趙 斌，陳 磊，歐靜寧，王 東，于光昊

（蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070）

軌道電路作為自動(dòng)、連續(xù)監(jiān)測(cè)線路占用情況的基礎(chǔ)設(shè)備，具有調(diào)整、分路、斷軌3 種工作狀態(tài)，當(dāng)有列車占用軌道區(qū)段時(shí)軌道電路的工作狀態(tài)須對(duì)應(yīng)準(zhǔn)確顯示。然而，分路不良現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，嚴(yán)重時(shí)會(huì)危及行車安全。近年來，利用軌道電路的暫態(tài)響應(yīng)判別工作狀態(tài)的變化成為研究的課題，因此，準(zhǔn)確分析軌道電路的暫態(tài)響應(yīng)尤為重要［1］。

目前，針對(duì)軌道電路暫態(tài)響應(yīng)的研究，主要基于時(shí)域有限差分法計(jì)算接收端軌面電壓。時(shí)域有限差分法，是用中心差商代替場(chǎng)量對(duì)時(shí)間和空間的1階偏微商，通過在時(shí)域內(nèi)的遞推和迭代得到計(jì)算結(jié)果［2］。由于ZPW-2000A 軌道電路模型中存在補(bǔ)償電容、調(diào)諧單元等集總參數(shù)元件，不能直接利用時(shí)域有限差分法計(jì)算接收端軌面電壓，需要將軌道電路模型分為傳輸線和集總參數(shù)元件2 個(gè)部分單獨(dú)迭代計(jì)算，計(jì)算過程復(fù)雜［3］。另外，考慮高頻損耗時(shí)，采用時(shí)域有限差分法時(shí)需要利用矢量匹配法對(duì)參數(shù)進(jìn)行擬合，根據(jù)得到的極點(diǎn)、留數(shù)和常數(shù)項(xiàng)推導(dǎo)軌道電路的有理近似函數(shù)，再基于分段線性遞歸卷積推導(dǎo)軌道電路兩端的電壓和電流關(guān)系，結(jié)合離散方程最終得到軌道電路接收端軌面電壓［4］，推導(dǎo)過程復(fù)雜，且計(jì)算難度大。

本文采用傅里葉變換結(jié)合Q-D 算法分析高頻損耗下的ZPW-2000A 軌道電路暫態(tài)響應(yīng)。根據(jù)ZPW-2000A 軌道電路模型及傳輸線理論，建立包含傳輸線與集總參數(shù)元件2 部分的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納時(shí)域方程，利用拉普拉斯變換將時(shí)域方程變換到復(fù)頻域，在復(fù)頻域內(nèi)直接考慮高頻損耗，經(jīng)變換解耦得到接收端軌面電壓復(fù)頻域解；最后，利用傅里葉變換結(jié)合Q-D 算法求得數(shù)值時(shí)域解，進(jìn)而分析ZPW-2000A軌道電路暫態(tài)響應(yīng)。

1 考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓求解方法

1.1 軌道電路模型

ZPW-2000A 軌道電路由鋼軌及補(bǔ)償電容、調(diào)諧單元、空心線圈等集總參數(shù)元件構(gòu)成。其中，補(bǔ)償電容讓傳輸通道趨于阻性，保證軌道電路具有良好的傳輸性能，增加信息在軌道電路上的傳輸距離；調(diào)諧單元和空心線圈構(gòu)成電氣絕緣節(jié)，實(shí)現(xiàn)相鄰區(qū)段的電氣隔離和信號(hào)傳輸［5］。根據(jù)軌道電路傳輸特性，將鋼軌等效為均勻有損傳輸線［6］，按照標(biāo)準(zhǔn)TB/T 3206—2017《ZPW-2000 軌道電路技術(shù)條件》，設(shè)定傳輸線總長(zhǎng)度為1 km，建立軌道電路模型如圖1 所示。圖中：L1和L2為調(diào)諧單元的電感；C1，C2和C3為調(diào)諧單元的電容；R1，R2和R3為調(diào)諧單元的電阻［7］；Rg和Lg分別為鋼軌的電阻和電感；Rs和Ls分別為空心線圈的電阻和電感；Rt和Lt為鋼軌引接線的電阻和電感；Cb為補(bǔ)償電容，電路中只配置了2 個(gè)補(bǔ)償電容，實(shí)際應(yīng)用時(shí)配置的補(bǔ)償電容數(shù)量一般大于2 個(gè)，因?yàn)槎鄠€(gè)補(bǔ)償電容的建模方法和圖1中類似，為了增加可讀性進(jìn)行省略；Rf為分路電阻；MTL 為多導(dǎo)體傳輸線（Multiconductor Transmission Line，MTL）；l為MTL2 的長(zhǎng)度；鋼軌1 為信號(hào)源所加鋼軌，則另一條鋼軌為鋼軌2。

圖1 軌道電路模型

圖1 中，MTL 部分是由多個(gè)完整的單位長(zhǎng)度等值電路構(gòu)成，單位長(zhǎng)度傳輸線等值電路如圖2 所示。圖中：Rnn，Lnn，Cnn(n=1，2)分別為第n根鋼軌的單位長(zhǎng)度自電阻、自電感、自電容；L12，C12分別為鋼軌之間的互電感、互電容；G11，G22分別為對(duì)應(yīng)鋼軌與大地間的漏電導(dǎo)；G12為鋼軌1與鋼軌2 經(jīng)由道砟和軌枕的道床電導(dǎo)，由道床電阻Rd表征，為1/Rd；z為節(jié)點(diǎn)距傳輸線始端距離；Δz為z的增量；t為時(shí)間；a為整數(shù)系數(shù)；Ii(z，t)為傳輸線上的電流，i=1，2；Vi(z，t)為傳輸線的對(duì)地電壓［8］。

圖2 單位長(zhǎng)度傳輸線等值電路

根據(jù)軌道電路模型和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納法，可得節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納時(shí)域方程為

式中：CM為由電容、電感決定的N×N型矩陣；N為由節(jié)點(diǎn)數(shù)決定的常數(shù)；P為MTL 的數(shù)量［9］；nk為第k段MTL 的端口數(shù)；GM為由電阻決定的N×N型電導(dǎo)矩陣；IM(t)為由信號(hào)源決定的N×1 型電流矩陣；VM(t)為由節(jié)點(diǎn)電壓和電感電流決定的N×1 型矩陣；Ik(t)為流入第k段傳輸線的nk×1型電流矩陣［10］；Dk為MTL端口選擇矩陣。

由于軌道電路模型中存在空心線圈、調(diào)諧單元等集總參數(shù)元件，不能直接利用時(shí)域有限差分法建立方程，需要將軌道電路模型分為傳輸線和集總參數(shù)元件2 部分，分別建立方程。而利用節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納法能夠直接建立包含傳輸線部分和集總參數(shù)元件部分的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納時(shí)域方程。

1.2 基于節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納方程的軌面電壓復(fù)頻域解

為方便計(jì)算高頻損耗，將節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納時(shí)域方程轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域內(nèi)進(jìn)行求解，避免了在時(shí)域內(nèi)需要結(jié)合矢量匹配法對(duì)參數(shù)進(jìn)行擬合以及極點(diǎn)、留數(shù)的復(fù)雜計(jì)算。

將式（1）進(jìn)行拉普拉斯變換，且設(shè)為零初始條件，得到復(fù)頻域方程為

其中，

式中：s為拉普拉斯算子；Ik，1(s)和Ik，2(s)分別為MTL輸入端和輸出端的電流矩陣。

由單位長(zhǎng)度傳輸線等值電路及傳輸線理論，可得

式中：R，L，G和C分別為單位長(zhǎng)度MTL 的電阻、電感、電導(dǎo)和電容矩陣。

將式（3）轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域形式，為

其中，

式中：V(z，s)和I(z，s)分別為對(duì)距離MTL 輸入端z處電壓和電流進(jìn)行拉普拉斯變換得到的電壓和電流矩陣；Z(s)和Y(s)分別為阻抗矩陣和導(dǎo)納矩陣［11］。

MTL 損耗表現(xiàn)為導(dǎo)體損耗和周圍介質(zhì)損耗，一般情況下這些損耗都與頻率有關(guān)，且高頻時(shí)會(huì)產(chǎn)生額外的高頻損耗。高頻損耗主要由導(dǎo)體中的集膚效應(yīng)和電介質(zhì)中的極化現(xiàn)象引起的，而極化損耗對(duì)MTL 影響甚微，可以忽略不計(jì)［12］。因此，考慮集膚效應(yīng)損耗，將阻抗矩陣Z(s)表示為

式中：Rdc為直流電阻矩陣；f0為轉(zhuǎn)折頻率；K為高頻損耗。

為方便計(jì)算，將式（4）寫為緊湊矩陣形式為

傳輸線輸入端與輸出端的緊湊矩陣關(guān)系為

其中，

式中：W(0，s)和W(l，s)分別為距傳輸線始端z=0和z=l處的矩陣；(s)為積分矩陣。

根據(jù)上述計(jì)算式，可得

其中，

根據(jù)上式可知Ik(s)=Yk(s)Vk(s)；再將其代入式（2），求得節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納復(fù)頻域方程為

1.3 基于傅里葉變換結(jié)合Q-D 算法的軌面電壓時(shí)域解

針對(duì)式（9），利用傅里葉變換結(jié)合Q-D 算法可求得VM中包含的節(jié)點(diǎn)電壓時(shí)域解，再進(jìn)行暫態(tài)響應(yīng)分析，并根據(jù)拉普拉斯基本定義式，可得

式中：c為收斂橫坐標(biāo)。

將式（10）進(jìn)行離散化，再劃分積分域后得到表達(dá)式［13］為

其中，

式中：T為周期；K為由離散點(diǎn)決定的正整數(shù)；Er為設(shè)定的相對(duì)誤差；NT為常數(shù)；α為函數(shù)的指數(shù)階數(shù)。

式（11）等號(hào)右側(cè)括號(hào)中第1 項(xiàng)和第3 項(xiàng)分別由快速傅里葉變換和快速傅里葉逆變換算法進(jìn)行求解；而第2 項(xiàng)和第4 項(xiàng)為無限求和項(xiàng)，因此用連分式近似代替無窮冪級(jí)數(shù)的和［14］，即為

式中：P取正整數(shù)；dn（n=0，1，…，2P）為連分式各項(xiàng)系數(shù)。

式（12）中dn(n=0，…2P)可用Q-D菱圖進(jìn)行求解，其算法如圖3所示。

圖3 Q-D菱圖

圖3中，前2列元素的計(jì)算式為

其余列元素的計(jì)算式為

由此可得連分式各項(xiàng)系dn的計(jì)算式為

2 方法驗(yàn)證

ZPW-2000A 軌道電路的載頻頻率為1 700，2 000，2 300 和2 600 Hz，調(diào)諧區(qū)的引接線參數(shù)見表1，傳輸線參數(shù)參見文獻(xiàn)［16］。

表1 引接線參數(shù)

軌道電路發(fā)送端和接收端的調(diào)諧區(qū)參數(shù)相同［17］，1 700～2 300 Hz 載頻軌道電路調(diào)諧單元BA1和BA2的參數(shù)見表2。

表2 調(diào)諧單元參數(shù)

選取鋼軌類型為60 kg·m-1，信號(hào)源電壓Vs(t)=sin2(ωt)，其 中ω=2 πf，假定頻率f=1 700 Hz，Rg=0.021 Ω，Lg=18.2 μH，Rs=0.03 Ω，Ls=33 μH，Cb=55 μF，運(yùn)用時(shí)域有限差分法與本文方法進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

由圖4 可知，將本文方法與時(shí)域有限差分法求解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，誤差在8%以內(nèi)，具有較高的計(jì)算精度，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

同等條件下，利用時(shí)域有限差分法和本文方法計(jì)算軌道電路接收端軌面電壓，耗時(shí)分別為368 和117 s。

因此，利用本文方法將集總參數(shù)元件及高頻損耗在復(fù)頻域內(nèi)進(jìn)行處理，避免了時(shí)域內(nèi)的卷積計(jì)算和迭代計(jì)算，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)僅約為時(shí)域有限差分法的32%。

3 暫態(tài)響應(yīng)分析結(jié)果

3.1 MTL沿線軌面電壓

鋼軌1 與鋼軌2 上MTL 沿線電壓的計(jì)算過程相同，因此，在考慮高頻損耗時(shí)，只計(jì)算了鋼軌1上MTL的沿線電壓，結(jié)果如圖5所示。

由圖5 可知，利用本文方法可得到沿線電壓的暫態(tài)響應(yīng)三維圖，不僅能反映時(shí)間上的沿線電壓響應(yīng)，還能反映空間距離上的沿線電壓變化。

圖5 鋼軌1沿線電壓

圖5 鋼軌1沿線電壓

3.2 影響因素對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響

3.2.1 高頻損耗

考慮高頻損耗時(shí)，阻抗計(jì)算式為式（5）；未考慮高頻損耗時(shí)，式（5）中表示高頻損耗項(xiàng)“K”為0?；谝陨戏治龇椒ǎx取頻率為1 700 Hz，將對(duì)應(yīng)的阻抗分別代入后續(xù)的計(jì)算，得到考慮高頻損耗與否的接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)如圖6所示。

圖6 不同高頻損耗下接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

由圖6 可知，考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓的幅值小于未考慮高頻損耗時(shí)得到的軌面電壓幅值，符合有損傳輸線規(guī)律［18］。

3.2.2 頻率

ZPW-2000A 軌道電路的載頻信號(hào)頻率為1 700，2 000，2 300 和2 600 Hz，因此將其作為計(jì)算頻率進(jìn)行分析，得到不同頻率下的接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)如圖7所示。

圖7 不同頻率下接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

由圖7 可知，頻率越大，接收端軌面電壓幅值越小。隨著信號(hào)頻率增大，鋼軌和大地的集膚效應(yīng)就越強(qiáng)，高頻損耗也就越明顯，電壓幅值也就越小，圖7呈現(xiàn)的結(jié)果符合這一規(guī)律［19］。

3.2.3 分路電阻

當(dāng)軌道電路表面生銹或積污時(shí)，分路電阻過高致使軌道電路分路不良［20］，得到不同分路電阻下接收端軌面電壓與分路電阻的關(guān)系如圖8所示。

圖8 不同分路電阻下接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

由圖8 可知：隨著分路電阻增大，接收端軌面電壓降越來越小，小到一定值時(shí)可能導(dǎo)致軌道電路出現(xiàn)分路不良的情況；在列車駛?cè)牒统銮鍟r(shí)，無論分路電阻如何變化，暫態(tài)過程依然存在。

3.2.4 調(diào)諧區(qū)狀態(tài)

將調(diào)諧區(qū)設(shè)置為故障狀態(tài)，對(duì)比正常狀態(tài)時(shí)接收端的軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)，結(jié)果如圖9所示。

由圖9 可知，當(dāng)調(diào)諧區(qū)故障時(shí)，接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)與正常狀態(tài)時(shí)的暫態(tài)響應(yīng)有所區(qū)別，為軌道電路的故障診斷提供一定的參考［21］。

圖9 不同調(diào)諧區(qū)狀態(tài)下接收端軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

3.2.5 道床電阻

道床電阻在外界環(huán)境中易受溫度和濕度的影響，其作為一次側(cè)參數(shù)會(huì)影響信號(hào)在鋼軌上的傳輸，因此，為研究道床電阻對(duì)軌道電路接收端軌面電壓的影響規(guī)律，得到不同道床電阻下軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)如圖10所示。

圖10 不同道床電阻下軌面電壓暫態(tài)響應(yīng)

由圖10 可知，在其他參數(shù)不變的情況下，隨著道床電阻的減小，信號(hào)在傳輸過程中的漏泄電流增大，接收端軌面電壓的幅值也隨之減小，且當(dāng)?shù)来搽娮柽^小時(shí)，可能出現(xiàn)“紅光帶”故障情況［22］。

4 結(jié)論

（1）針對(duì)ZPW-2000A 軌道電路中因高頻損耗影響而難以準(zhǔn)確分析暫態(tài)響應(yīng)的問題，提出在復(fù)頻域內(nèi)直接將高頻損耗項(xiàng)納入阻抗計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算，避免了時(shí)域有限差分法的復(fù)雜計(jì)算。

（2）通過分析ZPW-2000A 軌道電路暫態(tài)響應(yīng)，可知考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓小于未考慮高頻損耗時(shí)的電壓幅值。在列車駛?cè)牒统銮鍟r(shí)，接收端信號(hào)均出現(xiàn)暫態(tài)變化，且接收端軌面電壓降隨著分路電阻的增大而減小，隨著道床電阻的增大而增大，但是分路電阻過高可能導(dǎo)致分路不良情況，道床電阻過小可能導(dǎo)致“紅光帶”故障情況。

（3）與利用時(shí)域有限差分法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，求解方法誤差在8%以內(nèi)，且計(jì)算耗時(shí)短；該方法可以準(zhǔn)確、高效地分析高頻損耗下ZPW-2000A軌道電路暫態(tài)響應(yīng)，為軌道電路暫態(tài)響應(yīng)的分析提供理論參考。