劉春輝, 白彥輝, 秦學(xué)成

(1. 赤峰學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001; 2. 赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001)

1 引言與預(yù)備知識

格[1-2]作為一類重要的偏序結(jié)構(gòu),其理論已經(jīng)深入到了數(shù)學(xué)的各個分支,在諸如代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)理邏輯和概率論等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.因此,關(guān)于格理論問題的研究也一直是國內(nèi)外研究者關(guān)注的重要領(lǐng)域.模糊集理論由Zadeh[3]于1965年創(chuàng)立,至今,該理論已經(jīng)在數(shù)學(xué)及與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的模式識別、控制、優(yōu)化和決策等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.隨著社會的進(jìn)步以及人類思維能力和認(rèn)知水平的不斷提高,人們?nèi)找嬲J(rèn)識到模糊集在改變傳統(tǒng)二值觀的同時卻忽視了事物的兩極性.為了彌補這一不足,1994年,Zhang[4]首次將不相容兩極性引入模糊集理論中,提出了雙極值模糊集(Bipolar fuzzy sets)概念,簡稱BF-集.之后,Zhang等[5]就BF-集理論對傳統(tǒng)模糊集理論的突破給予了充分的肯定.自此,眾多學(xué)者紛紛加入到了BF-集理論及其應(yīng)用研究的行列,推動了這一理論的不斷成熟和完善.

近年來,人們將雙極值模糊集的思想方法成功應(yīng)用于抽象代數(shù)和邏輯代數(shù)問題的研究,進(jìn)一步拓展了雙極值模糊集的應(yīng)用領(lǐng)域[6-12].例如,2011年,Akram[7]提出了雙極值模糊圖的概念并研究了其性質(zhì)和刻畫.2012年,Majunder[8]提出并刻畫了Γ-半群的雙極值模糊Γ-子半群.2015年,Mahmood等[9]利用雙極值模糊h-理想刻畫了Hemi-環(huán).2017年,Jana等[11]研究了雙極值BCI/BCK代數(shù)的性質(zhì).2019年,筆者提出并研究了否定非對合剩余格的雙極值模糊理想問題[12].為了進(jìn)一步以全新的視角揭示格的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征、豐富格理論的研究內(nèi)容并拓展BF-集的應(yīng)用范圍,基于上述工作,本文將BF-集的概念和運算與格結(jié)構(gòu)相結(jié)合,引入雙極值模糊子格的概念并研究它們的性質(zhì)，獲得了一些有趣的結(jié)論.

為敘述方便,首先給出關(guān)于格和雙極值模糊集的一些基本概念.

定義 1.1[1-2]設(shè)(L,≤)是一個偏序集,如果L中任意2個元素x、y都有上確界x∨y和下確界x∧y,則稱(L,≤)(或簡稱L)為一個格.

定義 1.2[1-2]設(shè)L、M是2個格,f:L→M是映射,如果對任意的x,y∈L都有f(x∧y)=f(x)∧f(y)且f(x∨y)=f(x)∨f(y),則稱f為格同態(tài)或簡稱為同態(tài).若格同態(tài)f為單射(滿射),則稱f為格單(滿)同態(tài)；若格同態(tài)f為雙射,則稱f為格同構(gòu).

定義 1.3[4]設(shè)X是一個非空集合(論域),記：

J[0,1]={μP|μP:X→[0,1]}，

J[-1,0]={μN|μN:X→[-1,0]}.

是X上的一個雙極值模糊集,簡稱BF-集,簡記為

2 雙極值模糊子格的定義與性質(zhì)

本節(jié)給出雙極值模糊子格的定義并考察其性質(zhì).

則稱A是L的一個雙極值模糊子格,簡稱A是L的一個BF-子格.記由L的全體BF-子格構(gòu)成的集合為BFSL(L).

例 2.1設(shè)L={0,a,b,c,d,e,f,1},其Hasse圖如圖1所示.

圖 1 格L的Hasse圖

表 1

特別地,若

則A∩B和A∪B分別定義如下:

證明因為

所以對任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,由(BFSL1)得：

表 2

這是因為：

定理 2.2設(shè)L是格,

且對任意的α,β∈Λ有Aα?Aβ或Aβ?Aα，則

證明因為

所以對任意λ∈Λ有Aλ∈BFSL(L).任取x,y∈L,斷言:

3 BF-子格的同態(tài)像與原像

其中f-1(y)={x∈L|f(x)=y},稱f[A]為A在f下的像.

故f-1[B]滿足(BFSL1).類似可證

故f-1[B]亦滿足(BFSL2).因此,由定義2.1得

y1∧y2=f(x1)∧f(x2)=f(x1∧x2),

從而由f-1[B]∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

故B滿足(BFSL1).類似可證

證明設(shè)A∈BFSL(L)且具有(sup,inf)-性質(zhì).任取y1,y2∈M,則由f:L→M是格滿同態(tài)及A具有(sup,inf)-性質(zhì)得,存在x1,x2∈L使

x1∈f-1(y1),x2∈f-1(y2)

故由A∈BFSL(L)及(BFSL1)得:

4 結(jié)束語

眾所周知,格既是代數(shù)學(xué)的研究對象,又是偏序結(jié)構(gòu)的自然產(chǎn)物，所以其理論和應(yīng)用研究一直深受代數(shù)領(lǐng)域和序結(jié)構(gòu)領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者們的關(guān)注.本文將BF-集理論應(yīng)用于格結(jié)構(gòu)研究,引入了格的BF-子格的概念并考察其性質(zhì)特征,證明了BF-子格的BF-交集、同態(tài)像和同態(tài)原像也是BF-子格.同時,給出了BF-子格的BF-并集成為BF-子格的條件.這些結(jié)論為進(jìn)一步認(rèn)識格的內(nèi)部結(jié)構(gòu)提供了一個新的視角和途徑,進(jìn)一步拓展了BF-集的應(yīng)用范圍和格理論的研究思路.

致謝赤峰學(xué)院一流扶持學(xué)科(教育學(xué)、數(shù)學(xué)及計算機(jī)科學(xué)與技術(shù))建設(shè)項目對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.