劉國(guó)強(qiáng) 劉 婧

電磁互易定理一般形式

劉國(guó)強(qiáng)1,2劉 婧1,2

（1. 中國(guó)科學(xué)院電工研究所 北京 100190 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信工程學(xué)院 北京 100049）

現(xiàn)有互易定理對(duì)電磁場(chǎng)相互作用關(guān)系的描述是彼此獨(dú)立的，該文利用四元數(shù)理論推導(dǎo)出了電磁互易定理的能動(dòng)量時(shí)空統(tǒng)一形式，該形式中的實(shí)標(biāo)部、虛標(biāo)部、實(shí)矢部和虛矢部分別對(duì)應(yīng)經(jīng)典電磁互易定理即洛倫茲互易定理、Feld-Tai互易定理和新發(fā)現(xiàn)的兩組動(dòng)量互易定理。

互易定理 洛倫茲互易定理 Feld-Tai互易定理 動(dòng)量互易定理

0 引言

自1896年洛倫茲提出洛倫茲互易定理[1]以來(lái)，一些新的電磁互易定理陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，包括頻率域和時(shí)間域的互易定理。單就時(shí)諧場(chǎng)頻率域互易定理而言，主要有Feld-Tai互易定理[2-3]、動(dòng)量互易定理[4-6]和另一組動(dòng)量互易定理[6]。通過(guò)分析洛倫茲互易定理、動(dòng)量互易定理等可知，互易積分方程中的體積分項(xiàng)通常被寫成兩部分，一部分表示場(chǎng)源的“反應(yīng)”關(guān)系，另一部分是某種“流密度”物理量（如能流密度、動(dòng)量流密度等）的散度形式。通過(guò)高斯散度定理，散度的體積分項(xiàng)可化成面積分項(xiàng)。當(dāng)兩種源處于同一體積內(nèi)或同一體積外，這個(gè)面積分項(xiàng)就可以消去，使得公式非常簡(jiǎn)潔，便于應(yīng)用。目前，各個(gè)電磁場(chǎng)互易定理被認(rèn)為是彼此獨(dú)立的方程，本文旨在通過(guò)一種理論框架將上述各定理統(tǒng)一起來(lái)。

在《電磁通論》中，麥克斯韋使用了四元數(shù)，并將之用于電磁場(chǎng)方程。后來(lái)四元數(shù)理論成為矢量運(yùn)算和矢量分析的前身?，F(xiàn)在用四元數(shù)處理電磁場(chǎng)問(wèn)題已不多見(jiàn)，盡管如此，根據(jù)狹義相對(duì)論，電磁場(chǎng)和源均是時(shí)空中的四物理量，四元數(shù)電磁場(chǎng)方程的實(shí)標(biāo)部、虛標(biāo)部、實(shí)矢部和虛矢部四個(gè)分量分別對(duì)應(yīng)高斯電通定律、高斯磁通定律、安培定律與法拉第電磁感應(yīng)定律?？梢酝茰y(cè)，利用四元數(shù)電磁場(chǎng)方程可以獲得電磁互易定理方程，這個(gè)方程應(yīng)該可以囊括現(xiàn)有的各種互易方程。

本文從四元數(shù)理論出發(fā)，推導(dǎo)了四電磁互易定理的一般形式，從中取出實(shí)標(biāo)部、虛標(biāo)部、實(shí)矢部和虛矢部各分量，分別對(duì)應(yīng)了洛倫茲互易定理、Feld-Tai互易定理、兩組動(dòng)量互易定理。

1 四元數(shù)預(yù)備知識(shí)

1.1 四元數(shù)運(yùn)算

式中，任意兩個(gè)虛數(shù)單位相乘，滿足

1.2 四元數(shù)電磁場(chǎng)

四電磁源的體密度為

真空四電磁場(chǎng)為

式中，為磁場(chǎng)強(qiáng)度；為電場(chǎng)強(qiáng)度。

四梯度算子為

對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，為

對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，為

真空中四電磁場(chǎng)方程為

2 四元數(shù)電磁場(chǎng)互易定理

式（13）和式（14）兩式相減，有

將式（15）的左端兩項(xiàng)分別展開，有

式（16）和式（17）相減，并應(yīng)用附錄恒等式

則有

由于

因此有

聯(lián)合式（15）和式（21），有

將式（22）的右端項(xiàng)改寫為

由式（9），則有

式（24）就是真空中四電磁互易定理的一般形式。為了看清楚它的“真面目”，將式（22）的右端項(xiàng)展開，于是式（22）化為

將四電磁場(chǎng)、四電磁源代入式（25），進(jìn)一步展開式中各項(xiàng)，有

將式（26）～式（30）代入式（25），按實(shí)標(biāo)部、虛標(biāo)部、實(shí)矢部和虛矢部整理，則有

式（35）～式（38）中四個(gè)公式分別對(duì)應(yīng)Feld-Tai互易定理、洛倫茲互易定理、動(dòng)量互易定理和另一組動(dòng)量互易定理。若對(duì)式（35）～式（38）各項(xiàng)作體積分，并利用高斯散度定理，各等式左端項(xiàng)化為面積分。可以證明，當(dāng)兩組源在同一體積內(nèi)或同一體積外，面積分為零，公式非常簡(jiǎn)潔易用。

互易定理是工程電磁的理論分析和實(shí)際應(yīng)用的有用工具[8]。例如，它可以用于惠更斯原理的導(dǎo)出[9]；為論證波導(dǎo)元件和天線的互易性提供了基礎(chǔ)；常用于確定波導(dǎo)和空腔諧振器中波型間的正交性；也可作為電容層析成像[10]、熱聲成像[11]、磁聲電成像[13]、磁聲成像等多種圖像重建方法的理論支撐。

3 結(jié)論

本文利用四元數(shù)理論，導(dǎo)出了電磁互易定理的能動(dòng)量統(tǒng)一形式，反映了電磁場(chǎng)各個(gè)互易定理之間的時(shí)空統(tǒng)一聯(lián)系。

附 錄

證明：

矢量恒等式

式（A2）和式（A3）兩式相加有

另有

于是有

由式（A4）和式（A5），可得式（A1）。

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A General Form of the Electromagnetic Reciprocity Theorems

Liu Guoqiang1,2Liu Jing1,2

（1. Institute of Electrical Engineering Chinese Academy of Sciences Beijing 100190 China 2. School of Electronic, Electrical and Communication Engineering University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100049 China）

The existing reciprocity theorems describe the electromagnetic field interaction relationships independently of each other.In this paper, a general form of electromagnetic reciprocity theorem is derived by using quaternion theoretical framework. The real scalar part, imaginary scalar part, real and imaginary sagittal part of this form correspond to the classical electromagnetic reciprocity theorem, i.e. the Lorentz reciprocity theorems, the Feld-Tai reciprocity theorem and two newly discovered momentum reciprocity theorems respectively.

Reciprocity theorems, the Lorentz reciprocity theorem, the Feld-Tai reciprocity theorem, momentum reciprocity theorems

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211590

TM93

劉國(guó)強(qiáng) 男，1971年生，研究員，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論與多物理場(chǎng)耦合成像。E-mail：gqliu@mail.iee.ac.cn（通信作者）

劉 婧 女，1990年生，副研究員，研究方向?yàn)殡姶艡z測(cè)與成像。E-mail：liujing@mail.iee.ac.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（51937010）和國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51907191）資助。.

2021-09-29

2021-11-25

（編輯 郭麗軍）