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

以實(shí)際應(yīng)用中常用的表貼式永磁同步電機(jī)為例，其在靜止α-β坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

(2)

式中：uα、uβ分別為電機(jī)定子電壓對應(yīng)的α、β軸分量；iα、iβ分別為電機(jī)定子電流對應(yīng)的α、β軸分量；p為微分符號；R為電機(jī)定子電阻；Ls為定子在d、q軸上的電感(Ld=Lq=Ls)；Eα、Eβ分別為反電動(dòng)勢對應(yīng)的α、β軸分量；ψf為電機(jī)永磁體磁鏈；ωr為電機(jī)轉(zhuǎn)子的電角速度；θr為轉(zhuǎn)子位置角.

2 滑模觀測器的原理及改進(jìn)方法

2.1 傳統(tǒng)滑模觀測器模型

將式(1)電壓方程變換為電流狀態(tài)方程：

(3)

定義滑模面為：

(4)

u(x)=ksign(s)

(5)

式中：k為滑模增益；符號函數(shù)sign(s)定義為：

(6)

結(jié)合式(3)～式(5)可將傳統(tǒng)的滑模觀測器構(gòu)造為：

(7)

定子電流誤差可以用式(7)減去式(3)求得：

(8)

(9)

2.2 改進(jìn)型滑模觀測器的設(shè)計(jì)

PMSM無位置傳感器控制系統(tǒng)的總體框圖,見圖1.

圖1 PMSM無位置傳感器控制系統(tǒng)的總體框圖

本文針對傳統(tǒng)滑模觀測器存在的抖振問題，在傳統(tǒng)滑模觀測器的基礎(chǔ)上做如下改進(jìn)：選擇雙曲正切函數(shù)tanh (x)取代符號函數(shù)sign (x).定義雙曲正切函數(shù)如式(10)，其波形見圖2.

(10)

圖函數(shù)示意圖

因此，在傳統(tǒng)滑模觀測器的基礎(chǔ)上，本文采用指數(shù)型趨近律結(jié)合雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)出如下趨近律：

(11)

式中：k>0，q>0，指數(shù)趨近律相較于等速趨近律，能夠大大縮短系統(tǒng)到達(dá)滑模面的時(shí)間，并且運(yùn)動(dòng)速度會(huì)隨著其與滑模面之間距離的縮短而逐漸減小，使得抖振更小.仍然選擇式(4)為滑模面，結(jié)合式(3)、式(4)、式(11)可以得到改進(jìn)型滑模觀測器算法如下：

(12)

(13)

將式(12)、式(13)減去式(3)有：

(14)

(15)

定義Lyapunov函數(shù)：

(16)

(17)

(18)

即：

(19)

(20)

要滿足式(17)要求：

k>max{|Eα|,|Eβ|}

(21)

通過上述計(jì)算可知，當(dāng)滑模增益滿足式(21)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)模態(tài)，滑模觀測器穩(wěn)定性條件能夠保證滑動(dòng)模態(tài)在一定時(shí)間內(nèi)收斂于零，即電流的觀測值能夠收斂于電流的實(shí)際值.

由于通過上述方法得到的Eα、Eβ是一個(gè)不連續(xù)的高頻切換信號，因此為了使其連續(xù)，需要在此基礎(chǔ)上使其通過一個(gè)低通濾波器，即：

(22)

則轉(zhuǎn)子位置角的估計(jì)值為：

(23)

但是由于低通濾波器的存在，反電動(dòng)勢估計(jì)值會(huì)產(chǎn)生相位延遲，該延遲將不可避免地影響到轉(zhuǎn)子位置估計(jì)的準(zhǔn)確性，為了獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子位置信息，需要在(23)計(jì)算出的轉(zhuǎn)子位置角的基礎(chǔ)上加上一個(gè)角度補(bǔ)償，補(bǔ)償后的角度如下：

(24)

對于常用的表貼式三相永磁同步電機(jī)，轉(zhuǎn)速估計(jì)值可以表示為：

(25)

綜上所述，ISMO的實(shí)現(xiàn)原理圖見圖3.

圖3 改進(jìn)型滑模觀測器原理框圖

3 系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證改進(jìn)型滑模觀測器所涉及算法的有效性，采用Matlab/Simulink軟件對其進(jìn)行仿真測試.仿真實(shí)驗(yàn)分別搭建了PI+SMO、SMC+SMO及SMC+ISMO的模型，并在相同條件下對系統(tǒng)常速、轉(zhuǎn)速階躍及突加負(fù)載時(shí)的運(yùn)行情況進(jìn)行對比.

PMSM主要參數(shù)如下：定子電阻為2.875 Ω；定子電感為0.008 5 Hm；轉(zhuǎn)子磁鏈為0.175 Wb；極對數(shù)為4； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.001 kg·m2； 額定電壓為311 V. 根據(jù)本文所提出的控制方式，仿真采用Fixed-step，ode3算法.仿真時(shí)長為0.1 s.電機(jī)空載啟動(dòng)，初始轉(zhuǎn)速為700 r/min，電機(jī)運(yùn)行至0.03 s時(shí)，轉(zhuǎn)速階躍至900 r/min，運(yùn)行到0.065 s時(shí)加入2 N·m的負(fù)載.仿真波形見圖4.

(a) 轉(zhuǎn)速變化波形

圖4分別顯示了在傳統(tǒng)PI控制下的傳統(tǒng)滑模觀測器、滑?？刂葡碌膫鹘y(tǒng)滑模觀測器及滑?？刂葡碌母倪M(jìn)型滑模觀測器的轉(zhuǎn)速變化波形與轉(zhuǎn)速誤差波形.可以看出，轉(zhuǎn)速的觀測值與實(shí)際值基本一致，傳統(tǒng)PI控制的傳統(tǒng)滑模觀測器在轉(zhuǎn)速700 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)速誤差在±6 r/min左右；在0.03 s轉(zhuǎn)速躍變至900 r/min時(shí)以及在0.065 s加入負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)誤差動(dòng)均為±5 r/min；采用滑?？刂频膫鹘y(tǒng)滑模觀測器在轉(zhuǎn)速700 r/min時(shí)，轉(zhuǎn)速誤差在±3 r/min，在0.03 s時(shí)轉(zhuǎn)速階躍至900 r/min時(shí)以及在0.065 s加入負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)速誤差均為±4 r/min；而滑模控制的改進(jìn)型滑模觀測器全程轉(zhuǎn)速誤差都穩(wěn)定在1 r/min.由此可見改進(jìn)型SMO的轉(zhuǎn)速誤差遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)SMO，并且轉(zhuǎn)速變化能夠平滑地跟隨指令.

圖5為傳統(tǒng)SMO與ISMO轉(zhuǎn)子位置角估計(jì)值與實(shí)際值的仿真波形，可以看出，在兩種觀測器中，由低通濾波器引起的相位延遲即使在用反正切函數(shù)進(jìn)行相位補(bǔ)償后依然存在， 關(guān)于相位 延 遲的改進(jìn)方法可以通過鎖相環(huán)系統(tǒng)來提取轉(zhuǎn)子的位置信息[11].但是通過對比二者波形可以看出，改進(jìn)型SMO在0.005 s即電機(jī)啟動(dòng)階段能更好地跟蹤轉(zhuǎn)子實(shí)際位置信息.

(a) 傳統(tǒng)滑模估計(jì)位置與實(shí)際位置

圖6為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩輸出波形，在0.03 s轉(zhuǎn)速階躍至900 r/min以及在0.065 s加入2 N·m的負(fù)載時(shí),傳統(tǒng)滑模觀測器以及改進(jìn)型滑模觀測器的輸出轉(zhuǎn)矩均迅速爬升，并隨著轉(zhuǎn)速的收斂最終恢復(fù)穩(wěn)定，但是對比兩者波形可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)型滑模觀測器的輸出轉(zhuǎn)矩變化更平穩(wěn)，抖動(dòng)要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)滑模觀測器.

(a) 傳統(tǒng)滑模輸出轉(zhuǎn)矩

4 結(jié)論

本文以表貼式永磁同步電機(jī)為例，提出了一種改進(jìn)的滑模觀測器.該ISMO采用雙曲正切函數(shù)tanhx取代傳統(tǒng)滑模觀測器中的符號函數(shù)signx.并針對傳統(tǒng)PI控制中，速度外環(huán)采用滑?？刂频姆绞絻?yōu)化了控制效果.最后通過仿真對不同工況下采用傳統(tǒng)PI控制的滑模觀測器、滑?？刂葡碌膫鹘y(tǒng)滑模觀測器、 滑?？刂葡碌母?進(jìn) 型 滑 模 觀 測器進(jìn)行對比分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：改進(jìn)的滑模觀測器在估計(jì)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置角方面具有較高的精度、更強(qiáng)的穩(wěn)定性，能更好地抑制系統(tǒng)抖振.