張 帆，周 偉

（中國石油大學（華東）體育教學部，山東青島 266580）

1 引言

乒乓球運動在我國是國球，是一種較為普及的運動，多數(shù)人民喜歡乒乓球運動，但是由于水平不同，難以找到合適的對手[1]。

一些專業(yè)隊和國家隊為了訓練運動員都會購置乒乓發(fā)球機器人，乒乓發(fā)球機器人可以模擬專業(yè)運動員發(fā)出速度、旋轉和落點都不同的球，并根據(jù)運動員的水平在運動過程中對發(fā)球策略進行調整，可以達到訓練運動員的目的[2]。

但乒乓發(fā)球機器人在運行過程中容易產(chǎn)生振動，影響發(fā)球效果，因此，需要對乒乓發(fā)球機器人進行振動控制，提高訓練效果。

文獻[3]結合時域分析方法和傅里葉頻譜分析方法對機器人的模態(tài)參數(shù)進行估計，根據(jù)估計結果設計控制器，通過控制器分析振動幅值對機器人運動產(chǎn)生的影響，在此基礎上實現(xiàn)機器人的振動控制，該方法沒有分析機器人的運動過程，控制后機器人還存在振動現(xiàn)象，存在控制效果差的問題。

文獻[4]用非線性最優(yōu)控制問題代替機器人振動控制問題，構建機器人關節(jié)模型，通過擴張狀態(tài)觀測器對其進行線性化處理，根據(jù)處理結果設計機器人最優(yōu)控制率，完成控制，該方法在振動控制過程中對關節(jié)角的控制精度較低，存在控制效果較差的問題。文獻[5]分析外部干擾、有效荷載變化和間隙等不確定因素對機器人運動產(chǎn)生的影響，在此基礎上建立魯棒控制器，利用該控制器完成機器人的振動控制，該方法控制機器人所用的時間較長，存在控制效率低的問題。文獻[6]提出一種新型傾斜螺旋槳式乒乓球機器人運動的設計，通過創(chuàng)新的四旋翼結合了傾斜螺旋槳和狀態(tài)依賴的迭代線性二次控制，達到控制效果，但是該方法由于追求多方面發(fā)展，導致發(fā)球過程的抗干擾能力較差。

針對上述乒乓發(fā)球機器人存在的問題，這里提出基于動力學分析的乒乓發(fā)球機器人振動控制方法，與上述學者考慮的角度不同，本文從動力學出發(fā)，構建機器人動力學模型，得到相關動力參數(shù)之間的關系，根據(jù)動力參數(shù)的關系構建振動控制系統(tǒng)，達到控制振動的最佳效果，以此解決乒乓發(fā)球機器人在運動過程中產(chǎn)生的振動現(xiàn)象，提高系統(tǒng)控制效果。

2 乒乓發(fā)球機器人動力學分析

將機器人的運動行為進行量化處理，以便從動力學的角度分析機器人的振動現(xiàn)象。構建O?XY坐標系，在坐標系內分析機器人的動力學參數(shù)的關系。通過機器人的工作原理和實際經(jīng)驗得出振動現(xiàn)象和乒乓發(fā)球機器人主動臂與從動臂角加速度、角速度和角度有關，因此，分析其具體的關系，這里建立乒乓發(fā)球機器人動力學模型，如圖1所示。

圖1 機器人動力學模型Fig.1 Robot Dynamics Model

不考慮軸向變形，乒乓發(fā)球機器人從動臂在運動過程中只存在彎曲變形，乒乓發(fā)球機器人動力學分析與振動控制方法通過假設模態(tài)法對彎曲變形進行模擬，用r描述從動臂中存在的任意一點在慣性坐標系O?XY中對應的位置坐標，其表達式如下：

式中：Ω—坐標變換矩陣；w—局部坐標系C?xy下該點對應的彈性變形，可通過下式計算得到：

式中：N—是振型數(shù)量；t—時間；qi(t)—第i個振型在運動過程中對應的模態(tài)坐標；ψi(x)—第i個振型函數(shù)；乒乓發(fā)球機器人的從動臂在運動過程中可以簡化為簡支梁，此時存在ψi(x)=sin(iπ/l2)。用描述該點的速度，可通過求導式（1）獲得：

針對端點A、B用I1、I2描述乒乓發(fā)球機器人兩個主動臂的轉動慣量，用T1、T2描述主動臂對應的動能，可通過下式計算得到：

設U1代表的是乒乓發(fā)球機器人從動臂在運動過程中產(chǎn)生的彈性勢能，其表達式如下：

在λ的基礎上建立微分方程組：

通過上述分析，構建乒乓發(fā)球機器人的廣義坐標約束方程：

在上述約束方程的基礎上獲得乒乓發(fā)球機器人主動臂與從動臂角加速度、角速度和角度之間存在的關系：

至此分析得到乒乓發(fā)球機器人的動力參數(shù)的關系，后文根據(jù)關系方程組，可以設計振動控制系統(tǒng)，進而控制振動效果。

3 振動控制

上述內容已經(jīng)分析出乒乓發(fā)球機器人的動力學關系，如果直接對動力學參數(shù)進行控制、調節(jié)，機器人的振動現(xiàn)象的控制效果不佳，因此，為進一步提高控制效果，降低干擾，根據(jù)分析結果構建系統(tǒng)的狀態(tài)空間：

式中：A(t)—乒乓發(fā)球機器人系統(tǒng)矩陣；x(t)—狀態(tài)向量；B(t)—乒乓發(fā)球機器人的控制矩陣；u(t)—乒乓發(fā)球機器人的控制向量；y(t)—乒乓發(fā)球機器人的輸出向量；C(t)—輸出矩陣。

設置二次型性能指標函數(shù)J，可通過下式計算得到：

式中：[t0,tf]—時間間隔；e(t)—誤差量；Q(t)—半正定對稱的時變矩陣；R(t)—正定對稱的時變矩陣。

乒乓發(fā)球機器人振動控制問題可以描述為：在受到外界干擾情況下導致乒乓發(fā)球機器人偏離平衡狀態(tài)時，為了使機器人系統(tǒng)狀態(tài)x(t)恢復到平衡狀態(tài)，需要引入控制向量，最小化性能指標函數(shù)。

當性能指標函數(shù)在終端時間tf限制存在極小值的最優(yōu)控制u*(t)時，此時滿足上述要求的必要條件可通過下式進行描述：

式中：P(t)—對稱非負定矩陣，此時最優(yōu)性能指標轉變?yōu)橄率剑?/p>

上式中的P(t)通常情況下符合Riccati矩陣微分方程[9?10]：

上述方程的終端邊界條件可以表示為P(tf)=F，通過求解下述微分方程，獲得最優(yōu)曲線x*(t)：

乒乓發(fā)球機器人的狀態(tài)空間可通過下式進行描述：

式中：u(t)—輸入量，即機器人系統(tǒng)的控制電壓；y—乒乓發(fā)球機器人的振動位移，即系統(tǒng)的輸出量。

乒乓發(fā)球機器人的平衡狀態(tài)通常情況下是穩(wěn)定的[11]，因此可忽略終端積分項，測試性能指標函數(shù)為：

乒乓發(fā)球機器人的振動控制屬于最優(yōu)控制問題，因此將控制電壓作為最優(yōu)輸入量，最小化二次性能指標函數(shù)：

式中：G—狀態(tài)反饋增益矩陣；P—滿足Riccati方程的常數(shù)矩陣。此時獲得的乒乓發(fā)球機器最優(yōu)曲線x(t)如下：

利用最優(yōu)曲線構建最優(yōu)控制器，完成乒乓發(fā)球機器人的振動控制，最優(yōu)控制器結構，如圖2所示。

圖2 控制器結構Fig.2 Controller Structure

4 實驗與結果

為了驗證這里方法的有效性和先進性，進行測試實驗。實驗研究對象乒乓發(fā)球機器人，如圖3所示。

該測試采用仿真模擬的方式，利用Simulink工具完成測試對象的振動位移等，其屬于MATLAB 軟件平臺。實驗指標設定動態(tài)性能測試的方法。首先確定乒乓發(fā)球機器人的振動響應（設定條件為轉速為90rad/s，轉角為90°），如圖4所示。

圖4為未使用任何方法的振動效果圖，以此為分析對比的基礎，進行振動實驗，通過振動產(chǎn)生的位移大小，對實驗進行評定，將通過這里方法進行控制的振動位移與文獻[3]方法和文獻[4]方法的振動位移進行對比分析，并且將振動位移之間差異作為實驗結果輸出，以此完成實驗實施過程。為確保這里方法具備更高的穩(wěn)定性，在本次實驗中增加機器人運動時，電壓波動的對比分析，分析不同控制方法的穩(wěn)定性能。采用這里方法、文獻[3]方法和文獻[4]方法對上述振動進行控制，振動控制結果，如圖5所示。

圖4 乒乓發(fā)球機器人振動響應Fig.4 Vibration Response of Ping?Pong Serving Robo

圖5 振動控制結果Fig.5 Vibration Control Results

分析圖5可知，采用文獻[3]方法和文獻[4]方法對機器人進行振動控制后，振動位移有所減小，但振動幅度還是較大，采用本文方法對機器人進行振動控制后，振動幅度明顯變小，且在6s后振動基本為0。通過上述分析可知，這里方法可有效地實現(xiàn)乒乓機發(fā)球機器人的振動控制，因為這里方法對乒乓發(fā)球機器人的動力學進行了分析，在此基礎上，設計控制器實現(xiàn)乒乓發(fā)球機器人的振動控制，提高了方法的控制效果。

采用所提方法、文獻[3]方法和文獻[4]方法對乒乓發(fā)球機器人進行振動控制，乒乓發(fā)球機器人的振動情況，如圖6所示。三種方法的電壓控制結果，如圖7所示。

圖6 電壓波動情況Fig.6 Voltage Fluctuations

分析圖7 可知，采用所提方法對乒乓發(fā)球機器人進行控制時，在4s時就能使電壓保持平穩(wěn)，不再發(fā)生變化，采用文獻[3]方法和文獻[4]方法對乒乓發(fā)球機器人進行控制時，將電壓保持平穩(wěn)的時間點分別為8s和7s，對上述方法的測試結果進行對比發(fā)現(xiàn)，所提方法可在短時間內實現(xiàn)乒乓發(fā)球機器人的控制，驗證了所提方法具有較高的控制效率。

圖7 電壓控制結果Fig.7 Voltage Control Results

采用上述方法對乒乓發(fā)球機器人的關節(jié)角進行控制，對比不同方法的控制結果與期望結果，根據(jù)對比結果驗證方法的控制性能，關節(jié)角控制結果，如圖8所示。

圖8 關節(jié)角控制結果Fig.8 Joint Angle Control Results

由圖8可知，采用所提方法對乒乓發(fā)球機器人的關節(jié)角進行控制時，獲得的控制軌跡與期望軌跡基本相符，采用文獻[3]方法對乒乓發(fā)球機器人的關節(jié)角進行控制時，獲得的控制結果與期望軌跡相比偏大，采用文獻[4]方法對乒乓發(fā)球機器人的關節(jié)角進行控制時，獲得的控制結果與期望軌跡相比偏小，綜上所屬所提方法具有良好的控制性能。

5 結束語

乒乓發(fā)球機器人屬于智能系統(tǒng)，包含視覺伺服、智能控制、機械系統(tǒng)、傳感器技術和嵌入式控制等技術，乒乓球運動在我國非常普及，在生活服務方面和實踐教學方面乒乓發(fā)球機器人可以產(chǎn)生良好的社會效應，乒乓發(fā)球機器人的振動情況直接影響著運動員的訓練效果。目前乒乓發(fā)球機器人振動控制方法存在控制效果差和控制效率低的問題，提出乒乓發(fā)球機器人動力學分析與振動控制方法，首先分析了乒乓發(fā)球機器人的運動學理論，在此基礎上對其振動進行控制，解決了傳統(tǒng)方法中存在的問題，可提高訓練效果。