楊美良,樊林杰,袁以鑫,劉陽帆

（長沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410114）

波形鋼腹板梁橋是近年來興起的一種橋梁形式，因其優(yōu)越的性能而引起廣泛關(guān)注。最早的法國建成的Cognac橋[1]，有效減小了大跨度橋梁的自重荷載。與傳統(tǒng)的PC箱梁橋相比，波形鋼腹板箱梁橋結(jié)構(gòu)自重小，能顯著降低腹板對(duì)上下翼緣板的約束作用，大幅度提高底板的有效預(yù)應(yīng)力，在全球得到普遍推廣。

目前，研究者已在波形鋼腹板梁橋抗彎[2]、抗剪[3]、疲勞[4]、動(dòng)力特性[5-6]等方面取得了一定的成果，但對(duì)于應(yīng)力增量的涉及相對(duì)較少，且大多數(shù)是基于傳統(tǒng)的PC箱梁橋，幾種比較典型的方法分別是黏結(jié)折減系數(shù)法[7]、基于截面配筋率指標(biāo)建立回歸公式法[8]、基于變形的計(jì)算方法[9-10]和基于能量法[11-12]的計(jì)算方法。Antoine等[7]采用黏結(jié)折減系數(shù)法對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，得到了考慮剪切變形的應(yīng)力增量計(jì)算公式。Harajli等[13]建立了非線性有限元模型，進(jìn)行參數(shù)擬合，分析體外預(yù)應(yīng)力梁的“二次效應(yīng)”影響和預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量。Kim等[14]建立了適用于計(jì)算后張法體外預(yù)應(yīng)力連續(xù)梁的非線性模型，并將計(jì)算出的彎矩分布結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了模型的正確性。劉曉剛等[8]采用基于截面配筋指標(biāo)建立回歸公式的方法，進(jìn)行了無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的研究。通過將大量參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，構(gòu)建了組合結(jié)構(gòu)屈服時(shí)應(yīng)力增量的計(jì)算方法。杜進(jìn)生等[10]開展了關(guān)于塑性鉸區(qū)長度的研究，提出了基于結(jié)構(gòu)變形的應(yīng)力變化分析方法，并進(jìn)行了大量的試驗(yàn)梁對(duì)比，但并未給出體外預(yù)應(yīng)力筋極限應(yīng)力的計(jì)算公式。劉釗等[11]從能量法的角度入手，推出了結(jié)構(gòu)處在正常使用階段時(shí)預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的解析解公式。蘇儉[12]考慮典型布筋形式與荷載工況，利用能量法推導(dǎo)了體外預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量解析計(jì)算公式，其中考慮了剪切變形的影響。劉玲[15]等進(jìn)行了6根體外預(yù)應(yīng)力加固混凝土簡支梁的試驗(yàn)研究，研究了混凝土強(qiáng)度、跨高比、有效預(yù)應(yīng)力、受拉區(qū)普通鋼筋的數(shù)量等參數(shù)對(duì)預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的影響。杜進(jìn)生等[16]基于理論分析和數(shù)值模擬，研究了波形鋼腹板組合梁破壞時(shí)塑性鉸的長度變化，但并沒有提出波形鋼腹板組合梁體外預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的計(jì)算公式。徐榮橋等[17]基于ABAQUS軟件的自定義單元，編寫了一個(gè)自定義有限元單元，較好地模擬了體外預(yù)應(yīng)力筋的實(shí)際情況，能計(jì)入滑移效應(yīng)產(chǎn)生的影響，并基于此構(gòu)建了應(yīng)力增量的計(jì)算公式，但這是基于傳統(tǒng)PC箱梁橋的理論，并不能完全適用于波形鋼腹板組合梁橋，后續(xù)還需進(jìn)行針對(duì)性的研究。

在現(xiàn)有的體外預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量研究方面，大部分是基于傳統(tǒng)PC箱梁橋，針對(duì)波形鋼腹板組合梁橋建立的應(yīng)力增量研究鮮有報(bào)道。筆者在現(xiàn)有波形鋼腹板梁橋試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合Euler-Bernoulli理論，通過預(yù)應(yīng)力筋的變形和結(jié)構(gòu)整體變形的幾何關(guān)系，推導(dǎo)了考慮滑移效應(yīng)的體外預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的計(jì)算公式，將公式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)梁和Ansys數(shù)值模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以證明本文理論的適用性。

1 考慮滑移的應(yīng)力增量模型

考慮一簡支梁，結(jié)合折線布筋形式，建立簡化計(jì)算模型，如圖1所示，同時(shí)對(duì)預(yù)應(yīng)力筋做如下假定：

1）在外力作用下，組合梁和體外預(yù)應(yīng)力筋均處于線彈性工作狀態(tài)，未發(fā)生屈曲破壞。

2）未發(fā)生剪切滑移時(shí)，結(jié)構(gòu)還遵循“擬平截面假定”。

3）考慮鋼腹板剪切作用對(duì)梁體結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的影響。

4）忽略預(yù)應(yīng)力筋在錨固端和轉(zhuǎn)向塊處的摩擦力，簡化受力分析。

設(shè)預(yù)應(yīng)力筋端點(diǎn)的初始位置為（xi,yi）(i=1、2、3、4)，形狀為三折線。

如圖1所示，預(yù)應(yīng)力筋線形簡化為三折線形式。為簡化計(jì)算過程及公式，定義各段為第i段（頂點(diǎn)為i和i+1）（i=1、2、3），則第i段變形前的長度為

圖1 計(jì)算簡圖Fig.1 Calculation diagram

如果頂點(diǎn)i的位移用（ui,vi）表示，那么第i段預(yù)應(yīng)力筋發(fā)生變形后的總長度可以表示為

展開式（2）并消去高階小量，化簡后可得

其中：θi為第i段預(yù)應(yīng)力筋與x軸之間的夾角，即

根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到整根預(yù)應(yīng)力筋在發(fā)生變形后的伸長量為

式（5）是通過解得預(yù)應(yīng)力筋在錨固端和轉(zhuǎn)向塊處的位移，得到結(jié)構(gòu)整體變形后推導(dǎo)的預(yù)應(yīng)力筋伸長量計(jì)算公式。有了伸長量表達(dá)式，就能夠得到預(yù)應(yīng)力筋在結(jié)構(gòu)變形后的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)隽康谋磉_(dá)式分別為

其中：Ls和Es分別表示預(yù)應(yīng)力筋的總長度和彈性模量。根據(jù)梁理論，用組合梁的撓度和轉(zhuǎn)角來表示預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊處的位移，可以得到

其中：ei是轉(zhuǎn)向塊與中性軸的偏心距（見圖1）；Ψ(xi)是梁的轉(zhuǎn)角；ω(xi)是梁的撓度。如果采用Euler-Bernoulli梁理論，那么Ψ(xi)=ω′(xi)。此時(shí)，把式（8）代入式（6）、式（7）中，就可以得到Euler-Bernoulli梁理論中預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量表達(dá)式為

因此，得到一個(gè)關(guān)于撓度的應(yīng)力增量公式。后續(xù)只需求得組合梁的撓度公式，將其代入式（9）中，即可得到預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量。

2 理論分析

2.1 跨中撓度計(jì)算

波形鋼腹板組合梁主要的力學(xué)特征是：“混凝土頂、底板受彎，鋼腹板受剪”。因此，進(jìn)行撓度的推導(dǎo)時(shí)，將同時(shí)考慮兩種作用的影響：混凝土頂、底板產(chǎn)生的彎曲變形；鋼腹板的剪切變形。

在推導(dǎo)兩點(diǎn)對(duì)稱加載情況下（圖2）的撓度公式時(shí)，一般是先考慮只有一個(gè)集中荷載作用時(shí)的情況，然后通過疊加原理，得到對(duì)稱加載時(shí)的撓度公式。因此，只需進(jìn)行集中荷載F下（圖3）的撓度公式推導(dǎo)，通過疊加計(jì)算，即可求得兩點(diǎn)對(duì)稱加載情況下的撓度公式。

圖2 兩點(diǎn)對(duì)稱加載時(shí)的計(jì)算簡圖Fig.2 Calculation diagram for two-point symmetrical loading

圖3 集中力F作用時(shí)的計(jì)算簡圖Fig.3 Calculation diagram when the concentrated force F is applied

集中荷載F作用下，組合梁所受的剪力和彎矩表達(dá)式可以表示為

式 中：F為 外 荷 載；a為 圖2中 集 中 力F與 梁 端 的 距離；L為簡支梁跨徑。

波形鋼腹板的剪切模量采用Johnson等[18]建立的有效剪切模量Ge的計(jì)算公式

式中：a、b、α的具體尺寸見圖4；Ge為鋼板的抗剪彈性模量。

圖4 波形鋼腹板示意圖Fig.4 Sketch of corrugated steel webs

假設(shè)只受剪力時(shí)，組合梁撓曲線上任一點(diǎn)處的斜率等于該點(diǎn)所在截面的剪應(yīng)變，那么可得

式中：ω1為簡支梁在剪力作用下的撓度；A為豎向抗剪面積，A=2ht，可參見文獻(xiàn)[19]，h為鋼腹板豎向高度；t為鋼腹板板厚；Q(x)為剪力；k為剪切系數(shù)，此時(shí)取k=0。

將式（11）代入式（13）中，可得到組合梁因發(fā)生剪切變形而產(chǎn)生的撓度ω1。

設(shè)波形鋼腹板組合梁彎矩引起的撓度為ω2，可得

式中：Ec為混凝土板彈性模量；Ic為混凝土板對(duì)形心軸的慣性矩。

將式（11）代入式（15）中，可得

根據(jù)疊加原理，將式（14）和式（16）按圖2所示 進(jìn)行計(jì)算，得到兩點(diǎn)對(duì)稱加載時(shí)組合梁的撓度公式

2.2 應(yīng)力增量求解

得到撓度之后，根據(jù)式（9）、式（10）和式（17）可進(jìn)行應(yīng)力增量的求解。三折線布筋時(shí)，對(duì)稱荷載作用下

可對(duì)應(yīng)力增量求解公式進(jìn)行化簡

3 數(shù)值模型

為了比較驗(yàn)證，依據(jù)文獻(xiàn)[20]的模型數(shù)據(jù)和材料設(shè)計(jì)要求，通過有限元軟件Ansys，建立波形鋼腹板組合梁全橋數(shù)值模型。模擬波形鋼腹板組合梁從開始加載到喪失承載能力的受力全過程。

3.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)據(jù)

以文獻(xiàn)[20]的試驗(yàn)參數(shù)為基礎(chǔ)，簡化計(jì)算模型，進(jìn)行預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力增量的求解。模型梁長4.4 m，寬1.525 m，共設(shè)有4道橫隔板。體外預(yù)應(yīng)力鋼筋為2?15.24鋼絞線，抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fpk=1 860 MPa；頂、底板普通鋼筋設(shè)計(jì)強(qiáng)度為210 MPa，?6 mm的光圓鋼筋，橫向和縱向間距均為100 mm。具體尺寸和布置形式等見圖5。

圖5 模型截面尺寸（單位：mm）Fig.5 Model section size(Unit:mm)

波形鋼腹板厚度為4 mm，細(xì)部尺寸見圖6，其中：a為直板段寬度；b為斜板段水平寬度；C為斜板段寬度。

圖6 波形鋼腹板尺寸（單位：mm）Fig.6 Dimensions of corrugated steel web(Unit:mm)

文獻(xiàn)[20]中，模型試驗(yàn)梁加載前需進(jìn)行撓度、應(yīng)變和錨下有效預(yù)應(yīng)力測點(diǎn)布置。撓度測點(diǎn)布置在支座和頂板；在頂、底板和波形鋼腹板均設(shè)置應(yīng)變測點(diǎn)；試驗(yàn)采用普通鋼絞線和智能預(yù)應(yīng)力鋼絞線。智能預(yù)應(yīng)力鋼絞線內(nèi)部布置3個(gè)光柵測點(diǎn)。同時(shí)，在試驗(yàn)梁的張拉端和錨固端均設(shè)置錨下有效預(yù)應(yīng)力測點(diǎn)。

體外預(yù)應(yīng)力筋采用單端張拉，張拉力均為120 kN，一次性張拉到位。

試驗(yàn)梁利用反力架做支撐，采用千斤頂進(jìn)行分級(jí)加載，加載方式為兩點(diǎn)對(duì)稱加載。當(dāng)試驗(yàn)荷載小于110 kN時(shí)，采用每級(jí)10 kN的荷載增量加載；當(dāng)荷載達(dá)到110 kN時(shí)，采用每級(jí)5 kN的荷載增量加載，直至梁體塑性破壞。

3.2 材料單元和本構(gòu)關(guān)系

數(shù)值模型由混凝土頂?shù)装?、頂?shù)装迤胀ㄤ摻睢⒉ㄐ武摳拱?、橫隔板、支座處鋼墊塊、加載端分配梁和體外預(yù)應(yīng)力筋幾部分組成。

在Ansys眾多實(shí)體單元中，空間實(shí)體8節(jié)點(diǎn)單元Solid65是專門為鋼筋混凝土材料開發(fā)的，可進(jìn)行非線性處理，具有拉碎和壓碎的性能，可模擬鋼筋混凝土的開裂、壓碎、塑性變形和徐變。因此，混凝土頂、底板選用Solid65實(shí)體單元。

波形鋼腹板用殼單元Shell93模擬，能考慮剪切變形帶來的影響。橫隔板采用Solid45單元，同時(shí)，為了避免應(yīng)力集中，在錨固端和轉(zhuǎn)向塊處將彈性模量增加到10倍，相當(dāng)于使其彈性模量無窮大，達(dá)到剛體的效果。普通鋼筋選用能同時(shí)承受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力的Link8單元。

體外預(yù)應(yīng)力筋選用只能單向受拉或者單向壓縮的Link10單元，通過添加初應(yīng)變的方式實(shí)現(xiàn)預(yù)應(yīng)力筋的張拉。同時(shí)，采用Combin39單元來模擬體外預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊位置的滑移效應(yīng)[21]。

3.3 模型建立和網(wǎng)格劃分

建立實(shí)體模型時(shí)，通過體分割法建立普通鋼筋形成分離式模型，模型建成后，鋼筋與混凝土為共節(jié)點(diǎn)，可以共同工作，不需要通過耦合來聯(lián)系在一起。波形鋼腹板與頂、底板之間的連接也通過體分割法，在兩者連接處形成共節(jié)點(diǎn)。在支座處和加載處用實(shí)體單元建立墊塊，增大其彈性模量，達(dá)到模擬成剛體的效果，消除加載不均衡和不對(duì)稱等因素對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。支座處鋼墊塊與底板、分配梁與頂板分別施加約束，保證墊塊與底板、分配梁與頂板是一個(gè)整體。

在進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，根據(jù)波形鋼腹板的形狀進(jìn)行，保持預(yù)應(yīng)力筋、混凝土和波形鋼腹板的劃分方式相同，保證節(jié)點(diǎn)的一致性，能更好地完成布爾運(yùn)算。

為分析滑移效應(yīng)對(duì)應(yīng)力增量的影響，共建立兩個(gè)對(duì)比模型。模型一中，預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊和錨固端處用Combin39單元與混凝土粘結(jié)，以模擬滑移效應(yīng)。模型二中，預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊和錨固端處與混凝土進(jìn)行結(jié)點(diǎn)耦合操作，模擬成剛體，沒有相對(duì)滑移。有限元整體模型如圖7所示。

圖7 有限元模型圖Fig.7 Finite element model diagram

3.4 計(jì)算結(jié)果及分析

求解過程中，通過荷載步和荷載子步的設(shè)置，實(shí)現(xiàn)加載梁處逐級(jí)加載。直到結(jié)構(gòu)壓應(yīng)力或混凝土壓應(yīng)變超出承載范圍而發(fā)生破壞為止。提取模型運(yùn)行后的計(jì)算結(jié)果，得到跨中截面撓度值和預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力值，對(duì)比分析文獻(xiàn)[20]中試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果（圖8、圖9）。

圖8 跨中截面荷載-撓度曲線Fig.8 Mid-span section load-deflection curve

圖9 有效預(yù)應(yīng)力-荷載曲線Fig.9 Effective prestress-load curve

分析結(jié)果表明：模型值與試驗(yàn)值相差不大，驗(yàn)證了模型分析的準(zhǔn)確性，較好地?cái)M合了實(shí)際情況。從圖8、圖9中可以看出，曲線有明顯的三階段變化，分別對(duì)應(yīng)模型梁從開始加載到破壞過程中的3個(gè)階段：彈性階段、開裂階段和塑性階段。

彈性階段：當(dāng)荷載小于100 kN時(shí)，結(jié)構(gòu)處于線彈性受力范圍，底板尚未出現(xiàn)裂縫，此時(shí)力筋應(yīng)力變化很小。

開裂階段：當(dāng)荷載增大到100 kN時(shí)，底板混凝土出現(xiàn)開裂，結(jié)構(gòu)進(jìn)入開裂階段，結(jié)構(gòu)剛度明顯減小。但由于底板混凝土較薄，受拉區(qū)普通鋼筋沒有屈服，還處于線彈性受力范圍，所以結(jié)構(gòu)整體撓度變化很小，應(yīng)力增量的變化也較小。

塑性階段：當(dāng)荷載增大到150 kN后，底板鋼筋開始屈服，結(jié)構(gòu)剛度持續(xù)降低，進(jìn)入塑性階段。結(jié)構(gòu)整體撓度變化和應(yīng)力增量增長速度顯著加快。

當(dāng)體外預(yù)應(yīng)力筋仍處于彈性受力階段時(shí)，圖8所示荷載—撓度曲線大致呈線性增長關(guān)系，只有在力筋達(dá)到非線性段后，才變?yōu)榍€。此時(shí)結(jié)構(gòu)整體撓度迅速增大，直至頂板被壓碎，模型梁因失去承載能力而破壞。

對(duì)比模型一、二的曲線可以發(fā)現(xiàn)，考慮滑移效應(yīng)時(shí)，結(jié)構(gòu)整體撓度變形和應(yīng)力增量增大，承載能力降低。說明滑移效應(yīng)對(duì)應(yīng)力增量的影響較為明顯，不能忽略，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮其影響。

對(duì)比荷載—撓度曲線和有效預(yù)應(yīng)力—荷載曲線可以發(fā)現(xiàn)，Ansys建模得到的結(jié)果和試驗(yàn)所得結(jié)果雖有誤差，但吻合情況良好，相差不大。說明Ansys模型較好地模擬了試驗(yàn)梁從開始加載到發(fā)生破壞的受力全過程。

4 理論公式驗(yàn)證

對(duì)比分析理論計(jì)算結(jié)果、模型結(jié)果和試驗(yàn)測試結(jié)果（見表1）。

表1 計(jì)算結(jié)果、模型結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of calculation results,model results and test results

分析表1可知：

1）推導(dǎo)公式的計(jì)算值與文獻(xiàn)[20]的試驗(yàn)值相比，誤差不超過5%，處于允許范圍。計(jì)算值與模型值擬合程度較好，驗(yàn)證了公式的適用性。

2）分析模型一、二可知，考慮預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊處的滑移效應(yīng)時(shí)，得到的應(yīng)力增量比不考慮時(shí)的結(jié)果偏大，且更為接近試驗(yàn)值。說明力筋的滑移效應(yīng)帶來的影響不能忽視，后續(xù)研究中應(yīng)考慮此因素。

為進(jìn)一步驗(yàn)證公式的適用性，參考同樣布筋形式和加載形式下的模型梁數(shù)據(jù)，對(duì)文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[23]的數(shù)據(jù)進(jìn)行理論的驗(yàn)證計(jì)算，并進(jìn)行對(duì)比（見表2）。

表2 計(jì)算值和試驗(yàn)值對(duì)比分析Table 2 Comparative analysis of calculated value and test value

分析表2可得：與試驗(yàn)值相比，公式的計(jì)算值偏低，但處于允許范圍，且誤差不大。表明公式計(jì)算所得的應(yīng)力增量與實(shí)際情況吻合良好。

5 結(jié)論

1）在考慮預(yù)應(yīng)力筋在轉(zhuǎn)向塊處滑移效應(yīng)的影響工況下，得出結(jié)構(gòu)變形與力筋伸長量之間的理論關(guān)系。并結(jié)合Euler-Bernoulli梁理論進(jìn)行簡化，推導(dǎo)出適用于波形鋼腹板體外預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力增量計(jì)算公式，將其應(yīng)用于已有的試驗(yàn)，對(duì)公式進(jìn)行驗(yàn)證，所得誤差較小，證明其有一定的適用性。

2）建立的Ansys模型模擬了試驗(yàn)梁從開始加載到結(jié)構(gòu)破壞的全過程。結(jié)果表明，模型計(jì)算得到的應(yīng)力增量與撓度近似正相關(guān)。在引入滑移效應(yīng)的影響后，模型的整體變形和應(yīng)力增量增大，承載能力降低。

3）有限元計(jì)算結(jié)果表明，以混凝土板開裂和頂?shù)装迨芾瓍^(qū)普通鋼筋屈服為分界點(diǎn)，組合梁的受彎破壞過程經(jīng)歷了彈性階段、開裂階段和破壞階段。