汲柏良，杜昱成，秦清海

(曲阜師范大學(xué)工學(xué)院，山東 日照 276800)

風(fēng)電作為綠色清潔能源，是全球?qū)崿F(xiàn)低碳、可持續(xù)發(fā)展的有效途徑之一。我國的低風(fēng)速區(qū)域分布廣，占總面積的近7成[1]。近年來，國內(nèi)低風(fēng)速區(qū)的風(fēng)電裝機(jī)量迅速增加，進(jìn)一步開發(fā)低風(fēng)速區(qū)風(fēng)能資源已經(jīng)成為風(fēng)電行業(yè)的共識。

風(fēng)電機(jī)組按照風(fēng)力機(jī)與發(fā)電機(jī)的傳動鏈劃分，可分為直驅(qū)、半直驅(qū)以及雙饋3種類型[2]。半直驅(qū)方案采用“齒輪箱-永磁發(fā)電機(jī)-變頻器”的技術(shù)路線，吸納了直驅(qū)型與雙饋型的長處，既在一定程度上避免了雙饋型使用多級增速齒輪箱導(dǎo)致的故障率高的問題，又通過提高發(fā)電機(jī)輸入轉(zhuǎn)速相對降低了發(fā)電機(jī)的體積、重量及制造成本，半直驅(qū)漸漸成為兼顧生產(chǎn)制造成本與發(fā)電效益的最優(yōu)解。

齒輪箱是一種工作于高空、低速環(huán)境下，受不規(guī)律風(fēng)載提高發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速的機(jī)械傳動裝置。齒輪箱故障會造成風(fēng)電機(jī)組停機(jī)，降低供電可靠性，對風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。Kahraman最早求解了包含齒側(cè)間隙、齒形誤差和時(shí)變嚙合剛度等因素的數(shù)學(xué)模型表達(dá)形式[3]，建立了行星齒輪純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型并求解分析[4]。文獻(xiàn)[5-6]中推導(dǎo)了行星齒輪的平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，文獻(xiàn)[6]考慮了齒根裂紋對行星齒輪的影響，并對其進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[7]以人字齒行星齒輪為研究對象，推導(dǎo)了動力學(xué)微分方程模型，將受嚙合相位影響的時(shí)變嚙合剛度考慮其中，并分析受不均勻載荷影響時(shí)的變化規(guī)律。齒輪的嚙合運(yùn)動中，嚙合的齒對數(shù)及嚙合的位置隨時(shí)間發(fā)生變化，因而齒輪的嚙合剛度具備時(shí)變特征[8]。

本文主要研究低風(fēng)速半直驅(qū)風(fēng)電行星齒輪箱。首先對滿足10 kW半直驅(qū)風(fēng)力發(fā)電機(jī)運(yùn)行條件下單級行星齒輪的各主要構(gòu)件進(jìn)行參數(shù)匹配與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，而后基于經(jīng)典力學(xué)定律，計(jì)入時(shí)變嚙合剛度與綜合嚙合誤差的影響，通過集中參數(shù)模型推導(dǎo)行星齒輪的平移-扭轉(zhuǎn)時(shí)變非線性動力學(xué)微分方程組，最后通過四階Runge-Kutta法對動力學(xué)微分方程組進(jìn)行求解分析。

1 行星齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

半直驅(qū)風(fēng)電機(jī)組如圖1所示，主要包含三部分：第一部分為風(fēng)力機(jī)，是風(fēng)能捕獲裝置；第二部分為風(fēng)電齒輪箱，是增速裝置；第三部分為永磁同步發(fā)電機(jī)，是機(jī)電能量轉(zhuǎn)換裝置。

圖1 半直驅(qū)風(fēng)電機(jī)組

該風(fēng)電機(jī)組主要運(yùn)行于低風(fēng)速工況下，輸入轉(zhuǎn)速低，轉(zhuǎn)矩大。2Z-X型直行星齒輪結(jié)構(gòu)簡單、承載力強(qiáng)、效率高，因此將2Z-X型直行星齒輪作為風(fēng)電齒輪箱的增速機(jī)構(gòu)。行星齒輪所需的性能要求如表1所示。

表1 風(fēng)電行星齒輪性能要求

(1)

式中：Kd為算式系數(shù)，取值為768；T1為嚙合齒輪副中小齒輪的名義轉(zhuǎn)矩；KA為使用系數(shù)，與隨機(jī)載荷有關(guān)；KH∑為綜合系數(shù)；KHP為載荷分布系數(shù)，與接觸強(qiáng)度有關(guān)；φd為小齒輪齒寬系數(shù)；σHlim為接觸強(qiáng)度下齒輪的接觸疲勞極限；u為齒數(shù)比，“+”表示外嚙合，“-”表示內(nèi)嚙合。

(2)

式中：Km為算式系數(shù)，取值為12.1；KFΣ為綜合系數(shù)；KFP為載荷分布系數(shù)，與彎曲強(qiáng)度有關(guān)；YFa1為小齒輪齒形系數(shù)；z1為齒輪副中小齒輪齒數(shù)；σFlim為彎曲強(qiáng)度下齒輪的接觸疲勞極限。

選取適當(dāng)?shù)膮?shù)分別代入式(1)與式(2)中計(jì)算可得：m1=4.33；m2=4.55。根據(jù)國標(biāo)(GB/T 1357—2008)選定模數(shù)為5 mm。經(jīng)計(jì)算，風(fēng)電行星齒輪的系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 風(fēng)電行星齒輪系統(tǒng)參數(shù)

2 行星齒輪動力學(xué)模型

2.1 動力學(xué)建模

該風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)中，內(nèi)齒圈保持靜止，扭矩由行星架側(cè)輸入軸輸入，通過帶動行星輪由太陽輪側(cè)輸出軸輸出。

為簡化分析，在建立平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型時(shí)忽略輸入軸與輸出軸對行星齒輪的影響；另行星齒輪為直齒輪，沒有軸向力的參與，不計(jì)行星齒輪的軸向振動；3個(gè)行星齒輪的參數(shù)完全一致，并且是均載的；不計(jì)齒側(cè)間隙以及摩擦對行星齒輪動態(tài)響應(yīng)的作用；動力學(xué)模型中的阻尼都假定為線性阻尼。

基于上述假設(shè)，建立行星齒輪的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型如圖2所示。圖中有3個(gè)坐標(biāo)系：坐標(biāo)系OXY是靜止坐標(biāo)系；Oxy是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)固定，兩坐標(biāo)軸與行星架同向等速旋轉(zhuǎn)；onxnyn是以行星輪中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩坐標(biāo)軸與坐標(biāo)系Oxy兩坐標(biāo)軸分別平行且與行星輪等角速度旋轉(zhuǎn)的動坐標(biāo)系，n=1，2，3。

圖2 平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型

行星齒輪各構(gòu)件包含3個(gè)自由度，2個(gè)平動x、y與1個(gè)扭轉(zhuǎn)u。太陽輪、行星輪以及齒圈的直徑分別取值為各自基圓的直徑，行星架基圓的半徑取值為太陽輪中心點(diǎn)與行星輪中心點(diǎn)間的距離。行星齒輪各構(gòu)件經(jīng)彈簧和阻尼器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)相連接。ksp、csp分別表示太陽輪與行星輪間的嚙合剛度與嚙合阻尼；krp、crp分別表示齒圈與行星輪間的嚙合剛度與嚙合阻尼(p=1、2、3)。kl、cl(l=s、c、r、p)分別表示各個(gè)構(gòu)件的支承剛度與支承阻尼；kcp、ccp表示行星架與行星輪間的支承剛度與支承阻尼。

以Δ表示彈性構(gòu)件間的壓縮形變量，太陽輪與行星輪間及齒圈與行星輪間的壓縮形變量為

(3)

(4)

式中：αs、αr為太陽輪與行星輪及齒圈與行星輪間的嚙合角(按照標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝時(shí)，嚙合角等于分度圓壓力角)；φi為各行星輪安裝相位角；es(t)、er(t)為太陽輪與行星輪及齒圈與行星輪間的綜合嚙合誤差。

第i個(gè)行星輪與太陽輪及第i個(gè)行星輪與齒圈間的嚙合力為

(5)

式中：ksi為第i個(gè)行星輪與太陽輪間的嚙合剛度；csi為第i個(gè)行星輪與太陽輪間的嚙合阻尼；kri為第i個(gè)行星輪與齒圈間的嚙合剛度；cri為第i個(gè)行星輪與齒圈間的嚙合阻尼。

第i個(gè)行星輪與行星架間的形變量為

(6)

式中：αi為第i個(gè)行星輪的壓力角。

行星輪與行星架間在x、y向上的支承力為

(7)

式中：kcpi為行星輪與行星架間的支承剛度；ccpi為行星輪與行星架間的支承阻尼。

各部件l在x、y及u向上的支承力為

(8)

式中：kl為部件l的支承剛度；cl為部件l的支承阻尼。

由此可得行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程組見式(9)—(12)。

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：ms、mc、mr、mp、Js、Jc、Jr、Jp、Ts、Tc、Tr、Tp、Rbs、Rbc、Rbr、Rbp分別為太陽輪、行星架、齒圈與行星輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)矩以及基圓半徑；ωc為行星架的轉(zhuǎn)速。

2.2 參數(shù)分析

2.2.1 時(shí)變嚙合剛度

太陽輪與行星輪間及齒圈與行星輪間，其嚙合剛度隨時(shí)間發(fā)生周期性變化，其主要原因如下。

a.嚙合時(shí)齒輪的嚙合對數(shù)發(fā)生改變。

b.輪齒嚙合過程中，其嚙合位置隨時(shí)間發(fā)生改變。

行星齒輪各構(gòu)件間的嚙合剛度可使用與嚙合頻率有關(guān)的Fourier級數(shù)來等效，為簡化計(jì)算，此處取其前三次諧波。

(13)

式中：ksiav、kriav分別為行星輪與太陽輪及行星輪與齒圈間的平均嚙合剛度，可查閱GB/T 3480—1997計(jì)算得到；ksij、krij(j=1、2、3)為傅里葉系數(shù)；tsi、tri為太陽輪與各行星輪及齒圈與各行星輪嚙合的時(shí)間差異；fm為嚙合頻率，可由式(14)計(jì)算得到[11]。

(14)

式中：fc為行星架轉(zhuǎn)頻；Zr為齒圈齒數(shù)；Zs為太陽輪齒數(shù)；fs為太陽輪轉(zhuǎn)頻。

2.2.2 綜合嚙合誤差

綜合嚙合誤差產(chǎn)生于齒輪生產(chǎn)制造的過程中，在齒輪嚙合的過程中會造成沖擊響應(yīng)。在動力學(xué)模型中，可采用正弦函數(shù)的形式來近似表示。

(15)

式中：Es為齒輪副綜合嚙合誤差的幅值；βs、βr為太陽輪與行星輪間及齒圈與行星輪間綜合嚙合誤差的初相位。

2.2.3 各構(gòu)件質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量

行星齒輪中各構(gòu)件質(zhì)量可通過式(16)—(18)計(jì)算得到[14]。

(16)

式中：

dm=(da+df)/2

(17)

b=φdd1

(18)

式中：ρ為材料密度；d0為回轉(zhuǎn)軸直徑；B為齒寬；da為齒頂圓直徑；df為齒根圓直徑；φd為齒寬系數(shù)，d1為主動輪的分度圓直徑。

各個(gè)構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量為

(19)

3 計(jì)算結(jié)果分析

針對所選型設(shè)計(jì)的行星齒輪進(jìn)行動力學(xué)分析，經(jīng)計(jì)算各構(gòu)件參數(shù)如表3所示。

表3 行星齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)

基于前文所推導(dǎo)的行星齒輪動力學(xué)模型，代入以上參數(shù)降階后采用四階五級定步長Runge-Kutta法編程求解。

3.1 確定工況下的動態(tài)響應(yīng)分析

在不考慮負(fù)載的情況下，設(shè)定行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)速為20 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩為4775 N·m。行星齒輪各構(gòu)件的動態(tài)響應(yīng)分別如圖3(a)-(f)所示。

(a) 太陽輪x向振動位移

(b) 太陽輪y向振動位移

(c) 行星架x向振動位移

(d) 行星架y向振動位移

(e) 行星輪x向振動位移

(f) 行星輪y向振動位移圖3 行星齒輪各構(gòu)件動態(tài)響應(yīng)

由圖3(a)-(f)可知：各構(gòu)件x向與y向的振動為非簡諧周期振動。各構(gòu)件x向振動位移的時(shí)程曲線關(guān)于y=0近似對稱，太陽輪的x向振動位移幅值約為3.8 μm，行星架的x向振動位移幅值為0.96×10-3μm，行星輪的x向振動位移幅值為1.2×10-3μm。各構(gòu)件y向振動位移中，太陽輪的y向振動位移幅值約為6.4 μm，行星架的y向振動位移幅值約為2.0×10-3μm，行星輪的y向振動位移幅值約為6.33 μm。

風(fēng)電行星齒輪傳動系統(tǒng)往往運(yùn)行在低速重載的環(huán)境下，系統(tǒng)中各個(gè)構(gòu)件的振動幅度均在“微米”的數(shù)量級，可滿足要求。

3.2 輸入轉(zhuǎn)速的影響分析

風(fēng)電行星齒輪的太陽輪通過輸出軸與發(fā)電機(jī)相連，太陽輪的動態(tài)響應(yīng)關(guān)系到發(fā)電機(jī)的工況，故在不考慮負(fù)載條件下，設(shè)定輸入轉(zhuǎn)矩為4775 N·m，分別計(jì)算輸入轉(zhuǎn)速為10 r/min，20 r/min及30 r/min時(shí)的動態(tài)響應(yīng)，得到太陽輪扭轉(zhuǎn)方向的振動位移時(shí)域如圖4所示，去除太陽輪扭轉(zhuǎn)方向振動位移的直流分量并分別進(jìn)行頻域分析如圖5(a)-(c)所示。

圖4 不同轉(zhuǎn)速下太陽輪扭轉(zhuǎn)位移時(shí)域

(a) n=10 r/min

(b) n=20 r/min

(c) n=30 r/min圖5 不同輸入轉(zhuǎn)速下太陽輪扭轉(zhuǎn)位移頻譜

由圖4及圖5(a)-(c)可知：在保持輸入轉(zhuǎn)矩為定值4775 N·m時(shí)，改變行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)速，其扭轉(zhuǎn)振動位移的峰值均為34.15 μm，由此可見定轉(zhuǎn)矩下，輸入轉(zhuǎn)速的變化對太陽輪扭轉(zhuǎn)位移幅值的影響非常小；行星齒輪中太陽輪扭轉(zhuǎn)位移的頻率分布與行星齒輪的嚙合頻率有關(guān)，主要為嚙合頻率及其倍頻，并且與轉(zhuǎn)速成線性關(guān)系。

3.3 輸入轉(zhuǎn)矩的影響分析

不考慮負(fù)載影響，設(shè)定輸入轉(zhuǎn)速為20 r/min，計(jì)算輸入轉(zhuǎn)矩分別為500 N·m、2000 N·m以及4775 N·m時(shí)太陽輪扭轉(zhuǎn)位移的動態(tài)響應(yīng)，得到太陽輪扭轉(zhuǎn)方向的振動位移時(shí)域如圖6所示，同樣去除太陽輪扭轉(zhuǎn)方向振動位移的直流分量并分別進(jìn)行頻域分析如圖7(a)-(c)所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)矩下太陽輪扭轉(zhuǎn)位移時(shí)域

(a) T=500 N·m

(b) T=2000 N·m

(c) T=4775 N·m圖7 不同輸入轉(zhuǎn)矩下太陽輪扭轉(zhuǎn)位移頻譜

由圖6及圖7(a)-(c)可知：在輸入轉(zhuǎn)速不變情況下，當(dāng)行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)矩分別為500 N·m、2000 N·m以及4775 N·m時(shí)，太陽輪的扭轉(zhuǎn)位移幅值分別為3.57 μm、14.30 μm、34.15 μm，峰值分別為0.28 μm、1.13 μm、2.71 μm，因此太陽輪的扭轉(zhuǎn)位移會隨著輸入轉(zhuǎn)矩的增大而緩慢增大，扭轉(zhuǎn)位移的數(shù)量級仍處于“微米”級別；輸入轉(zhuǎn)矩僅對太陽輪扭轉(zhuǎn)位移的幅值產(chǎn)生正相關(guān)影響，與太陽輪扭轉(zhuǎn)位移頻率分布無關(guān)。

4 結(jié)語

a.風(fēng)電行星齒輪在低速重載的工況下，太陽輪相比于齒圈與行星輪，其x向與y向振動位移相對較大，但其振動幅值仍維持在“微米”級。

b.在僅行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的情況下，其扭轉(zhuǎn)位移的振動幅值不會發(fā)生變化，扭轉(zhuǎn)位移的頻率分布主要為嚙合頻率的倍頻，并且與轉(zhuǎn)速成強(qiáng)線性關(guān)系。

c.在行星齒輪的輸入轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化的情況下，其扭轉(zhuǎn)位移的振動幅值隨著輸入轉(zhuǎn)矩而增大，扭轉(zhuǎn)位移的頻率分布并未隨轉(zhuǎn)矩的變化而發(fā)生改變。