趙繼辰

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院 北京 100044)

考慮空氣阻力的落體和上拋運(yùn)動模型主要考查動能定理的理解和運(yùn)用[1].2022年新高考湖南物理第14題提供了一個空氣阻力大小為恒定值的物理情境，還涉及了非彈性碰撞的問題，頗有新意.

1 試題呈現(xiàn)

(a)

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比；

(2)若籃球反彈至最高處h時，運(yùn)動員對籃球施加一個向下的壓力F，使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處，力F隨高度y的變化如圖1(b)所示，其中h0已知，求F0的大??；

(3)籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點(diǎn)時，運(yùn)動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短)，瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I，經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I的大小.

2 情境分析

2.1 第一問分析

對于第一問，我們先來分析第一個情境：落體運(yùn)動.在此過程中，重力做正功，空氣阻力做負(fù)功.設(shè)與地面碰撞前的速率為v11，碰前的動能為

由動能定理可知

第二個情境：碰撞.設(shè)碰后速率為v12，碰后的動能為

第三個情境：上拋運(yùn)動.在此過程中，重力和空氣阻力均做負(fù)功.

作者簡介：趙繼辰(1984- )，男，博士，實(shí)驗(yàn)師，主要從事中學(xué)物理教育教學(xué)方面的研究工作.

由動能定理可知

則碰后速率與碰前速率之比

接下來，籃球會不斷重復(fù)這3個情境.設(shè)第n次碰撞前籃球從離地hn-1處下落，碰前速率為vn1，碰后速率為vn2，反彈至離地hn的最高處.籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比相同，因此有

2.2 第二問分析

對于第二問，我們需要從函數(shù)圖像中提取有用信息.對于F-s圖像，函數(shù)與橫坐標(biāo)軸圍成的面積即為力所做的功[2].從圖1(b)的圖像中我們可以得到，壓力F所做的功為

由動能定理可知

解得

2.3 第三問分析

解得

即

下面我們對數(shù)列sn進(jìn)行分析，首項(xiàng)s1=h.

對于數(shù)列{sn}的通項(xiàng)公式還可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

公式的前半部分為沒有受到?jīng)_量時的高度，公式的后半部分為受到?jīng)_量時所帶來的高度變化.

3 變式探討

我們不妨追加一問進(jìn)行對比探討.籃球從H高度處由靜止下落后，經(jīng)過N次反彈(N≥2)至最高點(diǎn)時，運(yùn)動員拍擊籃球(拍擊時間極短)，瞬間給其一個豎直向下的沖量NI0，拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I0的大小.

由動能定理可知

解得

由于

因此I0

4 總結(jié)

歸納演繹法是物理學(xué)研究中的一種重要的科學(xué)思維方法.近年來，采用數(shù)列通項(xiàng)公式求解的高考題型常有出現(xiàn)[3].對于多次重復(fù)出現(xiàn)的有規(guī)律性變化的物理情境，我們要運(yùn)用好已有的數(shù)學(xué)工具總結(jié)物理量的變化規(guī)律，輔助解題.