李小虎，王 軍,2

(1.蘇州科技大學，江蘇 蘇州 215009; 2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

0 引 言

隨著電氣時代的到來，對耐用可靠的儲能裝置的性能研究尤為重要，鋰離子電池由于安全環(huán)保等優(yōu)點得到了廣泛應用。荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)估算成為電池管理系統(battery management system，BMS)的首要任務。準確估計鋰電池的荷電狀態(tài)對于預測電池的剩余電量、防止電池組過充過放以確保電池系統的安全具有重要意義[1]。

常用的SOC估計方法主要包括3類：直接測量法（開路電壓法[2]、安時積分法[3]等），模型法（擴展卡爾曼濾波法(extended Kalman filter, EKF)[4]、無跡卡爾曼濾波法(unscented Kalman filter, UKF)[5]等），數據驅動法（神經網絡法[6]等）。上述方法均有不足，開路電壓法通過測量開路電壓與SOC的關系，可以獲得SOC的估計值，但這種方法需要電池保持靜置，無法滿足實際工況。安時積分法由于無法知道SOC的初始值和電流傳感器的測量誤差，導致迭代誤差越來越大。擴展卡爾曼濾波在用泰勒級數展開線性化非線性函數時忽略了高階項，在估算時會產生誤差積累。UKF采用統計線性化方法，利用無跡變換重構采樣點，避免了使用雅可比矩陣帶來的線性化誤差。與EKF相比，它能有效提高估計精度，但計算不穩(wěn)定，且不能保證狀態(tài)協方差的半正定性而導致計算結果發(fā)散。神經網絡方法不需要了解電池的內部結構，它可以通過電池的電壓、電流等外部數據來估計電池的SOC，但需要大量的數據來學習，對數據的精度要求更高。

針對以上算法的不足，許多學者研究了不同的優(yōu)化策略來提高鋰電池SOC的估算精度。吳從秀等[7]提出了一種安時-開路電壓法，通過對不同環(huán)境下的實驗數據進行優(yōu)化擬合，提高估算精度。董祥祥等[8]將改進的Sage-Husa算法與傳統無跡算法結合，在迭代過程中對系統噪聲特性進行估計和修正，從而提高 SOC 估計精度。章軍輝等[9]研究了一種基于平方根的無跡卡爾曼濾波算法，解決了傳統算法在計算過程中，由于計算誤差的積累引起濾波發(fā)散的問題。陳萬等[10]將無跡卡爾曼濾波與粒子濾波結合，提出了一種隨機擾動無跡粒子濾波算法，將預測結果的絕對誤差減小了17個周期。

本文建立了鋰電池的二階戴維寧模型，并用FFRLS算法在線辨識模型相關參數。將改進的基于奇異值分解(singular value decomposition ,SVD)的無跡卡爾曼濾波用于電池荷電狀態(tài)估計，確保即使狀態(tài)協方差矩陣出現非正定時UKF算法仍然有效。并通過實驗驗證了改進算法的可行性。

1 鋰電池模型及參數辨識

1.1 SOC的定義

SOC是電池剩余電荷量與額定電荷量的比值[11]，表達式如下：

式中：s(0)——初始狀態(tài)下SOC的值；

Q——鋰電池容量；

η——庫倫效率，通常取 η=1；

I(t)——放電電流。

1.2 鋰電池等效模型

估算電池荷電狀態(tài)的前提是建立電池的等效模型。模型的建立主要從電池的內部的動態(tài)環(huán)境、實驗的可行性以及參數辨識的復雜程度3個方面考慮。主要的等效電路模型有RC網絡模型、戴維寧模型和PNGV模型。RC模型和PNGV模型提高了模型的精度，但也增加了參數識別的復雜度。戴維寧模型簡單，能很好地反映電池的動態(tài)特性。綜合考慮后，本文采用了二階RC戴維寧模型，如圖1所示。

圖1 二階戴維寧模型

其中Uoc為電池的開路電壓，R1、R2為極化電阻，C1、C2為極化電容，U0為電池輸出電壓。模型的狀態(tài)方程可表示為：

式中： Δt——采樣周期；

τ1、τ2——RC電路的兩個時間常量。

τ1=R1C1，τ2=R2C2，電池的SOC通過(1)式獲得，系統噪聲和觀測噪聲 ωk，υk的均值為0，方差為Qk、Rk。

1.3 基于FFRLS的參數辨識

為了提高模型的估算精度，需要精確地對模型參數進行辨識。本文采用FFRLS算法在線辨識電池模型參數。FFRLS算法基于最小二乘法(recursive least square, RLS)，通過選擇合適的參數，使觀測值與計算值之差的二次和最小。但是這種算法在參數計算之前需要得到所有的觀測數據。為了實時識別參數，對最小二乘法進行了改進，得到了遞歸最小二乘法。在時變系統中，隨著遞歸步驟數量的增加，數據也會增加。RLS算法經常會經歷數據飽和，導致累積誤差不斷增大。為了提高RLS算法的精度，引入遺忘因子來克服數據飽和的缺點。其具體過程為：

式中：μ (k)、H(k)——k時刻的輸入、輸出；

θ——要辨識的參數向量；

e(k)——均值為0的噪聲。

FFRLS算法的遞歸公式為

式中：K(k)——最小二乘增益；

P(k)——協方差矩陣；

λ——遺忘因子，本文 λ取0.97。

1.4 模型參數識別

本文將電流I作為輸入，端電壓與開路電壓的差作為輸出H。對電路進行拉氏變換：

將(9)式代入(8)式，轉化為差分方程：

本文的采樣時間間隔為1 s，因此電池模型的參數為：

通過(12)式可在線辨識二階RC模型的各個參數，辨識結果如圖2所示。由圖可知，模型各個參數在初始狀態(tài)會發(fā)生較大波動，這是由于參數設定值與實際值差距較大，算法處于調整狀態(tài)。由于引入FFRLS算法，經過一段時間的辨識后，各個參數能夠快速收斂并穩(wěn)定。將辨識參數結果代入電池的狀態(tài)方程，采用不同算法進行SOC的估算。

圖2 FFRLS參數在線辨識結果

2 基于AUKF的SOC估算

2.1 UKF算法

與EKF算法相比，UKF根據對稱采樣規(guī)則，利用無跡變換得到一組不同權重的Sigma點來逼近高斯分布狀態(tài)的概率密度函數。這些采樣點反映了系統變換狀態(tài)的概率密度分布。UKF避免了求逆矩陣的過程，提高了估計精度，減少了計算時間。非線性系統的狀態(tài)方程和測量方程為：

UKF算法具體過程如下：

2)獲取2n+1個Sigma采樣點：

3)計算這些采樣點相應的權值：

其 中，ωc,ωm分別表示均值和協方差；λ=α2(n+κ)-n。β是用于包含隨機變量的先驗信息，通常取 β=2；α決定了采樣點的分布狀態(tài)，通常取 α=1，κ為可調參數，通常取 κ=0。

4)時間更新，計算k時刻系統的狀態(tài)均值和協方差：

5)測量變量更新：

6)誤差協方差與卡爾曼增益更新：

7)系統狀態(tài)和協方差更新：

將電池模型的狀態(tài)方程(2)式代入(13)式，完成上述估算步驟之后，可以得到UKF下k時刻的SOC估算值。

2.2 SVD-UKF算法

UKF算法的第一步是在前一時刻對狀態(tài)變量執(zhí)行無跡變換，其中核心步驟是得到協方差矩陣P的平方根。計算矩陣平方根的常用方法是Cholesky變換，但這種方法只在矩陣為半正定條件下有效。在實際工況下，協方差矩陣P可能因為未知噪聲和計算誤差而出現非正定，從而導致算法發(fā)散。

為了提高算法的精確度，本文采用一種基于奇異值分解的改進無跡卡爾曼濾波器，奇異值分解是一種常用的矩陣分解方法。具體過程為：

其中P∈ Rm·n，U∈ Rm·n，V∈ Rm·n，VT∈ Rm·n，S為對角矩陣：

矩 陣H=diag(a1,a2,···,ar)，a1,a2,···,ar均為正數，當矩陣P是一個對稱正定矩陣時，矩陣V和U相等，并成為以下形式：

根據上述公式，將(15)式改為如下：

Cholesky分解變換為奇異值分解后，當矩陣P不是半正定時，無跡變換依然可以正常進行，保證了整個迭代過程的連續(xù)，提高了算法的穩(wěn)定性。

3 實驗分析

3.1 開路電壓與SOC

本文以標稱容量為3.2 Ah的磷酸鐵鋰電池為研究對象。具體參數如表1所示。

表1 鋰電池參數

在室溫環(huán)境下，用文獻[12]所提出的HPPC實驗測量電池的開路電壓，將測量結果導入Matlab，關聯相應測量點的SOC，將開路電壓與SOC進行曲線擬合。得到開路電壓與SOC的關系，如圖3所示。

圖3 Uoc-SOC曲線

3.2 SOC精度實驗

考慮到鋰電池在實際應用中工況的復雜性，為了精確地驗證算法的有效性，本文采用動態(tài)壓力測試(dynamic stress test, DST)進行SOC估算。在模擬工況下對電池進行放電實驗，采樣周期1 s。DST工況下鋰電池實測響應電壓U和輸入電流I如圖4、圖5所示。圖5正電流表示充電，負電流表示放電。

圖4 DST下響應電壓值

圖5 DST下輸入電流值

將1.4節(jié)在線辨識結果代入UKF和SVD-UKF算法，同時初始化SOC模型的相關參數：SOC初始值為0.99，初始協方差矩陣P0=10-3E3×3，過程噪聲協方差Qk=10-6E3×3，測量噪聲協方差R0=0.000 1。通過實驗獲得兩種算法對SOC的估算結果，如圖6～圖7所示。

圖6 SOC曲線

圖7 絕對誤差曲線

由圖6可以看出，在DST工況下，兩種算法均產生較大誤差，兩種算法的變化趨勢基本相同，但UKF變化的幅度更大。由于UKF算法不能保證矩陣P半正定，使得濾波結果發(fā)散，進而導致算法運行一段時間后會產生較大的誤差峰值。由圖7可知，UKF的絕對誤差范圍在0～14%之間波動，而SVDUKF誤差在0～7%之間波動。在整個估算過程中，SVD-UKF的精度更高，收斂速度快，而UKF精度較低且有發(fā)散的趨勢。

為了更加直觀地比較兩種算法的估算性能，本文使用最大絕對誤差(maximum absolute error，MAE)、平均絕對誤差(average absolute error，AAE)以及均方根誤差( root-mean square error，RMSE)對兩種算法進行評估。三者的數值越小，意味著算法的估算精度越高。MAE、AAE、RMSE的計算方法如下：

其中i為估算時間，Si為SOC真實值，i為SOC估算值，N=20 000。

DST工況下，兩種算法的 MAE、AAE以及RMSE的對比如表2所示。

表2 UKF,SVD-UKF算法MAE、AAE、RMSE對比

由表可知，SVD-UKF的估算性能明顯優(yōu)于UKF。與UKF相比，SVD-UKF的最大絕對誤差降低了7.79%，平均絕對誤差降低了3.29%，均方根誤差降低了3.78%。

4 結束語

本文針對傳統UKF估算鋰電池SOC存在的精度低、計算穩(wěn)定性差的問題，在二階戴維寧模型的基礎上，將帶遺忘因子的最小二乘法運用到模型參數辨識中，提高了模型的精度。將SVD-UKF用于電池荷電狀態(tài)的估計，在保證UKF估算精度的同時，使得協方差矩陣P在非正定時依然可以分解，理論上保證了計算的穩(wěn)定性。通過動態(tài)工況實驗可知，SVD-UKF的 AAE降低 3.29%，RMSE降低3.78%。實驗表明，該方法比傳統UKF方法具有更高的估計精度，滿足實際精度要求。