宋璐佳

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為目標(biāo)，關(guān)注學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.為了達(dá)到這一目標(biāo)，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)探索，以此打牢終生發(fā)展的基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以“數(shù)學(xué)歸納法”一課教學(xué)為例，在教學(xué)中以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的解決過程中理解數(shù)學(xué)歸納法論證步驟的本質(zhì)，促進(jìn)了思維的發(fā)展和能力的提升.

關(guān)鍵詞：發(fā)展；問題；本質(zhì)

在唯分論的影響下，為了追求成績，教師常常大包大攬，將知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等以“灌輸”的方式講授給學(xué)生，這樣不僅影響了學(xué)生創(chuàng)新能力的提升，還限制了學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展^［1］.為了改變這一現(xiàn)狀，教師可以從學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問題，進(jìn)而在問題的解決過程中讓學(xué)生更好地理解知識(shí)，提高教學(xué)有效性.

“數(shù)學(xué)歸納法”是一種重要的數(shù)學(xué)論證方法，它在解決與自然數(shù)有關(guān)的命題中具有重要的價(jià)值.不過“數(shù)學(xué)歸納法”這一課為選修課，礙于課時(shí)的限制，大多教師以講授的方式呈現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容，這樣使得學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容的理解不夠深入，僅僅記住了其形式上的步驟，未能認(rèn)清問題的本質(zhì)，從而難以靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題.為了讓學(xué)生更好地理解和應(yīng)用“數(shù)學(xué)歸納法”，教師需要精心設(shè)置問題，幫助學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法論證步驟的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

1 借助問題情境，誘發(fā)思考

教學(xué)預(yù)設(shè)：根據(jù)已知，由a₁推導(dǎo)a₂，由a₂推導(dǎo)a₃，……，通過遞推猜想得到了結(jié)論.

問題3：這個(gè)猜想對不對呢？

師生交流探索：通過對前面幾項(xiàng)的驗(yàn)證可知該猜想是正確的，但通過該方法不能確保后面也一定正確，因此該猜想需要進(jìn)一步證明.

問題4：這個(gè)猜想該如何證明呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生通過思考發(fā)現(xiàn)，若按照剛剛的方法研究需要驗(yàn)證無限次，顯然該方法行不通.由此引發(fā)思考：應(yīng)該用什么方法來驗(yàn)證呢？

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生熟悉的數(shù)列題為切入點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)之前探究數(shù)列通項(xiàng)公式的方法具有一定的局限性，以此感覺探究新方法迫在眉睫，進(jìn)而有效吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生探尋新方法的熱情.同時(shí)，在教學(xué)中，以“問題”為主線，從學(xué)生的視角設(shè)計(jì)問題，調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與的積極性，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣^［2］.

這樣以認(rèn)知沖突為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)研究的必要性，讓學(xué)生帶著問題去探索大大地提升了學(xué)生的參與課堂的積極性，有利于提高教學(xué)效率.

2 借助生活實(shí)例，引導(dǎo)探究

在教學(xué)中，教師播放了一些“多米諾骨牌”游戲的視頻，并在課堂上自制了一個(gè)簡單的“多米諾骨牌”游戲，不過教師制作的游戲中，左邊一側(cè)的紅色骨牌能全部倒下，但是右邊一側(cè)的綠色骨牌卻不能全部倒下.結(jié)束演示后，教師讓學(xué)生思考這樣一個(gè)問題：

問題5：結(jié)合游戲過程，請思考讓骨牌全部倒下需要滿足什么條件.

師生交流探索：通過觀察、對比、交流，發(fā)現(xiàn)讓骨牌全部倒下需要滿足兩個(gè)條件：一是第一塊骨牌倒下（視頻中推倒第一塊的過程）；二是任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下會(huì)導(dǎo)致后一塊倒下.

設(shè)計(jì)意圖：從“多米諾骨牌”入手，讓學(xué)生體驗(yàn)“無數(shù)”骨牌倒下其實(shí)只需要兩個(gè)步驟，進(jìn)而為接下來的探究作鋪墊.

對于以上教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過觀察容易發(fā)現(xiàn)，若沒有推倒第一塊骨牌就不可能讓后面的骨牌倒下，于是易于總結(jié)歸納出第一個(gè)條件.而第二個(gè)條件不易于發(fā)現(xiàn)，為此教師應(yīng)給予一定的提示，通過設(shè)問、對比等方式讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，前一塊倒下是導(dǎo)致后一塊倒下的前提，它們之間是一種遞推關(guān)系.由此總結(jié)歸納出，只有同時(shí)滿足這兩個(gè)條件才能確保所有骨牌可以全部倒下.

3 創(chuàng)設(shè)問題情境，提煉知識(shí)

問題6：你認(rèn)為前面問題的證明和剛剛的游戲是否存在一定的相似性呢？你能通過類比分析解決剛剛的證明問題嗎？

師生探索：師生通過交流發(fā)現(xiàn)，兩者都存在遞推的特征.“第一塊骨牌倒下”所對應(yīng)的是“第一項(xiàng)成立”；“前一塊倒下導(dǎo)致后一塊倒下”所對應(yīng)的是“由前一項(xiàng)能夠推導(dǎo)后二項(xiàng)成立”，即一般地，若第k項(xiàng)a_k成立，則能推導(dǎo)第k+1項(xiàng)a_k+1也成立，則所有項(xiàng)成立.分析至此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明“無限次”可以用兩步完成.

問題7：結(jié)合剛剛問題的證明，你能將其推廣至一般命題的證明嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過理解“多米諾骨牌”原理讓學(xué)生解決剛剛證明中遇到的難題，并交流提煉數(shù)學(xué)歸納法.學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的形成過程，讓抽象的內(nèi)容更加生動(dòng)化、形象化，易于學(xué)生理解和接受^［3］.同時(shí)，在教學(xué)中，教師以學(xué)生發(fā)展為目標(biāo)，通過問題引導(dǎo)學(xué)生去交流、去概括、去抽象，有效地提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 借助錯(cuò)誤分析，深化理解

問題8：判斷下列數(shù)學(xué)歸納法的證明過程是否正確，若不正確，說出你的理由.

若n∈N^*，求證：2+4+6+…+2n=n²+n.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=2，等式右邊=2，結(jié)論成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k，

綜上可知，結(jié)論對于任意n∈N^*都成立.

設(shè)計(jì)意圖：通過主動(dòng)“示錯(cuò)”促進(jìn)知識(shí)的深化.從以上過程可以看出，對于第二步，表面上看應(yīng)用的是數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，判斷n=k+1時(shí)結(jié)論成立，但仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在證明的過程中沒有通過遞推實(shí)現(xiàn)“有限”到“無限”，沒有領(lǐng)悟問題的本質(zhì).

師生互動(dòng)交流發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)后，教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立糾錯(cuò).幾分鐘后，學(xué)生給出了正確的證明過程：

假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

左邊=2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2（k+1）=（k+1）²+（k+1）=右邊，結(jié)論也成立.

設(shè)計(jì)意圖：教師給學(xué)生充足的時(shí)間思考，通過主動(dòng)“糾錯(cuò)”進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知.

以上錯(cuò)誤在解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)，這樣主動(dòng)“示錯(cuò)”，既可以有效規(guī)避學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤，而且能讓學(xué)生進(jìn)一步理解“數(shù)學(xué)歸納法”的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生分析和解決問題能力的提升.

5 借助課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，有效的小結(jié)有助于知識(shí)的深化與升華.在此環(huán)節(jié)，教師先是讓學(xué)生分組小結(jié)，并展示小組交流結(jié)果，至此學(xué)生對本課內(nèi)容有了清晰的認(rèn)識(shí).為了進(jìn)一步深化學(xué)生的認(rèn)識(shí)，教師提出了如下問題.

問題9：我們知道數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)步驟，它們分別有什么作用呢？

問題10：數(shù)學(xué)歸納法中的第2步應(yīng)用的是“假設(shè)”，為什么要這么操作呢？

問題11：數(shù)學(xué)歸納法是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯幔?/p>

問題12：數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決哪類問題呢？

設(shè)計(jì)意圖：因?qū)W生的認(rèn)知水平有限，學(xué)生所總結(jié)歸納的內(nèi)容可能缺乏一定的深度，因此在學(xué)生總結(jié)歸納后，教師又進(jìn)行了有效的補(bǔ)充，從而讓學(xué)生更加全面、系統(tǒng)地認(rèn)知數(shù)學(xué)歸納法，升華認(rèn)知.

縱觀以上教學(xué)過程，教師在各個(gè)環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)歸納法”形成和發(fā)展的過程，使抽象的、難于理解的問題形象化、簡單化，讓學(xué)生認(rèn)清了問題的本質(zhì)，掌握了解決問題的方法.同時(shí)通過交流、提煉、抽象等活動(dòng)發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭立祥，李鴻艷.“問題意識(shí)”促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（20）：5-7.

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