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      順應(yīng)“三新”趨勢 探索變式教學(xué)模式
      ——數(shù)學(xué)變式征集活動解析幾何專題試題選登

      2023-04-15 06:05:28作者單位姓名甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué)彭長軍
      關(guān)鍵詞:三新母題過點

      (作者單位 姓名:甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué) 彭長軍)

      (作者單位 姓名:吉林省磐石市第二中學(xué) 韓兆峰)

      (作者單位 姓名:河北省定州中學(xué) 趙偉娜)

      【精選變式題組】

      ( )

      【變式1】(知識變式)將夾角變?yōu)橹苯?/p>

      ( )

      【變式2】(方法變式)將條件變?yōu)橐阎切蜦1NF2的面積

      ( )

      (Ⅰ)求C的方程;

      【變式1】(知識變式)由雙曲線背景到橢圓背景的變式

      (Ⅰ)寫出C的方程;

      (Ⅱ)設(shè)過點F2且斜率為k(k≠0)的直線l與曲線C交于不同的兩點M,N,點P在y軸上,且|PM|=|PN|,求點P縱坐標(biāo)的取值范圍.

      【變式2】(方法變式)由斜率關(guān)系探究是否存在滿足條件的點

      (改編)已知動圓與圓F1:(x+5)2+y2=49和圓F2:(x-5)2+y2=1都外切.

      (Ⅰ)證明動圓圓心M的軌跡C是雙曲線的一支,并求其方程;

      (Ⅱ)若直線AB與軌跡C交于A,B兩點,Q(3,0),記直線AQ和BQ的斜率分別為k1,k2,且3k1k2+16=0,QP⊥AB于點P.證明:存在點N,使得|NP|為定值.

      【變式3】(綜合變式)對定直線及面積的最值的探究

      (Ⅰ)求Γ的方程;

      (Ⅱ)若AM⊥x軸于點M,BN⊥x軸于點N,直線AN與BM交于點C.

      (ⅰ)求證:點C在一條定直線上,并求此定直線;

      (ⅱ)求△ABC面積的最大值.

      (Ⅰ)求橢圓的方程;

      (Ⅱ)求四邊形ABCD面積的最小值.

      【變式1】(知識變式)曲線方程的變化:橢圓變?yōu)殡p曲線

      (Ⅰ)求雙曲線Γ的方程;

      (Ⅱ)如圖,過原點O作互相垂直的直線l1,l2分別交雙曲線于A,B兩點和C,D兩點,A,D在x軸同側(cè),求四邊形ABCD的面積的取值范圍.

      【變式2】(方法變式)兩弦位置關(guān)系的變化:垂直變?yōu)樾甭手e為定值

      (Ⅰ)求|AB|(用k表示);

      【變式3】(綜合變式)結(jié)論發(fā)生變化,求解梯形面積后利用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜形式的最值

      (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

      (Ⅱ)過點F且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A,B兩點,過點A,B分別作直線x=4的垂線,垂足分別為點D,E,求四邊形ABED面積的最大值.

      【母題詳解及答案】

      【母題1】【解題策略】充分利用已知條件通過幾何作圖、垂直輔助、巧用三角、定義搭橋等手段進行求解,相應(yīng)解題步驟的思維導(dǎo)圖如下:

      【解題思路】當(dāng)M,N兩點分別在雙曲線C的左、右兩支上時,

      解法一:如圖,在△NF1F2中,

      由余弦定理及雙曲線的定義,

      得|F1F2|2=|NF1|2+|NF2|2-2|NF1||NF2|·cos∠F1NF2,

      設(shè)直線MN與圓O的切點為點P,連接OP,

      過點N作NG⊥x軸于點G,

      易證Rt△F1PO∽Rt△F1GN,

      又|NF1|-|NF2|=2a,

      解法二:如圖,設(shè)直線MN與圓D的切點為P,連接OP,

      則OP⊥MN.

      過點F2作F2Q⊥F1N于點Q,

      則OP∥F2Q.

      又O是F1F2的中點,

      ∴|F2Q|=2|OP|=2a.

      由雙曲線的定義,

      得|NQ|+|QF1|-|NF2|=2a,

      ∴3a=2b,∴9a2=4b2=4c2-4a2,

      當(dāng)M,N兩點均在雙曲線的左支上時,

      如圖,在△NF1F2中,

      由余弦定理及雙曲線的定義,

      設(shè)直線MN與圓O的切點為點P,

      連接OP,過點N作NG⊥x軸于點G,

      易證Rt△F1PO∽Rt△F1GN,

      又|NF2|-|NF1|=2a,

      ∴4c2=4a2+a2=5a2,

      故選AC.

      【變式1】C

      【變式2】C

      (作者單位 姓名:甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué) 彭長軍)

      【母題2】【解題策略】(Ⅰ)由雙曲線的離心率及參數(shù)關(guān)系,根據(jù)曲線上的點滿足曲線方程,列方程(組),利用待定系數(shù)法即可解答;(Ⅱ)解法一:將直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法,體現(xiàn)了解析幾何的特征,是該題的解題通法,也是最優(yōu)解法;解法二:參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義,要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解,并能夠靈活的應(yīng)用到題目中;解法三:圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想,二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.

      所以軌跡C是以點F1,F2為左、右焦點的雙曲線的右支,

      (Ⅱ)解法一:點撥:直線方程與雙曲線方程聯(lián)立

      由題意可知直線AB,PQ的斜率均存在且不為0,

      設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),

      因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

      因為k1≠k2,所以k1+k2=0.

      解法二:點撥:參數(shù)方程法

      代入曲線C的方程16x2-y2-16=0(x≥1),

      整理得(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2msinθ1)t-(m2+12)=0.

      設(shè)TA=t1,TB=t2,

      設(shè)直線PQ的傾斜角為θ2,

      TP=t3,TQ=t4,

      由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

      得cos2θ1=cos2θ2.

      因為θ1≠θ2,所以cosθ1=-cosθ2,

      所以θ1+θ2=π,

      所以tanθ1+tanθ2=0,

      故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

      解法三:點撥:利用圓冪定理

      因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

      由圓冪定理知A,B,P,Q四點共圓.

      因為A,B,P,Q四點共圓,

      所以xy項的系數(shù)為0,

      即k1+k2=0.

      (Ⅱ)證明略.

      (作者單位 姓名:吉林省磐石市第二中學(xué) 韓兆峰)

      【母題3】【解題策略】

      (Ⅱ)由題意知橢圓的右焦點F(1,0).

      當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0,

      另一條弦所在直線的斜率不存在時,

      ②當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時,

      設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),

      設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

      消y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

      當(dāng)且僅當(dāng)4k2+3=3k2+4,

      即k=±1時,等號成立.

      【方法總結(jié)】解決圓錐曲線中的取值范圍與最值問題的基本策略有:

      幾何法:根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何的相關(guān)知識加以解決(如拋物線上的點到某個定點和焦點的距離之和、光線反射問題等等).

      代數(shù)法:題中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值.

      常從以下幾個方面考慮:

      ①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;

      ②利用已知參數(shù)的范圍,求出新參數(shù)的范圍,解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系;

      ③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;

      ④利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.

      (Ⅱ)[6,+∞).

      (Ⅱ)9.

      (作者單位 姓名:河北省定州中學(xué) 趙偉娜)

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