李新其,李紅霞,邱艷粉

(1.火箭軍工程大學(xué) 初級(jí)指揮系,陜西 西安 710025;2.西北政法大學(xué) 軍民融合發(fā)展研究院,陜西 西安 710025;3.中國(guó)人民解放軍96723部隊(duì),廣西 柳州 545000)

常規(guī)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)效能分析的方法大致分為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法和解析方法兩大類[1]。解析法具有公式透明性好、推導(dǎo)過程嚴(yán)密、理論體系完備等優(yōu)點(diǎn),便于快速分析武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能;系統(tǒng)效能分析(system effectiveness analysis,SEA)方法是目前效能分析理論中研究復(fù)雜動(dòng)態(tài)環(huán)境下系統(tǒng)效能的最得力工具,具有較強(qiáng)的分析能力與廣泛適用性[2-3]。

目前,以跑道失效率(disability pavement rate,DPR)為指標(biāo)的封鎖把握程度的建模研究都以成爆彈量(成功命中單個(gè)目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)量)為基礎(chǔ)和前提,但無法描述動(dòng)態(tài)、不確定條件下突防戰(zhàn)法、突防技術(shù)對(duì)于作戰(zhàn)效果的影響[4-6]。因此,在推導(dǎo)出封鎖把握程度的解析模型后,還必須根據(jù)導(dǎo)彈攻防體系對(duì)抗的特點(diǎn),對(duì)封鎖把握程度的分布密度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷分析[7]。因此,本文從作戰(zhàn)效能分析理論的基本原理出發(fā),結(jié)合常規(guī)導(dǎo)彈封鎖機(jī)場(chǎng)跑道的作戰(zhàn)特點(diǎn),建立一種常規(guī)導(dǎo)彈封鎖機(jī)場(chǎng)跑道作戰(zhàn)效能分析的解析方法。在此基礎(chǔ)上,根據(jù)SEA效能分析的要求,結(jié)合現(xiàn)有研究成果,建立了封鎖時(shí)間性能量度的解析計(jì)算模型,并重點(diǎn)就封鎖時(shí)間性能量度的分布函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

1 基本框架

運(yùn)用SEA方法分析常規(guī)導(dǎo)彈打擊機(jī)場(chǎng)跑道作戰(zhàn)效能的步驟如下：

①確定常規(guī)導(dǎo)彈封鎖作戰(zhàn)的系統(tǒng)、環(huán)境和使命。

這里,系統(tǒng)指常規(guī)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)。環(huán)境指與系統(tǒng)發(fā)生作用而不屬于系統(tǒng)的所有元素的集合。如圖1所示,展示了導(dǎo)彈武器系統(tǒng)與作戰(zhàn)環(huán)境。

圖1 導(dǎo)彈武器系統(tǒng)及其環(huán)境Fig.1 Missile weapon system and its environment

可用以下兩方面數(shù)據(jù)作為描述系統(tǒng)環(huán)境的環(huán)境原始參數(shù)：一是目標(biāo)信息,包括跑道長(zhǎng)Lx、寬Ly,最小起降窗口長(zhǎng)Lx,min、寬Ly,min,單彈坑平均修復(fù)時(shí)間等;二是導(dǎo)彈飛行環(huán)境參數(shù),包括各類反導(dǎo)防御武器系統(tǒng)的組成、部署、技術(shù)戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)、戰(zhàn)法等。令A(yù)表示所有環(huán)境原始參數(shù)組成的向量。

使命是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程的秩序,常規(guī)導(dǎo)彈武器系統(tǒng)封鎖機(jī)場(chǎng)的使命就是使敵空軍基地在一定時(shí)間內(nèi)喪失保障飛機(jī)起降的主要功能。

②由作戰(zhàn)使命抽象出性能量度空間{Oi}。

描述系統(tǒng)完成使命品質(zhì)的“量”稱為性能量度或?qū)傩?記為O。第i個(gè)性能量度則記為Oi,i=1,2,…,n。令描述封鎖把握程度的性能量度及跑道封鎖時(shí)間分別用O1和O2表示,則：

式中：φDPR為跑道失效率,tf為跑道失效時(shí)間。

③根據(jù)封鎖作戰(zhàn)特點(diǎn),建立系統(tǒng)原始參數(shù)到性能量度的映射。

描述系統(tǒng)能力,影響性能量度的獨(dú)立變量被稱為系統(tǒng)原始參數(shù),這里主要指武器方面的性能及數(shù)據(jù),如武器精度、拋撒半徑、裝填子彈數(shù)、單枚子彈對(duì)跑道的毀傷能力(毀傷面積),發(fā)射彈量、發(fā)射成功率、飛行可靠性、突防概率等。令V表示所有系統(tǒng)原始參數(shù)組成的向量。如果性能量度空間O是n維的,那么

{Oi}v={fvi(V,A)}v,i=1,2,…,n

根據(jù)攻防對(duì)抗環(huán)境和封鎖與反封鎖對(duì)抗過程,需要分別建立O1和O2的映射,即研究突防及封鎖與反封鎖對(duì)抗條件下跑道失效率φDPR和跑道失效時(shí)間tf的建模問題。

④根據(jù)封鎖作戰(zhàn)的任務(wù)要求,建立使命原始參數(shù)到性能量度的映射。

用于描述使命特征的基本變量稱為使命原始參數(shù),這里使命原始參數(shù)就是作戰(zhàn)要求的封鎖時(shí)限和封鎖把握程度。令G表示所有使命原始參數(shù)組成的向量。使命映射通過把使命原始參數(shù)的值域要求轉(zhuǎn)化為性能量度O的值域要求而實(shí)現(xiàn)。顯然使命映射fg(G,A)也應(yīng)是n維,且有：

{Oi}g={fgi(G,A)}g

導(dǎo)彈部隊(duì)封鎖機(jī)場(chǎng)跑道的任務(wù)要求可以簡(jiǎn)單表示為至少封鎖機(jī)場(chǎng)若干時(shí)間(tXX)的把握程度不低于某一概率(PYY),其使命軌跡在性能空間內(nèi)的區(qū)域必須滿足不等式：

⑤由fv和fg在{Oi}空間上產(chǎn)生系統(tǒng)軌跡Lv和使命軌跡Lg。

假設(shè)經(jīng)過推導(dǎo)或統(tǒng)計(jì)分析得到O1和O2的分布密度函數(shù),分別記為f1(O1)和f2(O2);O1和O2的聯(lián)合分布密度函數(shù)記為f(O1,O2)。根據(jù)前文的分析,可以畫出系統(tǒng)映射和使命映射在性能空間{Oi}上所生成的系統(tǒng)軌跡Lv和使命軌跡Lg。如果O1和O2的分布密度函數(shù)相互獨(dú)立,當(dāng)f1(O1)和f2(O2)都為正態(tài)分布,或都為均勻分布時(shí),Lv和Lg的關(guān)系分別如圖2、圖3所示。

圖2 正態(tài)分布下性能量度空間上示意圖Fig.2 Performance measure space under normal distribution

圖3 均勻分布下性能量度空間上示意圖Fig.3 Performance measure space under uniform distribution

⑥根據(jù)兩軌跡空間的重合程度求解封鎖作戰(zhàn)效能E。

(1)

式中：Lv∩Lg為系統(tǒng)軌跡Lv與使命軌跡Lg的交集。

根據(jù)式(1),可以計(jì)算出常規(guī)導(dǎo)彈封鎖機(jī)場(chǎng)跑道的作戰(zhàn)效能E。如果f1(O1)和f2(O2)相互獨(dú)立,聯(lián)合分布密度函數(shù)f(O1,O2)=f1f2,則常規(guī)導(dǎo)彈封鎖機(jī)場(chǎng)跑道的作戰(zhàn)效能為

E=?Lv∩Lgf1(O1)f2(O2)dO1dO2

2 封鎖把握程度的解析模型

2.1 成爆彈威力環(huán)“切割”跑道的解析模型

為解決子母彈封鎖機(jī)場(chǎng)跑道毀傷效果指標(biāo)計(jì)算的解析算法問題,本文提出采用威力環(huán)“切割”跑道思想8-9]。具體思想為：

①按最小起降窗口的長(zhǎng)度要求,將跑道“切割”分成若干段;

②假設(shè)子彈在拋撒圓內(nèi)均勻散布,其半徑為Rth,子彈對(duì)跑道的平均毀傷半徑為Rde,用Rλ表示威力環(huán)半徑,則Rλ=Rth+Rde。

③當(dāng)導(dǎo)彈拋撒子彈后形成的威力環(huán)使跑道不存在供飛機(jī)起降的最小起降窗口時(shí),認(rèn)為該段跑道被成功“切割”。

④綜合各段跑道成功“切割”的概率,得到多枚彈打擊下整條跑道的失效概率。

按以上思想可以得到單瞄準(zhǔn)點(diǎn)、單枚成爆彈情況下,跑道被成功“切割”概率的解析表達(dá)式[10]。

命題一假設(shè)第j段待“切割”的跑道,其寬為L(zhǎng)y,b,其長(zhǎng)為2Lx,d,最小起降窗口長(zhǎng)Lx,min,寬Ly,min,導(dǎo)彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)位于該段跑道中央。第j段跑道被一枚成爆彈成功“切割”的概率[5]的解析計(jì)算式為

證明

1)以跑道中心為原點(diǎn),跑道方向?yàn)閤軸方向,建立直角坐標(biāo)系。

根據(jù)瞄準(zhǔn)點(diǎn)選取方法,可知待切割的長(zhǎng)為2Ld這段跑道,一般2Lx,d≤2Lx,min,令ΔL=Lx,min-Lx,d。

2)根據(jù)母彈落點(diǎn)、威力環(huán)與被“切割”跑道之間的幾何關(guān)系,確定有利彈著區(qū)。

②母彈彈著點(diǎn)向左移動(dòng)。顯然橫向(即左右方向)之間的移動(dòng),不能超過-Rλ-ΔLx。

④母彈彈著點(diǎn)向其他方位移動(dòng)。

圖4 母彈有利彈著區(qū)示意圖Fig.4 Schematic diagram of the favorable impact area of projectile

3)計(jì)算單瞄準(zhǔn)點(diǎn)、單枚成爆彈情況下,某段跑道被成功“切割”的概率。

根據(jù)火力運(yùn)用理論可知,求某段跑道被成功“切割”的概率,就是計(jì)算母彈落入有利彈著區(qū)內(nèi)的概率。為此,做如下假設(shè)：

①導(dǎo)彈瞄準(zhǔn)點(diǎn)與落點(diǎn)中心重合,即不考慮系統(tǒng)誤差;

②母彈彈著點(diǎn)散布為圓散布,即σx=σy=σ,彈著點(diǎn)縱向和橫向的分布密度分別為

為便于計(jì)算,把圖4中的有利彈著區(qū)劃分為5個(gè)部分,如圖5所示。

圖5 有利彈著區(qū)劃分示意圖Fig.5 Carve out spheres of favorable target

彈著點(diǎn)于有利彈著區(qū)內(nèi)的概率為

由于正態(tài)分布密度函數(shù)對(duì)于分布中心(與瞄準(zhǔn)點(diǎn)重合)是點(diǎn)對(duì)稱的,而區(qū)域SQFTGP對(duì)于瞄準(zhǔn)點(diǎn)也是點(diǎn)對(duì)稱的,且被積函數(shù)相等,所以：P{(x,y)∈D1}=P{(x,y)∈D2}=P{(x,y)∈D3}=P{(x,y)∈D4}。

對(duì)于D1有：

為保證計(jì)算積分的精度,將區(qū)域按x0,x1,…,xn等距離分割,則：

同樣,可得到P2,P3,P4的積分表達(dá)式。經(jīng)整理得：

對(duì)于D5,知其為一矩形區(qū)域,即：

簡(jiǎn)化為

故單瞄準(zhǔn)點(diǎn)、單枚成爆彈情況下,某段跑道被成功“切割”的概率P0為

證畢。

2.2 跑道失效率的解析計(jì)算模型

在此基礎(chǔ)上,可以推導(dǎo)出多枚成爆彈、多瞄準(zhǔn)點(diǎn)情況下跑道失效概率的計(jì)算式。

推論設(shè)某跑道瞄準(zhǔn)點(diǎn)有m個(gè),與各個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的各枚導(dǎo)彈發(fā)射、突防及解爆情況如表1。表中,解爆成功率為導(dǎo)彈命中機(jī)場(chǎng)跑道后,在爆炸前的一定時(shí)間內(nèi),被對(duì)方解除爆破的成功概率。

表1 瞄準(zhǔn)點(diǎn)與各枚導(dǎo)彈的發(fā)射成功概率、突防概率及解爆成功率關(guān)系表Table 1 Aim point and probability of Successful launch,Penetration probability,probability of Successful disexplosion

則跑道失效率的計(jì)算式為

(2)

式中：P0,ε為第ε枚成爆彈成功“切割”某段跑道的概率。

2.3 封鎖把握程度O1分布規(guī)律推斷

突防情況對(duì)封鎖把握程度計(jì)算結(jié)果的影響是顯著的,需結(jié)合具體的作戰(zhàn)環(huán)境,對(duì)O1的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析推斷。

在設(shè)定具體攻防對(duì)抗條件的基礎(chǔ)上,主要考慮運(yùn)用古典概率論方法研究各突防事件出現(xiàn)的概率,根據(jù)各突防事件的成爆彈量情況計(jì)算相應(yīng)的φDPR值,再綜合得出φDPR值的概率分布情況,最后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析,推斷φDPR服從何種分布。

2.3.1 問題描述

在導(dǎo)彈攻防對(duì)抗環(huán)境描述中,多枚導(dǎo)彈成功突防的概率服從二項(xiàng)式分布：

式中：Nmax為反導(dǎo)系統(tǒng)可同時(shí)攔截的來襲導(dǎo)彈枚數(shù)的最大值;N0為Nmax枚導(dǎo)彈中突防成功的枚數(shù);Pxy為反導(dǎo)武器對(duì)來襲導(dǎo)彈的攔截概率,1-Pxy為突防概率。

假設(shè)常規(guī)導(dǎo)彈部隊(duì)為打擊某機(jī)場(chǎng)跑道,瞄準(zhǔn)點(diǎn)的選擇和分配彈量分別為θ和αθ,其中θ=1,2,…,m。

表2 發(fā)射導(dǎo)彈編號(hào)與瞄準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系表Table 2 Missile number and its aim point

2.3.2 確定基本事件

2.3.3φDPR的分布函數(shù)

令某枚導(dǎo)彈被攔截記為“0”,該枚導(dǎo)彈成功突防記為“1”,某次突防對(duì)抗的結(jié)果可表示成如表3所示。

表3 發(fā)射導(dǎo)彈編號(hào)與瞄準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系表Table 3 The missile number and its aim point

P{φDPR=φDPR(AL)}=P(AL)

根據(jù)上式,得到φDPR的分布函數(shù)：

F1(φDPR)=P{φDPR≤φDPR(AL)}

2.3.4φDPR分布密度統(tǒng)計(jì)推斷

大量的統(tǒng)計(jì)分析表明,對(duì)于導(dǎo)彈的發(fā)射成功率、飛行成功率等成敗型事件,其參數(shù)大都服從于Beta分布[12],在推斷φDPR的概率密度函數(shù)時(shí),首先假設(shè)其近似服從Beta分布。

Beta分布的密度函數(shù)為

式中：0

2.3.5 關(guān)于模型計(jì)算精度的說明

用解析法建立起來的跑道失效率計(jì)算模型存在系統(tǒng)誤差。按本模型計(jì)算出來的結(jié)果,要略低于實(shí)際值,故要分析其計(jì)算的精度。

命題二本模型的計(jì)算精度估算公式為

根據(jù)該精度估算公式,可以計(jì)算出母彈拋撒半徑Rth=200 m,子彈毀傷半徑Rde=200 m,δCEP=180 m,最小起降長(zhǎng)度為800 m,實(shí)際選取瞄準(zhǔn)點(diǎn)間隔為700 m時(shí)的φDPR計(jì)算精度,其值為0.951 9;即使當(dāng)實(shí)際選取瞄準(zhǔn)點(diǎn)間隔為750 m時(shí),模型的計(jì)算精度仍有0.913 8,此計(jì)算精度可以滿足作戰(zhàn)需要。

3 封鎖時(shí)間性能量度O2的映射

3.1 延時(shí)子母彈排爆時(shí)間的計(jì)算模型

3.1.1 排爆作業(yè)過程的描述

為構(gòu)建延時(shí)子母彈排爆時(shí)間的計(jì)算模型,做出如下假設(shè)：

①攻方在對(duì)機(jī)場(chǎng)跑道進(jìn)行打擊時(shí),可單獨(dú)使用侵徹子母彈,也可組合使用延時(shí)子母彈,侵徹子母彈中的子彈成爆率為Px,未爆子彈和延時(shí)子母彈都視為排爆對(duì)象;

②所投放的所有子彈在跑道上分布均勻,且彈坑不重合;

③為保證跑道在最短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)一定的起降能力,排爆分隊(duì)僅對(duì)某塊能夠滿足飛機(jī)最小起降要求的矩形區(qū)域進(jìn)行排爆作業(yè);

④起爆時(shí)間按正態(tài)分布模型裝定,即：在侵徹跑道35～65 min的時(shí)間范圍,以均值為50 min,標(biāo)準(zhǔn)差為5 min進(jìn)行裝定;

⑤機(jī)場(chǎng)排爆分隊(duì)有M1組人機(jī)系統(tǒng),每組均可獨(dú)立作業(yè)(或并行作業(yè)),每組系統(tǒng)可經(jīng)受k次毀傷;

⑥延時(shí)子母彈的反排概率為Pr,每個(gè)排爆小組排除一枚延時(shí)子母彈的平均時(shí)間為t,并定義一輪排爆任務(wù),是指各排爆小組同時(shí)開始排爆,每組都排完一枚未爆彈或延時(shí)子母彈所需的時(shí)間,可以認(rèn)為每輪的時(shí)間均相同,都為t;

⑦當(dāng)全部排爆小組都被炸毀,排爆作業(yè)視為癱瘓,停止排爆,彈坑搶修分隊(duì)直接開始作業(yè)[13-14]。

3.1.2 排爆時(shí)間建模

根據(jù)前文中命中跑道子彈數(shù)的計(jì)算方法,可以得到某塊最小起降窗口區(qū)域內(nèi)實(shí)際含有的未爆侵徹子母彈和延時(shí)子母彈的總數(shù),記為M2每個(gè)排爆小組一次只對(duì)一顆子彈進(jìn)行排爆,則M1個(gè)排爆小組完成第一輪排彈任務(wù)時(shí),共對(duì)M1枚子彈進(jìn)行排爆操作,其中反排成功的彈為M1(1-Pr)個(gè),則有M1Pr個(gè)排爆小組受到一次損傷。記每組受損傷概率為Pda,則Pda=Pr。由于每個(gè)排爆小組可承受k次損傷,定義每個(gè)小組的受損傷狀態(tài)集為D={W0,W1,…,Wk}。對(duì)于任意一個(gè)排爆小組在排除n枚彈時(shí),所處的狀態(tài)是一個(gè)隨機(jī)變量,記為Xn。由于對(duì)任意n≥1,該小組的狀態(tài)值都只與前一輪狀態(tài)值有關(guān),故這是一個(gè)馬爾科夫鏈[15]。

M1個(gè)排爆小組處于狀態(tài)Wρ的有：

當(dāng)所有的排爆小組都處于Wk狀態(tài)時(shí),有：

M1個(gè)小組參與第n輪時(shí)所排除的彈數(shù)為

完成第n輪排爆作業(yè)時(shí)所排除的彈數(shù)為

完成第n輪排爆作業(yè)所用時(shí)間為tc=nt。比較M2與M3,當(dāng)M2=M3時(shí),表示完成了最小起降區(qū)域的排爆工作。

3.2 彈坑修復(fù)時(shí)間的計(jì)算模型

3.2.1 彈坑搶修過程的描述

彈坑搶修過程指跑道搶修分隊(duì)在搶修區(qū)域內(nèi)填補(bǔ)彈坑、修復(fù)道面的過程。對(duì)機(jī)場(chǎng)封鎖與反封鎖對(duì)抗過程的4個(gè)階段進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上給出如下假設(shè)：

①為保證跑道在最短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)一定的起降能力,跑道搶修分隊(duì)采取重點(diǎn)搶修策略,即彈坑搶修分隊(duì)的作業(yè)區(qū)域?yàn)槟硥K能夠滿足飛機(jī)最小起降要求的矩形區(qū)域;

②最小起降區(qū)域內(nèi)需修復(fù)的彈坑總數(shù)應(yīng)為已爆侵徹子彈(其成爆率為Px)與排爆失敗后延時(shí)子彈彈坑數(shù)(其反排概率為Pr)之和,令Mx1、Mx2分別為落入跑道的侵徹、延時(shí)子母彈總數(shù),則彈坑總數(shù)M4為

③跑道搶修分隊(duì)的編組能力視子母彈戰(zhàn)斗部的毀傷威力的不同而相應(yīng)變化,對(duì)第ω型戰(zhàn)斗部,可編成M5個(gè)組,由于不同型號(hào)戰(zhàn)斗部對(duì)跑道的毀傷能力相差很大,機(jī)場(chǎng)搶修分隊(duì)搶修時(shí)的工作量差別也很大,故進(jìn)行這樣的假設(shè)是必要的;

④各個(gè)修復(fù)分隊(duì)可并行作業(yè),且修復(fù)彈坑的能力相同;

⑤每個(gè)搶修分隊(duì)修復(fù)彈坑的時(shí)間服從于(αω,βω)間的均勻分布。

3.2.2 彈坑修復(fù)時(shí)間建模

命題三已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為fX(x),分布密度為FX(x)。今取出容量為ψ的樣本,分別記為{x1,x2,…,xψ},記Y為樣本中的最大值,則Y=max{x1,x2,…,xψ},記Y的分布密度函數(shù)為FY(y),則樣本的最大值的概率密度函數(shù)為

證明

FY(y)=Pu(Y≤y)=Pu(x1≤y,…,xψ≤y)=
Pu(x1≤y)…Pu(xψ≤y)=[FX(y)]ψ

故其概率密度函數(shù)為

當(dāng)X服從均勻分布時(shí),有：

經(jīng)簡(jiǎn)化得：

(3)

證畢。

根據(jù)式(3),結(jié)合上述假設(shè)可以計(jì)算出重點(diǎn)搶修策略下的彈坑修復(fù)時(shí)間trp的概率密度函數(shù)。

①如果M4≤M5,則：

(4)

最后一輪修復(fù)時(shí)間的概率密度函數(shù)為

累計(jì)彈坑修復(fù)時(shí)間為

trp=M6trp1+trp2

(5)

由trp2

根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量分布密度求取方法[15],可推導(dǎo)其概率密度函數(shù)為

(6)

3.3 跑道失效時(shí)間的計(jì)算式

根據(jù)3.2.1中的分析,跑道失效時(shí)間應(yīng)為判定跑道損毀情況、確定應(yīng)急跑道搶修方案、排爆作業(yè)和彈坑修復(fù)四部分時(shí)間之和,記判定跑道損毀情況時(shí)間為tdm,確定應(yīng)急跑道搶修方案為tpl,排爆作業(yè)時(shí)間為twk,則有：

tf=tdm+tpl+twk+trp

(7)

式中：tdm和tpl均為定值。

3.4 O2的分布特性

由式(3)、式(6)和式(7)可推導(dǎo)得概率密度函數(shù)：

4 結(jié)束語

在機(jī)場(chǎng)遭受攻擊后,機(jī)場(chǎng)毀損情況判定系統(tǒng)完成判定所需時(shí)間tdm及機(jī)場(chǎng)確定應(yīng)急跑道搶修方案需要時(shí)間tpl往往并不是固定的,這里,為簡(jiǎn)化問題,都取其均值。如果能給定tdm、tpl的概率密度函數(shù),可以根據(jù)隨機(jī)變量和的卷積公式,獲得更為精確的跑道失效時(shí)間tf的概率密度函數(shù)。

如果直接根據(jù)式(5),利用隨機(jī)變量和的卷積公式[15]來推導(dǎo)累計(jì)彈坑修復(fù)時(shí)間trp的概率密度函數(shù),其結(jié)果非常復(fù)雜,因此,對(duì)最后一輪修復(fù)時(shí)間trp2進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理?？紤]到實(shí)際對(duì)抗過程中某些不確定因素的存在對(duì)跑道修復(fù)時(shí)間的影響,這種簡(jiǎn)化是合理的。