甘娥忠，劉 焱，王海榮，王承光

（四川航天系統(tǒng)工程研究所，四川 成都 610100）

0 引 言

隨著裝備復雜程度日益增加，用戶對通用質(zhì)量特性要求也逐漸增多，各種指標之間存在不協(xié)調(diào)的情況時有發(fā)生。保障資源指標也面臨相同問題，在進行保障資源指標論證時，指標制定過多、過少、過高或過低都會導致裝備戰(zhàn)斗力的喪失或保障資源的浪費。為了保證整個研制過程及保障過程按優(yōu)化方向發(fā)展，需在裝備論證階段對保障資源指標進行擇優(yōu)和權(quán)衡。

雖然指標論證對綜合權(quán)衡具有重要需求，但由于數(shù)據(jù)缺失及權(quán)衡方法的局限性，導致綜合權(quán)衡得出的指標難以有效影響指標論證，造成目前裝備的保障資源指標論證基本上依靠參考同類型產(chǎn)品的局面。

2009 年GJB 1909A［1］提出了用綜合權(quán)衡的方法確定保障資源指標，給出了飛機、艦船等裝備的備件利用率和備件滿足率的定義及計算公式，其中備件利用率可以從經(jīng)濟效率的角度來衡量備件是否“物盡其用”，而備件滿足率則可以從軍事效益角度來衡量備件供應是否到位，進而評價戰(zhàn)備完好性，備件利用率和備件滿足率這一對參數(shù)有效地支撐了相關(guān)裝備的指標論證。但針對備件滿足率與備件利用率的相互制約特性，如何采取綜合權(quán)衡的方法確定出科學合理的結(jié)果，成為工程實踐的難題。

2015 年，應新雅等［2］結(jié)合隨艦備件配置問題，建立了備件利用率的概率模型，揭示了備件利用率的內(nèi)涵和實際工程意義，在此基礎上，建立以系統(tǒng)備件滿足率為約束、備件利用率為優(yōu)化目標的配置方案優(yōu)化模型；2016 年，李華等［3］針對保障概率這個目標優(yōu)化問題，提出將備件利用率也作為評價指標，提出了備件利用率的評估方法；2022 年，王俊龍等［4］建立了通用件的備件滿足率和備件利用率評估模型，通過算例分析了常用備件評估指標備件滿足率和備件利用率之間的關(guān)系。上述幾篇文章對備件利用率和備件滿足率均開展了理論分析，但對綜合權(quán)衡問題都是淺嘗輒止，未介紹具體方法。如何確定合理的指標，既保證裝備維修的需要又滿足經(jīng)濟性原則，是本文研究的主要目標。

本文以現(xiàn)場可更換單元（line replaceable unit，LRU）的備件需求量預測模型為基礎，通過理論分析和推導，提出典型條件下的備件滿足率和備件利用率權(quán)衡模型，為基于備件需求量預測的指標權(quán)衡模型提供了一套快速簡單且實用的理論方法。

1 模型假設

為了明確問題，特限定模型的適用范圍，做出如下假設：① 考慮LRU種類單一的系統(tǒng)；② 考慮初始備件配置；③ LRU 分類為關(guān)鍵件、重要件及一般件；④ LRU 失效立即進行備件更換；⑤ 備件失效概率服從特定分布；⑥ 不考慮備件更換的時間及等待時間；⑦ 不考慮備件的失效和退化；⑧ 不考慮備件空間的約束。

2 備件利用率與備件滿足率

在實際備件配置過程中，根據(jù)備件需求和配置情況的組合，備件可以劃分為4 種類型，包括：需求且已配置（記為TP）、無需求而配置（記為FP）、需求而未配置（記為FN）及無需求且未配置（記為TN）。令TP、FP、FN、TN分別代表這4 種類型備件對應的個數(shù)，顯然TP+FP=配置的備件數(shù)量，TP+FN=需求的備件數(shù)量［2］。分類結(jié)果可以借用機器學習領(lǐng)域的混淆矩陣方式進行呈現(xiàn)，見表1。

表1 備件分類混淆矩陣Tab.1 Spare parts classification confusion matrix

參考GJB 1909A—2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》，備件利用率（標記為P）的定義為“實際用到的備件數(shù)量和配置的備件數(shù)量之比”，即

備件滿足率（標記為R）的定義為“能提供的備件數(shù)量和需要的備件數(shù)量之比”，得出

考慮備件需求量和備件配置量是兩個互不相關(guān)的離散型隨機變量，可以將備件需求量標記為隨機變量i，備件配置量標記為隨機變量j，有i，j∈N。根據(jù)式（1）和（2）可知，P和R是和備件需求量i及備件配置量j相關(guān)的隨機函數(shù)。我們定義Pij為備件需求量為i、備件配置量為j時的備件利用率，同理Rij為備件需求量為i、備件配置量為j時的備件滿足率，結(jié)合表1提供的混淆矩陣進行分析，可得分段函數(shù)［5］

可以看出Pij≤1、Rij≤1，且當i=j時Pij=Rij=1。為了方便矩陣計算，根據(jù)式（3）和（4），備件利用率與備件滿足率的隨機函數(shù)可以用高階混淆矩陣的方式來表示，見表2和表3。

表2 備件利用率的高階混淆矩陣PTab.2 High-order confusion matrix P of spare parts utilization rate

表3 備件滿足率的高階混淆矩陣RTab.3 High-order confusion matrix R of spare parts satisfaction rate

3 備件需求量預測

備件需求量是一個隨機變量，且與裝備的任務時間、使用強度、使用環(huán)境、裝備中同種類型可更換單元數(shù)量等因素有密切關(guān)系，因此備件需求量預測的研究成果也異常豐富。

綜合來看，備件需求量的預測理論大致可以分為3 類［6］：第一類是以時間序列為基礎進行的預測，主要用到的方法包括指數(shù)平滑法、馬爾科夫鏈預測模型［7］等；第二類是以機器學習理論為基礎進行的預測，包括大量的支持向量機回歸預測［8］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡［9］等人工智能算法；第三類則是以可靠度為基礎進行預測，當制定推薦配置備件清單（recommended spare parts list，RSPL）或歷史保障數(shù)據(jù)不足時，常常會用到該方法。

為了便于理解，本文以第三種方法為例，假設失效的單元都可以即時更換，此時，備件需求量即等于任務時間內(nèi)失效單元個數(shù)，而可更換單元的失效可以借助泊松分布來計算［10］。更一般地，假設裝備中有某同種類型單元N個，且各單元服從指數(shù)分布，失效率均為λ，時間間隔為t，根據(jù)平均失效率的定義，可知

式中：ΔN表示時間t內(nèi)的失效個數(shù)的期望，帶入泊松分布公式可以計算出在t時間內(nèi)發(fā)生k次失效的概率為

4 綜合權(quán)衡方法

按照LRU 對整個裝備功能的影響程度，LRU 可以分為關(guān)鍵件、重要件和一般件3種。關(guān)鍵性越高，表明其對裝備系統(tǒng)的影響越大，該類LRU對備件的需求也越大。因此，關(guān)鍵件，通?？紤]其軍事效益，需要將備件滿足率指標作為硬性指標；一般件，其失效不會對人員安全和裝備任務的執(zhí)行產(chǎn)生很大影響，為了考慮其經(jīng)濟效益，需要將備件利用率指標作為主要參考指標；重要件，則需要綜合權(quán)衡效果和經(jīng)濟兩種因素，既保證裝備維修的需要，又滿足經(jīng)濟性原則［11］，這也是綜合權(quán)衡的主要研究對象。

利用式（6）或其他預測模型，可以得到LRU 備件需求量的概率分布p(k)，再結(jié)合備件利用率和備件滿足率的高階混合矩陣P和R，可以算出備件配置量為j條件下的備件利用率期望Pj與備件滿足率期望Rj分別為

式中：K為t時間內(nèi)單元失效個數(shù)的極大值。

Pj和Rj是關(guān)于備件配置量j的隨機向量。為了直觀地顯示備件利用率與備件滿足率的制約關(guān)系，可以引入機器學習領(lǐng)域的“P-R曲線”［12］的概念，利用不同備件配置量條件下的Pj和Rj進行描點，以備件滿足率R為橫坐標、備件利用率P為縱坐標作圖，即得到了備件利用率-備件滿足率曲線，簡稱“P-R曲線”，“P-R曲線”的一般示意圖如圖1 所示。由圖1 可知，“P-R曲線”為單調(diào)減函數(shù)，且在極限條件下，當備件滿足率為0 時，備件利用率為1；當備件滿足率為1 時，備件利用率為0。

圖1 “P-R曲線”示意圖Fig.1 Diagram of “P-R curve”

對于關(guān)鍵件和一般件的指標權(quán)衡，處理非常簡單，直接利用“P-R曲線”的單調(diào)性，只需考慮在最小滿足備件滿足率或備件利用率的情況下，即可確定出對應最大的備件利用率和備件滿足率。

本文針對重要件，借鑒機器學習方法中的性能度量理論［13-14］，選出3種綜合度量方法，對備件利用率和備件滿足率的指標進行綜合權(quán)衡，確定最合適的保障資源指標。

4.1 “平衡點”法

“平衡點”（break-even point，BEP）顧名思義是“備件利用率=備件滿足率”時的取值，可以進行備件利用率和備件滿足率同等重要條件下的初步權(quán)衡，根據(jù)圖1，可以通過插值的方法很直觀地計算出實際案例中的BEP，具體示意圖如圖2所示。

圖2 BEP及最優(yōu)指標示意圖Fig.2 Diagram of BEP and the optimal indicators

考慮到在平衡點處備件配置量可能不為整數(shù)，從實際出發(fā)，可以將平衡點處備件配置量相鄰的備件配置量作為備選方案，再根據(jù)備件利用率和備件滿足率的重視程度，選擇左偏或右偏。

另外，“平衡點”法主要目的不是用來做指標的綜合權(quán)衡，而是用來對不同裝備之間的可保障性水平進行比較，BEP越大說明裝備的可保障性越好。

4.2 F1度量

和平衡點法的感性判斷不同，F(xiàn)1度量借用調(diào)和平均的概念，對“P-R曲線”上的每個點進行量化度量，F(xiàn)1度量計算式為

根據(jù)F1函數(shù)可以計算出F1最大值，此時的j則為最佳的備件配置量，而Pj和Rj即為最合適的備件利用率和備件滿足率指標，F(xiàn)1度量提供了兩個及兩個以上矛盾參數(shù)同等重要條件下的度量方法。

4.3 Fβ度量

Fβ度量［15］是F1度量的一般形式。對于備件利用率和備件滿足率有明顯的偏好，但又達不到關(guān)鍵件或一般件的程度時，可以通過Fβ度量進行權(quán)衡，計算式為

隨著對兩個指標的重視程度更加細化，可以形成高階代價矩陣［14］，對不同指標下的代價進行期望計算，得到更精確的衡量結(jié)果，本文對此不做詳細演算。

4.4 適用情形

上述各種方法提供了綜合權(quán)衡的工程化思路，不同方法適用的情形根據(jù)備件的重視程度各不相同，因此得到適用情形分類表見表4。

表4 不同權(quán)衡方法適用情形分類表Tab.4 Classification of different trade-off methods applicable to cases

5 案例分析

5.1 模型求解

假設某論證案例［10］：某雷達裝備具有同型可更換單元5個，可更換單元的失效率λ為10-4次/h，在2年保障時間內(nèi)，每年累計工作時間5 000 h，若可更換單元的部分失效不會導致裝備性能的完全消失，如何確定該型可更換單元保障資源指標。

考慮到該可更換單元的部分失效僅會導致裝備性能的部分下降，則該可更換單元可以認定為重要件。假設保障期內(nèi)備件的失效和退化忽略不計，考慮到可更換單元的壽命分布服從指數(shù)分布，在壽命周期內(nèi)的失效率為常數(shù)，可更換單元在單位時間內(nèi)失效的個數(shù)服從泊松分布，可以算出規(guī)定時間內(nèi)可更換單元的失效概率為

式中：N=5 表示裝備中同型可更換單元的個數(shù)；λ=10-4次/h 表示可更換單元的失效率；t=2×5 000 h表示裝備使用時間；k表示可更換單元失效個數(shù)。代入式（11）計算可得該型可更換單元的失效概率分布，見表5。

表5 可更換單元失效個數(shù)與失效概率的對應關(guān)系Tab.5 Correspondence between the number of LRU failures and the failure probability

考慮到失效個數(shù)大于等于12 時，失效概率很小，為了便于計算，僅考慮前11 個失效數(shù)據(jù)，將表5 中的數(shù)據(jù)代入式（7）和（8），Pj與Rj結(jié)果如表6所示。

表6 備件利用率期望Pj與備件滿足率期望RjTab.6 Spare parts utilization expectations Pj and spare parts satisfaction rate expectations Rj

備件利用率期望Pj與備件滿足率期望Rj與備件配置量的對應關(guān)系如圖3所示。

從圖3可知，備件配置量增加時，備件滿足率會逐漸提高，備件利用率將會逐漸下降，符合我們的預期。當增加備件配置量時，所有備件都將配置充足，肯定會有多余的備件剩下，這樣備件利用率就會下降；但若只配置最有把握的備件，難免會漏掉不少需求的備件，備件滿足率則會降低。

圖3 備件利用率及備件滿足率與備件配置量的對應關(guān)系Fig.3 Correspondence between spare parts utilization rate and spare parts satisfaction rate and spare parts configuration quantity

假設該案例中備件滿足率和備件利用率重要性相同，可以采用F1度量的方式進行權(quán)衡計算，將表5中的結(jié)果代入式（9），繪出對應的F1曲線圖并找到對應的F1最大值，如圖4所示。

圖4 F1度量及最大值示意圖Fig.4 Diagram of F1 measure and maximums F1

通過F1度量可以計算出，當備件配置量為5時，F(xiàn)1取得最大值，此時備件利用率為0.819，備件滿足率為0.886，據(jù)此可以確定出保障資源指標。

5.2 參數(shù)分析

裝備的保障資源指標和同型可更換單元的個數(shù)N、可更換單元的失效率λ、裝備使用時間t及備件滿足率對備件利用率的相對重要性β都有密切的關(guān)系。為了分析出不同參數(shù)對保障資源指標的影響，對不同參數(shù)條件下的保障資源指標進行比較。

案例中假設備件滿足率和備件利用率重要性相同，若假設有三型裝備備件滿足率對備件利用率的相對重要性β分別取0.5、1.0 和2.0，繪出他們對應的Fβ曲線圖及找到對應的Fβ最大值，如圖5所示。

圖5 Fβ最大值與β關(guān)系圖Fig.5 Correspondence between maximumsFβandβ

從圖5 可以看出，在一定范圍內(nèi)隨著備件滿足率重要性β值的增加，相對應的Fβ最大值也逐漸在右移，即最佳備件配置量增加，說明備件滿足率指標重要性的增加會導致備件配置量的增加。另外，備件滿足率指標重要性越高，其前段上升得越緩、后段下降得也越緩；備件利用率指標重要性越高，其前段上升得越急、后段下降得也越急，說明備件利用率比備件滿足率對備件配置量表現(xiàn)更敏感。

另外假設有三型裝備，同型可更換單元的個數(shù)為分別為6、8 和10，繪出三型裝備的“P-R曲線”及對應的BEP，如圖6所示。

由圖6 可以看出，當同型可更換單元的個數(shù)N逐漸增多時，該型裝備對應的BEP 會逐漸減小，表明裝備的備件利用率及滿足率兩個指標都在同步減小，說明裝備的可保障性在降低，不利于裝備的保障。根據(jù)式（11），可更換單元的失效率λ及裝備使用時間t的增加也會令裝備的可保障性下降，該結(jié)論為提高裝備保障性設計水平提供了參考。

圖6 BEP與同型可更換單元的個數(shù)N的關(guān)系Fig.6 Correspondence between BEP and number of the same type LRU

6 結(jié)束語

本文針對保障資源指標綜合權(quán)衡問題進行了研究，提出了一種便于工程實施的保障資源指標論證方法，具有可遷移性強的特點，為裝備的保障資源指標確定及備件的精確保障提供了理論依據(jù)。后續(xù)將結(jié)合多型LRU的問題，開展系統(tǒng)保障資源指標的論證工作，以應對復雜系統(tǒng)的論證需求；結(jié)合系統(tǒng)保障資源指標的論證，開展保障資源設計技術(shù)研究。