范世祥
正態(tài)分布是概率論中重要的連續(xù)型概率模型。然而在高中階段,受學(xué)生知識水平的限制,正態(tài)分布的許多結(jié)論無法嚴(yán)格證明或直接計算,在教學(xué)中教師往往一帶而過。為挖掘該課題的內(nèi)在教學(xué)價值,筆者深入研究教學(xué)內(nèi)容,結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐,得出了以下認(rèn)識與思考。
“正態(tài)分布”是“隨機(jī)變量及其分布”的最后一節(jié),安排在隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差之后。從本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來看,重點(diǎn)是正態(tài)分布的概念及性質(zhì),難點(diǎn)是正態(tài)分布概念的形成與理解,尤其是正態(tài)分布密度函數(shù)解析式。從正態(tài)分布在數(shù)學(xué)中的地位以及正態(tài)分布的發(fā)展歷史來看,本節(jié)內(nèi)容包含了巨大的應(yīng)用價值與文化價值。因此,筆者認(rèn)為本節(jié)課定位于數(shù)學(xué)文化課與研究課比較適宜。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對正態(tài)分布相關(guān)知識的學(xué)習(xí)與課后研究,了解正態(tài)分布的發(fā)展歷程,認(rèn)識統(tǒng)計學(xué)的重要性及其廣泛的應(yīng)用,體會數(shù)學(xué)的博大精深與數(shù)學(xué)的美,培養(yǎng)學(xué)生的研究能力,提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。
1.對此引入方式
筆者綜合了各版本教材“正態(tài)分布”這部分內(nèi)容的引入方式,發(fā)現(xiàn)大體可以分成兩種。第一種是從具體實(shí)例出發(fā),描述誤差數(shù)據(jù)的分布引入,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識誤差隨機(jī)變量的取值無法一一列舉;第二種是借助計算機(jī)模擬,以高爾頓釘板的演示引入,在問題的引導(dǎo)下,學(xué)生利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識進(jìn)行數(shù)據(jù)處理——從頻率分布直方圖到頻率分布折線圖再到總體密度曲線引出正態(tài)分布的密度曲線,從離散型到連續(xù)型過渡,使學(xué)生歷經(jīng)形成對正態(tài)分布最直觀最初步的認(rèn)識。
無論哪種引入方式,都突出了對數(shù)據(jù)的分析與處理,其目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。兩種引入方式對數(shù)據(jù)分析從育人的價值上做了引領(lǐng),并將其落實(shí)到三個方面:一是提升學(xué)生主動獲取信息、定量分析的意識和能力;二是形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識事物的思維品質(zhì);三是積累基于數(shù)據(jù)的活動經(jīng)驗(yàn)。
2.優(yōu)化內(nèi)容生成
本節(jié)課的內(nèi)容主要分為兩個部分,第一部分是正態(tài)分布概念的形成,第二部分是正態(tài)曲線的性質(zhì)探究及應(yīng)用。對于第二部分,從正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式出發(fā),結(jié)合數(shù)學(xué)軟件等工具,學(xué)生不難獲得正態(tài)曲線的特點(diǎn)并能利用3σ原則解決相關(guān)問題。
的獲得,這一層面恰恰是學(xué)生感到最為困惑的。如何讓學(xué)生更清晰、準(zhǔn)確地理解正態(tài)分布的概念,筆者認(rèn)為可以嘗試以下三個步驟的教學(xué)。
第一,演示高爾頓釘板試驗(yàn),借助數(shù)據(jù)分析作圖首先可以使學(xué)生得到第一層面中對“鐘形曲線”的認(rèn)識;再通過分析高爾頓釘板試驗(yàn)結(jié)果以及其他實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生得到第二個層面中對“眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和”的理解,并從實(shí)例中數(shù)據(jù)的均值與離散程度明確均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ是正態(tài)分布中最重要的兩個參數(shù),為第三個層面的突破做準(zhǔn)備。
第二,結(jié)合正態(tài)曲線圖象在x軸上方以及其對稱性引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想密度函數(shù)解析式的大致形式。
3.感悟數(shù)學(xué)之美
高中數(shù)學(xué)教師用書上建議本節(jié)課以一課時完成,在一個課時內(nèi)完成這樣的教學(xué)任務(wù),使得學(xué)生既掌握正態(tài)分布的相關(guān)知識又能感受到其中所蘊(yùn)含的豐富文化歷史背景還是比較困難的。如何利用好這節(jié)課的文化價值?筆者認(rèn)為可以布置研究性學(xué)習(xí)的任務(wù),先讓學(xué)生搜集正態(tài)分布的起源、發(fā)展、應(yīng)用等相關(guān)數(shù)學(xué)素材,再分組合作寫成研究報告,最后選擇一些出色的小組在課堂上給全班同學(xué)做展示。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分,高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡數(shù)學(xué)的文化價值。筆者認(rèn)為這節(jié)課的價值在高考之外,教師認(rèn)真對待這節(jié)課,可以開拓學(xué)生的視野,對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著很多益處,同時也可促進(jìn)教師自身的專業(yè)發(fā)展。