弦σ模型中的Ricci流擾動(dòng)和Weyl反常系數(shù)

詹 路, 顏 駿, 黃 憶

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 四川 成都 610101)

Ricci流方程是現(xiàn)代微分幾何學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)工具.1982年Hamilton[1]在研究正曲率3維流形時(shí)建立了這一方程?gij/?t=-2Rij,2002年P(guān)erelman[2]根據(jù)Ricci流方程和幾何熵方法證明了任意3維緊致單連通流形均微分同胚于3維球面,即著名的龐加萊猜想.Ricci流方程可以用來研究不同類型的球定理[3],推廣的弦Ricci流發(fā)展方程已被用于進(jìn)行流形上的梯度估計(jì)[4],證明緊致化定理和存在完備的非緊致流形等數(shù)學(xué)問題[5-6].

另一方面,在理論物理中也存在和Ricci方程類似的重整化群流(renormalization group flow)方程.文獻(xiàn)[7-10]在計(jì)算2+ε維非線性σ模型的β函數(shù)時(shí)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了RGF方程;1985年Callan等[11]在計(jì)算玻色弦σ模型的β函數(shù)時(shí)得到了廣義的GRF方程組,并從這些方程中導(dǎo)出了修正形式的Einstein引力場方程.Gan等[12]研究了快子場所滿足的場方程,文獻(xiàn)[13-14]進(jìn)一步計(jì)算了玻色σ模型的3圈β函數(shù),熱β函數(shù)還可以用來研究弦宇宙學(xué)中的溫度對(duì)偶性質(zhì)[15].

Ricci流方程或重整化群方程,在理論物理的各個(gè)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.如Einstein-DeTurck方程中可能存在Ricci孤子解[26],在2維空間上可以計(jì)算出Ricci孤子的質(zhì)量[27],非平坦的Kahler度規(guī)也可以用來描述Ricci孤子[28],在文獻(xiàn)[29]中分析了重整化群流作用下,Ricci孤子(或Witten黑洞)的線性穩(wěn)定問題,結(jié)果表明Witten黑洞的線性擾動(dòng)模是不穩(wěn)定的.

在一些相關(guān)工作中,Ricci流方程或重整化群流方程,還被用來研究蟲洞、黑洞和宇宙學(xué)中的各種物理問題.如根據(jù)數(shù)值計(jì)算方法討論Ricci流中的蟲洞幾何結(jié)構(gòu)的演化[30],分析Ricci流作用下2維面積和Hawking質(zhì)量的變化規(guī)律[31]證明具有Gross-Perry-Yaffe負(fù)模類型的小黑洞在Ricci流作用下的不穩(wěn)定性質(zhì)[32],尋找2維時(shí)空中Ricci流方程的開弦和雜化弦黑洞解[33].Ricci流思想還被用來澄清Perelman熵和Bekenstein-Hawking幾何熵之間的關(guān)系[34-36],研究結(jié)果表明Perelman所定義的熵和B-H熵并沒有聯(lián)系[37].另外,文獻(xiàn)[38]根據(jù)重整化群流方程重新討論了Einstein空間中標(biāo)度因子的演化問題,結(jié)果發(fā)現(xiàn)在早期的軸子——Dilaton宇宙膨脹中,Hubble參量具有明顯的振蕩性質(zhì),但是最初的各向異性在隨時(shí)間的演化過程中都將消失.

1 玻色σ模型中的重整化β函數(shù)

非線性sigma模型的作用量定義[10]為

(1)

其中,i、j是標(biāo)量場的內(nèi)部指標(biāo),μ是時(shí)空指標(biāo).背景場方法的出發(fā)點(diǎn)就是將場分解為一個(gè)經(jīng)典場和一個(gè)量子場漲落場,又稱為Schwinger-DeWitt技術(shù),這一方法也被用于量子引力和彎曲時(shí)空量子場的重整化.通常的背景場量子分解是把φi在一些經(jīng)典場組態(tài)φi附近展開為

φi=φi+πi,

(2)

其中量子漲落πi可看做一個(gè)擾動(dòng).假設(shè)πi是一個(gè)新的協(xié)變場ξi的函數(shù),取φi為流形上在ξi上的切線矢量,于是可以把度規(guī)展開為ξi的冪級(jí)數(shù)

ξl1ξl2ξl3ξl4+…,

(3)

并且有

?μ(φi+πi)=?μφi+Dμξi+

(4)

所以作用量(1)式的在量子漲落背景下分解為

Ril1l2jξl1ξl2?μφi?μφj+

(5)

Riabj?μφi?μφjξaξb}+…,

(6)

其中

?μξn-iAμabξb,

(7)

〈0|Tξa(x)ξb(y)|0〉=δabΔ(x-y),

(8)

得到其對(duì)有效作用量的貢獻(xiàn)為

(9)

于是單圈重整化有效作用量成為

其中Rij是Ricci張量,這時(shí)非線性sigma模型的單圈β函數(shù)定義為

(11)

其中λ=Λ為動(dòng)量截?cái)鄥⒘?根據(jù)同樣的思路可導(dǎo)出如下雙圈β函數(shù)[37]

(12)

其中α為量子修正系數(shù).類似的方法還可以計(jì)算弦理論中各種場的β函數(shù),玻色弦的2維能動(dòng)張量定義[37]為

(13)

其中,Xμ為弦坐標(biāo),α′為弦張力系數(shù),γab為世界面度規(guī),S為Polyakov弦作用量.弦的共形對(duì)稱性(或Weyl對(duì)稱性)將導(dǎo)致

(14)

所以經(jīng)典玻色弦的能動(dòng)張量跡為零.另外,背景場耦合的弦σ模型作用量為

iεabBμν(X))?aXμ?bXν+α′ΦR},

(15)

其中,Gμν是引力子場,Bμν是反對(duì)稱張量場,Φ是Dilaton標(biāo)量場.在文獻(xiàn)[16-19]的一系列的工作中發(fā)現(xiàn),重整化能量動(dòng)量張量的跡可以用β函數(shù)表示為

(16)

其中3個(gè)系數(shù)表示背景場的單圈β函數(shù),其表達(dá)式分別為:

O(α′2),

(17)

O(α′2),

(18)

(19)

其中軸子場Bμν的場強(qiáng)定義為

Hμνk=?μBνk+?νBkμ+?kBμν,

當(dāng)時(shí)空維數(shù)取臨界維數(shù)D=26,共形場中心元c=(D-26)/6為零,并且3個(gè)系數(shù)

這時(shí)Weyl反常將抵消,由(17)～(19)式可導(dǎo)出背景場的單圈Ricci流方程.如果引力場中存在一定形式的流擾動(dòng),或出現(xiàn)量子漲落的修正,那么Weyl反常系數(shù)可以不再為零,這時(shí)弦σ模型中將會(huì)出現(xiàn)共形反常.

為促進(jìn)文化旅游可持續(xù)發(fā)展，丁蜀進(jìn)行整體規(guī)劃，精準(zhǔn)定位，結(jié)合山水生態(tài)環(huán)境，致力打造紫砂特色小鎮(zhèn)，統(tǒng)籌好當(dāng)?shù)氐臇|坡書院、前墅龍窯、蜀山南街等文化歷史遺存，以蜀山風(fēng)景區(qū)為核心、以青龍河為帶，重點(diǎn)建設(shè)集旅游、體驗(yàn)、制作于一體的紫砂文化旅游產(chǎn)業(yè)。告別粗放式單一性發(fā)展，以系統(tǒng)化、高質(zhì)量發(fā)展思維，致力將丁蜀規(guī)劃為集“陶瓷制作、陶瓷文化藝術(shù)交流、創(chuàng)意產(chǎn)品設(shè)計(jì)”的產(chǎn)、學(xué)、研、城一體化特色的文化體驗(yàn)與休閑度假宜居小鎮(zhèn)，力爭成為文旅創(chuàng)新的先導(dǎo)區(qū)，陶瓷設(shè)計(jì)創(chuàng)客的朝圣地，陶瓷藝術(shù)與經(jīng)濟(jì)的新地標(biāo)。□

2 雙圈Ricci流擾動(dòng)下的Weyl反常系數(shù)

當(dāng)軸子場Bμν=0,具有雙圈量子修正的Ricci流方程組[39-40]為

(20)

(21)

其中弦張力系數(shù)α′=ε?1,表示一種弱耦合情況,當(dāng)時(shí)空維數(shù)d=2時(shí),c=-4,方程(22)求跡后有

再由(23)式有

(25)

根據(jù)(24)式得引力場的Ricci流擾動(dòng)方程為

(26)

其中[]表示擾動(dòng)后的表達(dá)式,將度規(guī)擾動(dòng)設(shè)為

g00=α(x)+h(x,λ),

g11=β(x),g10=g01=0,

這里h(x,λ)?α(x),于是有

(27)

(28)

這時(shí)已忽略Rh的2階小項(xiàng),于是擾動(dòng)方程變?yōu)?/p>

Rh+2(gμν?μ?νΦ)h(1-εR)+

(29)

另外,標(biāo)量曲率擾動(dòng)部份的表達(dá)式為

(30)

Dilaton場導(dǎo)數(shù)項(xiàng)擾動(dòng)部份的表達(dá)式為

將(30)和(31)式代入(29)式化簡后,得如下引力場的Ricci流擾動(dòng)方程

(32)

在Dilaton場的Ricci流方程(25)中,有:

(33)

(34)

其中,g=α,β是度規(guī)的行列式,如果在方程(26)右邊僅考慮引力場的Ricci流擾動(dòng),而Dilaton場不發(fā)生擾動(dòng),這時(shí)擾動(dòng)后的Dilaton場方程成為

此時(shí)(35)式左邊Dilaton場的擾動(dòng)解設(shè)為

Φ(x,λ)=Φ(x)+φ(x,λ),

那么有

(36)

在推導(dǎo)Ricci流擾動(dòng)方程(32)和(36)時(shí),已假定引力場和Dilaton場的擾動(dòng)系數(shù)和雙圈量子漲落系數(shù)ε處于同一數(shù)量級(jí),這時(shí)模型中同時(shí)考慮了擾動(dòng)和量子修正2種效應(yīng)的作用,這種作用使Ricci流擾動(dòng)方程達(dá)到平衡.當(dāng)引力場中不存在的流擾動(dòng)或量子漲落的修正,那么由Ricci流方程組(22)和(23),可以得到度規(guī)α(x)和Dilaton場Φ(x)所滿足的Cigar(雪茄)孤子解,Lambert等[29]曾研究過這類孤子在重整化群流的作用下的穩(wěn)定性質(zhì).

這時(shí),再根據(jù)(32)和(36)式可進(jìn)一步導(dǎo)出h(x,λ)和φ(x,λ)所滿足的量子擾動(dòng)解.設(shè)

h(x,λ)=eQλf(x),

那么可以得到如下引力場和Dilaton場的Weyl反常系數(shù):

(37)

其中,λ為Ricci流擾動(dòng)參量,Q為擾動(dòng)指數(shù),f(x,Q)為擾動(dòng)方程(32)的定態(tài)解,ε為弦張力系數(shù),標(biāo)量曲率的表達(dá)式為

(38)

因此,在非臨界的2維玻色弦模型中,當(dāng)存在Ricci流擾動(dòng)或現(xiàn)量子漲落的修正,那么引力場和Dilaton場的Weyl反常系數(shù)均不為零,如果雪茄孤子解和量子擾動(dòng)解可以求出,通過(37)和(38)式就可以導(dǎo)出2種場的Weyl反常系數(shù)的具體表達(dá)式.

3 單圈Ricci流擾動(dòng)下的Weyl反常系數(shù)

當(dāng)軸子場Bμν≠0,參數(shù)化后的單圈量子修正的Ricci流方程組[41-42]為

(39)

(40)

(41)

其中,Gμν為背景引力場,Φ為Dilaton標(biāo)量場,Bμν為軸子場,中心元c=-4,軸子場的場強(qiáng)定義為

Hμνk=?μBνk+?νBkμ+?kBμν,

(42)

度規(guī)擾動(dòng)設(shè)為

g00=α(x)+h(x,λ),

Dilaton場的擾動(dòng)設(shè)為

Φ(x,λ)=Φ(x)+φ(x,λ),

軸子場的擾動(dòng)設(shè)為

Bμν=Bμν(x)+bμν(x,λ).

軸子場的矩陣設(shè)為如下形式

(43)

其中,對(duì)角元B00=B11=0,非對(duì)角元B01=B10≠0,軸子場強(qiáng)中的乘積分量為

(44)

在Ricci流方程組(39)～(41)中,Ricci張量的2個(gè)分量為:

(45)

Dilaton場的各個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別為:

(46)

(47)

此時(shí),沒有擾動(dòng)的Ricci流方程組的5個(gè)分量方程成為:

(49)

(50)

(51)

(52)

當(dāng)

?B01/?λ=?B10/?λ=0,

由軸子場方程(50)和(51)解得

V0是積分常數(shù).根據(jù)(44)～(52)式可導(dǎo)出如下完整形式的場方程組:

(54)

(55)

對(duì)Ricci流方程(39)求跡后得

(56)

引力擾動(dòng)后的流方程變?yōu)?/p>

(57)

其中,Rh和[gμν?μ?νΦ]h都已經(jīng)導(dǎo)出,由(30)和(31)式所表示,最后一項(xiàng)軸子場乘積項(xiàng)需要計(jì)算,這時(shí)有

(58)

所以得

(59)

于是擾動(dòng)后的軸子場乘積項(xiàng)成為

(60)

根據(jù)(30)和(31)式,以及(60)式得到如下Ricci流擾動(dòng)方程

(61)

(62)

4 結(jié)論與討論

本文主要研究了2維弦σ模型中,Ricci流擾動(dòng)下的Weyl反常系數(shù).在引言中簡要回顧了Ricci流方程或重整化群流方程的研究歷史和現(xiàn)狀,還介紹了Weyl反常系數(shù)和β函數(shù)之間的關(guān)系,以及Ricci流方程在孤子、蟲洞、黑洞和宇宙學(xué)中的各種應(yīng)用.

在第1節(jié)中根據(jù)標(biāo)量場的漲落技術(shù)和背景場展開方法,導(dǎo)出了玻色σ模型的單圈β函數(shù),給出了弦σ模型中的能動(dòng)張量跡的表達(dá)式,以及引力子場Gμν、軸子場Bμν、Dilaton場Φ的β函數(shù)公式.在第2節(jié)中研究了2維時(shí)空中的雙圈量子修正下的Ricci流方程組,導(dǎo)出了引力場擾動(dòng)h(x,λ)和Dilaton場擾動(dòng)φ(λ)滿足的微分方程組,給出Weyl反常系數(shù)的表達(dá)式.在第3節(jié)中研究了2維時(shí)空中軸子場作用下的Ricci流方程組,導(dǎo)出了引力場擾動(dòng)h(x,λ),軸子場擾動(dòng)b(x,λ)和Dilaton場擾動(dòng)φ(λ)所滿足的微分方程組,給出了Weyl方程系數(shù)的表達(dá)式.

β函數(shù)是研究量子電動(dòng)力學(xué)(QED)的重整化性質(zhì)時(shí)引入的概念,通常是指有效耦合常數(shù)或有效耦合質(zhì)量隨動(dòng)量標(biāo)度的變化率[45],在QED理論中β>0,有效耦合常數(shù)隨動(dòng)量標(biāo)度的增加而變大,或隨距離標(biāo)度的增加而變小;在量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)中β<0,有效耦合常數(shù)隨動(dòng)量標(biāo)度的增加而減小,或隨距離標(biāo)度的增加而變大,即QCD含有漸近自由的性質(zhì).在2維弦理論中,β函數(shù)表示引力子場擾動(dòng)、軸子場擾動(dòng),以及Dilaton場擾動(dòng)隨動(dòng)量標(biāo)度的變化率.如果β函數(shù)都為正號(hào),則擾動(dòng)的變化和QED相似,隨動(dòng)量標(biāo)度的增加擾動(dòng)將增強(qiáng);如果β函數(shù)都為負(fù)號(hào),那么擾動(dòng)的變化和QCD相似,隨動(dòng)量標(biāo)度的增加擾動(dòng)將減弱.

本文在一般的形式體系中研究Ricci流擾動(dòng)方程和Weyl反常系數(shù),當(dāng)度規(guī)α、β、Φ場和Bμν場存在Ricci流孤子解時(shí),就可以推導(dǎo)出度規(guī)擾動(dòng)h(x,λ)的解析解,進(jìn)一步計(jì)算出Weyl反常系數(shù)的具體表達(dá)式,并通過β函數(shù)的符號(hào)判定出3種場的擾動(dòng)隨動(dòng)量標(biāo)度的變化關(guān)系,這是下一步研究工作的一個(gè)主要任務(wù).