茹琴

摘要：文章考慮按已知紅利率和交易成本比例以及按固定紅利額和交易成本額支付一次紅利和交易成本，分別推導(dǎo)出含紅利和交易成本的三叉樹(shù)模型，通過(guò)矩陣算法計(jì)算該模型下期權(quán)的理論價(jià)格，并選取2020年9月25日至2020年12月23日上證50ETF三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)合約的交易數(shù)據(jù)，對(duì)上述模型進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，考慮紅利率和交易成本比例的三叉樹(shù)模型能夠較好地反映市場(chǎng)的真實(shí)情況，且精確度高于考慮固定紅利額和交易成本額的三叉樹(shù)模型和不含紅利和交易成本的三叉樹(shù)模型。

關(guān)鍵詞：歐式期權(quán)；三叉樹(shù)；紅利；交易成本

一、引言

近年來(lái)，我國(guó)金融市場(chǎng)發(fā)展迅速，市場(chǎng)規(guī)模不斷壯大，投資者對(duì)金融衍生產(chǎn)品的需求日益強(qiáng)烈。期權(quán)作為一種金融衍生產(chǎn)品，自1973年期權(quán)定價(jià)公式出現(xiàn)以來(lái)，日漸成為交易者投資決策時(shí)獲取利益信心的產(chǎn)品之一，在增強(qiáng)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定性和流動(dòng)性等方面都具有重要意義，因此期權(quán)定價(jià)是否合理顯得至關(guān)重要。隨著金融市場(chǎng)的迅速發(fā)展，期權(quán)的定價(jià)模型也在不斷地更新與修正，目前已有很多發(fā)展比較成熟的期權(quán)定價(jià)模型，二叉樹(shù)模型就是其中之一。該模型最早是在1979年由Cox等提出，此后因應(yīng)用簡(jiǎn)單高效得到了快速發(fā)展，隨之而來(lái)的問(wèn)題是該模型在實(shí)際應(yīng)用中存在模型誤差。為了解決二叉樹(shù)定價(jià)方法的精確度問(wèn)題，1986年，Boyle P P在二叉樹(shù)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，提出了三叉樹(shù)模型，隨后Ahn等證明了三叉樹(shù)定價(jià)模型的收斂效果以及精確性。目前有關(guān)二叉樹(shù)和三叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的研究很少有考慮支付紅利和交易費(fèi)用的情況，具體來(lái)說(shuō)，張鐵借助隨機(jī)誤差校正的方法構(gòu)造出了精確度較高的新型二叉樹(shù)參數(shù)模型。韓立杰等利用矩的思想構(gòu)造出了B-S定價(jià)公式Δt上一階近似的新型三叉樹(shù)模型定價(jià)公式。宮文秀等給出了復(fù)合期權(quán)三叉樹(shù)模型，并結(jié)合實(shí)例分析了相關(guān)影響變量的敏感度。李昊軒等借助隨機(jī)方程和原點(diǎn)矩思想，在二叉樹(shù)模型的基礎(chǔ)上，給出了三叉樹(shù)模型參數(shù)和期權(quán)價(jià)格的遞推表達(dá)，證明了三叉樹(shù)模型的收斂性和穩(wěn)定性更好。然而，實(shí)際的金融市場(chǎng)中，股票交易需要支付紅利和交易成本，因此在期權(quán)的定價(jià)模型中需要融入交易成本和紅利以適應(yīng)金融市場(chǎng)的實(shí)際情況。任芳玲等基于經(jīng)典的B-S-M模型，考慮交易費(fèi)用，并利用模型的解析式法，二叉樹(shù)定價(jià)方法以及三叉樹(shù)定價(jià)方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格。宮文秀等在傳統(tǒng)的三叉樹(shù)定價(jià)方法基礎(chǔ)上，引入CARCH模型，給出了隨機(jī)市場(chǎng)模型下支付固定比例紅利和交易費(fèi)用的歐式看漲期權(quán)的三叉樹(shù)模型。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，將交易成本和紅利融入三叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型中的研究較少。因此，本文考慮支付一次紅利和交易成本，推導(dǎo)出含有交易成本和紅利的歐式期權(quán)的三叉樹(shù)模型，使該定價(jià)方法更符合金融市場(chǎng)的實(shí)際情況，并借助矩陣算法計(jì)算期權(quán)價(jià)格，最后通過(guò)選取上證50ETF三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)的實(shí)際交易數(shù)據(jù)，對(duì)文中模型進(jìn)行分析和檢驗(yàn)。

二、模型說(shuō)明

（一）三叉樹(shù)模型

三叉樹(shù)模型是在二叉樹(shù)模型基礎(chǔ)上的擴(kuò)展延伸，與二叉樹(shù)模型的定義類(lèi)似，不同于二叉樹(shù)模型的是，在期權(quán)有效期的每個(gè)時(shí)間段的節(jié)點(diǎn)上，期權(quán)價(jià)格的變化有三種可能：上升、持平和下降。如圖1所示，標(biāo)的資產(chǎn)在交易過(guò)程中有不確定的三種變化值uS、mS以及dS。

其中，u，m，d滿(mǎn)足d<m=1<u。假設(shè)股票價(jià)格上升的概率為pu，下降的概率為pd，保持不變的概率為pm，且概率測(cè)度需滿(mǎn)足：

pu+pm+pd=1

將期權(quán)的有效期[0，T]分為N個(gè)長(zhǎng)度為Δt（Δt＝T/N）的相等時(shí)間段，股票的初始價(jià)格為S0，i為第i（1≤i≤N）個(gè)時(shí)刻，j表示對(duì)應(yīng)時(shí)刻第j（1≤j≤2i-1）個(gè)支點(diǎn)，則在結(jié)點(diǎn)（i，j）處的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0ui-1dj-1

其中，1≤i≤N，1≤j≤2i-1。在不考慮支付紅利和交易成本時(shí)，令歐式期權(quán)的到期日為，到期日?qǐng)?zhí)行價(jià)格為K，fi，j為iΔt時(shí)刻在結(jié)點(diǎn)（i，j）的期權(quán)價(jià)格，則歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為：

fN，j＝max（0，S0uN-1dj-1-K），0≤j≤2N-1

在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度p下，可得到在任意結(jié)點(diǎn)（i，j）的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式：

fi，j=e-rΔt[pufi+1，j+pmfi+1，j+1+pdfi+1，j+2]

上述兩式中的參數(shù)滿(mǎn)足：

pu=■，

pm=■

pd=■，

u=M+■，d=M-■

其中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，σ為標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率，M＝■。

（二）已知紅利率和交易成本比例的三叉樹(shù)模型

期權(quán)在實(shí)際的金融市場(chǎng)交易中，往往會(huì)支付紅利和交易費(fèi)用，支付紅利會(huì)引起股票價(jià)格下降，支付交易費(fèi)用會(huì)引起股票價(jià)格上升，股票價(jià)格下降和上升的幅度分別為每股股票支付紅利和交易費(fèi)用的金額，依據(jù)金融市場(chǎng)交易規(guī)律，由紅利引起的股票價(jià)格下跌的幅度往往要高于由交易費(fèi)用引起的股票價(jià)格上漲的幅度。假設(shè)有效期內(nèi)期權(quán)僅支付一次紅利和交易成本，紅利率為δ，交易成本收取比例為k，在除息日這一時(shí)刻結(jié)點(diǎn)，按照上述方法可以得到：

除息日之前結(jié)點(diǎn)（i，j）的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0ui-1dj-1

除息日之后結(jié)點(diǎn)（i，j）的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0（1-δ+k）ui-1dj-1

如果有效期內(nèi)期權(quán)支付多次紅利，且除息日在結(jié)點(diǎn)（i，j）之前，令δi為時(shí)刻i之前所有除息日支付紅利的紅利率總和，結(jié)點(diǎn)（i，j）相對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0（1-δi+k）ui-1dj-1

對(duì)上述模型使用矩陣算法進(jìn)行計(jì)算，考慮僅支付一次紅利和交易成本，紅利率為δ，固定交易成本比例為k，則參照文獻(xiàn)可以得出如下定理：

定理1：到期日之前按照已知的紅利率δ和固定交易比例k支付一次紅利和交易成本，則歐式期權(quán)價(jià)格在時(shí)刻tN有2N-1種可能，分別為：

fN，1，fN，2，…，fN，2N-1

令行矩陣F＝（fN，1，fN，2，…，fN，2N-1），G為2N-1階矩陣，設(shè)

G＝p■? 0? … 0 0 0p■ p■ … 0 0 0p■ p■ … 0 0 00? p■ … 0 0 0┆┆？塤 ┆┆┆0? 0 … p■ 0 00? 0 … p■ 0 00? 0 … p■ 0 0

則T1時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格為：f=e-rNΔtFG■■，其中G■■為G的N次冪的第一列。

證明 由三叉樹(shù)方法可知TN-1時(shí)刻各結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格：

結(jié)點(diǎn)（N-1，1）的期權(quán)價(jià)格為：

fN-1，1＝e-rΔt[pufN，1+pmfN，2+pdfN，3]=e-rΔt（fN，1，fN，2，fN，，3，fN，4，…，fN，2N-1）（pu，pm，pd，0，…，0）T

結(jié)點(diǎn)（N-1，2）的期權(quán)價(jià)格為：

fN-1，2＝e-rΔt[pufN，2+pmfN，3+pdfN，4]=e-rΔt（fN，1，fN，2，fN，，3，fN，4，…，fN，2N-1）（0，pu，pm，pd，0）T

以此類(lèi)推，結(jié)點(diǎn)（N-1，2N-3）的期權(quán)價(jià)格為：

fN-1，2N－3＝e-rΔt[pufN，2N-3+pmfN，2N+pdfN，2N-1]

=e-rΔt（fN，1，fN，2，fN，，3，fN，4，…，fN，2N-1）（0，…，0，pu，pm，pd）T

綜合可得，

（fN-1，1，fN-1，2，…，fN-1，2N－3，0，0）＝e-rΔtFG1

繼續(xù)按照結(jié)點(diǎn)（N-1，1）的方法推導(dǎo)出結(jié)點(diǎn)TN-2時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格。

結(jié)點(diǎn)（N-2，1）的期權(quán)價(jià)格為：

fN-2，1＝e-rΔt[pufN-1，1+pmfN-1，2+pdfN-1，3]=e-rΔt（fN-1，1，fN-1，2，fN-1，3，fN-1，4，…，fN，2N－3，0，0）（pu，pm，pd，0，…，0）T

結(jié)合TN-1時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格可得

fN-2，1＝e-2rΔtFG1（pu，pm，pd，0，…，0）T

同理可得：

fN-2，2N－5＝e-2rΔtFG1（0，…，0，pu，pm，pd）T

整理得：

（fN-2，1，fN-2，2，…，fN-2，2N-5，*，*，0，0）＝e-2rΔtFG2

TN-2時(shí)刻共有2N-5個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此只需考慮（fN-2，1，fN-2，2，…，fN-2，2N-5），*表示的內(nèi)容不在本文考慮范圍內(nèi)，故沒(méi)有展示具體內(nèi)容。繼續(xù)向前推導(dǎo)每個(gè)時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格，最終可以得到T1時(shí)刻節(jié)點(diǎn)（1，1）的期權(quán)價(jià)格為：

（f1，1，*，…，*，0，0）＝e-NrΔtFGN

*表示的內(nèi)容不在研究范圍內(nèi)，因此，可以得到T1時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格為：

f＝e-NrΔtFG1N

其中，G1N為G的N次冪的第一列。則歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為：

fN，j＝max（S0（1-δ+k）uN-1dj-1-K，0）

其中，fN，j可由定理1中行矩陣F的各元素確定。如果期權(quán)在有效期內(nèi)多次支付紅利，可按上述算法進(jìn)行計(jì)算，即將一次支付紅利率δ替換為多次支付紅利率總和δi即可。

（三）已知紅利額和交易成本額的三叉樹(shù)模型

假設(shè)期權(quán)在有效期內(nèi)按已知的數(shù)額支付紅利和交易成本，則三叉樹(shù)圖在支付紅利和交易成本后的樹(shù)枝不再重合，若考慮支付多次紅利，需考慮的結(jié)點(diǎn)數(shù)過(guò)多，過(guò)程較為繁瑣，因此本文僅考慮支付一次紅利和交易成本。令股票的波動(dòng)率σ為常數(shù)，除息日τ在時(shí)刻lΔt和（l+1）Δt之間，支付紅利數(shù)額為D，支付交易成本數(shù)額為H，這時(shí)任意結(jié)點(diǎn)（i，j）處期權(quán)的價(jià)值需要從以下幾點(diǎn)來(lái)考慮。

1.當(dāng)i≤l時(shí)，此時(shí)未到除息日τ，因此不需要考慮支付紅利和交易成本，任意結(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0ui-1dj-1，1≤j≤2i-1

2.當(dāng)i=l+1時(shí)，此時(shí)已在除息日支付紅利和交易成本，任意結(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格為：

Si，j＝S0ui-1dj-1-D+H，1≤j≤2i-1

3.當(dāng)i=l+2時(shí)，此時(shí)任意結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格應(yīng)基于支付紅利和交易成本后的股票價(jià)格來(lái)計(jì)算，股票價(jià)格為：

u（S0ui-1dj-1-D+H），S0ui-1dj-1-D+H和d（S0ui-1dj-1-D+H）

其中1≤j≤2i-1，此時(shí)，三叉樹(shù)將有3（i+1）個(gè)結(jié)點(diǎn)而不是2i-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。則在（l+m）Δt時(shí)刻，將有（2m-1）（2l-1）個(gè)結(jié)點(diǎn)而不是2（l+m）-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。由于支付紅利和交易成本后，樹(shù)枝不再重合，為解決這一問(wèn)題，可將股票價(jià)格考慮為由兩部分組成，一部分考慮為不確定的股票價(jià)格，另一部分考慮為有效期內(nèi)期權(quán)支付紅利和交易成本決定的股票價(jià)格。令不確定的股票價(jià)格為S*，此時(shí)股票價(jià)格的波動(dòng)率σ*為常數(shù)，在期權(quán)的有效期內(nèi)有個(gè)除息日τ，且lΔt≤τ≤（l+1）Δt，則在任意時(shí)刻iΔt時(shí)刻，不確定的股票價(jià)格S*為：

S*=S，iΔt＞τS*＝S-（D-H）e-r（τ-iΔt），iΔt≤τ

通過(guò)這種方法可以將支付的紅利和交易成本加在每個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格上，這樣就可以恢復(fù)原來(lái)三叉樹(shù)的重合狀態(tài)，iΔt時(shí)刻恢復(fù)2i-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。此時(shí)，在iΔt時(shí)刻，任意結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格可由下面的公式給出。

當(dāng)時(shí)刻iΔt在除息日τ當(dāng)日或之前，即iΔt≤τ，任意結(jié)點(diǎn)股票價(jià)格為：

S*ui-1dj-1+（D-H）e-r（τ-iΔt），j=1，2，…，2i-1

當(dāng)時(shí)刻iΔt在除息日τ之后，即iΔt＞τ，任意結(jié)點(diǎn)股票價(jià)格為：

S*ui-1dj-1，j=1，2，…，2i-1

定理2：按已知數(shù)額D和H支付一次紅利和交易成本，則歐式期權(quán)價(jià)格在tN時(shí)刻的2N-1種可能，分別為：

fN，1，fN，2，…，fN，2N-1

行矩陣F和2N-1階下三角矩陣G與定理1一致，則在T1時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格為：

f=e-NrΔtFG■■

其中，G■■為下三角矩陣G的N次冪的第一列。該定理的證明過(guò)程和定理1一致，在此不作重復(fù)證明。在到期日T，歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：

fN+1，j＝max（■-K，0），j=1，2，…，2N-1；

其中，■的定義和上文一致，由不確定的股票價(jià)格S*確定，公式如下：

■＝S*ui-1dj-1+（D-H）e-r（τ-iΔt），iΔt≤τS*ui-1dj-1，iΔt＞τ。

三、實(shí)證分析

（一）變量選取及數(shù)據(jù)說(shuō)明

本文采用上證50ETF期權(quán)的實(shí)際交易數(shù)據(jù)對(duì)上述模型進(jìn)行實(shí)證分析，選擇樣本區(qū)間為期權(quán)持有期是2020年9月25日至2020年12月23日的三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)合約，分別為50ETF購(gòu)12月3844A、50ETF購(gòu)12月3746A以及50ETF購(gòu)12月3647A，數(shù)據(jù)均來(lái)源于東方財(cái)富Choice金融終端。根據(jù)上述模型可知，期權(quán)價(jià)格主要受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格K，到期日T，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率σ，紅利以及交易成本的影響。

1.標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S。本文選取樣本區(qū)間內(nèi)三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)在交易日的收盤(pán)價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S，選取三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)每日的收盤(pán)價(jià)作為期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格。例如，2020年10月15日標(biāo)的資產(chǎn)收盤(pán)價(jià)為3.4250元，則S＝3.4250。

2.期權(quán)執(zhí)行價(jià)格K。三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格分別為3.8440，3.7460以及3.6740。

3.到期日T。本文選取的樣本區(qū)間共58個(gè)交易日，上證50ETF期權(quán)一年大約有250天交易日，令Δt為期權(quán)上市的交易天數(shù)，則到期日為：

T＝■

4.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。本文選取和期權(quán)樣本同期的上海銀行間同業(yè)拆放利率6個(gè)月期shibor利率的平均值作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，經(jīng)過(guò)計(jì)算，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的年化利率為2.9%。

5.標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率σ。本文的標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率采用歷史波動(dòng)率，即選取樣本區(qū)間第一天之前的58天的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率，計(jì)算公式如下：

σ＝■×■

其中，μi=ln（Si/Si-1），i=1，2，…，n，n＝58。根據(jù)公式計(jì)算出標(biāo)的資產(chǎn)的歷史波動(dòng)率約為0.222。

6.紅利。樣本區(qū)間內(nèi)紅利的除息日為2020年11月30日，每份分紅為0.051元。紅利率為紅利和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的比值，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格本文選取除息日標(biāo)的資產(chǎn)的收盤(pán)價(jià)格，計(jì)算出紅利率為1.5%。

7.交易成本。本文選取上證50ETF期權(quán)的基金運(yùn)作費(fèi)用率0.6%作為交易成本比例，選取樣本區(qū)間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的均值和基金運(yùn)作費(fèi)用率的乘積作為交易費(fèi)用，計(jì)算結(jié)果為0.021。

（二）上證50ETF期權(quán)理論價(jià)格

根據(jù)對(duì)各參數(shù)的介紹，分別計(jì)算出所取樣本含紅利和交易費(fèi)以及不含紅利和交易費(fèi)的期權(quán)價(jià)格，并與實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行比較，三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)的理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格比較折線圖如圖2和圖3所示，BC表示含有紅利和交易成本的期權(quán)理論價(jià)格，NBC表示不含紅利和交易成本的期權(quán)理論價(jià)格，從中可以看出，無(wú)論是已知紅利率和交易成本比例，還是已知紅利額和交易成本額，三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)考慮紅利和交易費(fèi)用的理論價(jià)格以及不考慮紅利和交易費(fèi)用的理論價(jià)格均能較好地貼近實(shí)際價(jià)格，且價(jià)格的變化趨勢(shì)基本一致，也可以清晰地看出，考慮已知紅利率和交易成本比例的三叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型可以貼近上證50ETF期權(quán)的實(shí)際價(jià)格，說(shuō)明在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，紅利和交易費(fèi)用會(huì)影響期權(quán)的定價(jià)。

（三）誤差分析

除了折線圖直觀的描述之外，還可以通過(guò)誤差分析來(lái)說(shuō)明含紅利和交易費(fèi)用期權(quán)定價(jià)模型的效率。本文主要選取以下三種誤差來(lái)進(jìn)行分析，假設(shè)期權(quán)的實(shí)際價(jià)格為Pactual，期權(quán)的理論價(jià)格為Ptheory，樣本量為，則可以得到以下誤差分析公式：

1.平均絕對(duì)誤差（MAE）

MAE=■■｜P■-P■｜

2.平方絕對(duì)百分比誤差（MAPE）

MAPE=■■｜■｜×100%

3.均方根誤差（RMSE）

RMSE=■

根據(jù)上述三個(gè)誤差公式，對(duì)含紅利和交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)模型以及不含紅利和交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算出的理論價(jià)格分別進(jìn)行誤差分析，結(jié)果如表1所示。

MAE，MAPE以及RMSE主要衡量的是期權(quán)的實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格之間偏差的大小，值越小說(shuō)明模型的精確度更高。從表1中可以看出，三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)考慮紅利率和交易成本比例的理論價(jià)格的誤差均小于不含紅利和交易成本的理論價(jià)格的誤差，說(shuō)明在對(duì)上證50ETF進(jìn)行定價(jià)時(shí)，考慮紅利率和交易成本比例的定價(jià)模型精確度更高。也同樣可以看出考慮紅利額和交易成本額的定價(jià)模型的精確度要低于考慮紅利率和交易成本比例的定價(jià)模型。

四、結(jié)語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)三叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)方法的基礎(chǔ)上，考慮支付一次分紅和交易成本，推導(dǎo)出含有紅利和交易成本的歐式期權(quán)的三叉樹(shù)定價(jià)方法，再結(jié)合矩陣算法，得到了歐式期權(quán)價(jià)格基于三叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的數(shù)值求解方法。最后，本文選取2020年9月25日至2020年12月23日上證50ETF三份認(rèn)購(gòu)期權(quán)合約的交易數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果表明，考慮紅利率和交易成本比例的三叉樹(shù)定價(jià)方法可以較好地貼近期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格，更符合市場(chǎng)的真實(shí)情況，考慮紅利額和交易成本額的三叉樹(shù)定價(jià)方法相對(duì)來(lái)說(shuō)貼合度較弱，三種誤差MAE，MAPE以及RMSE也進(jìn)一步表明考慮紅利率和交易成本比例的三叉樹(shù)定價(jià)方法的精確度優(yōu)于不含紅利和交易成本的三叉樹(shù)定價(jià)方法以及考慮紅利額和交易成本額的三叉樹(shù)定價(jià)方法。

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（作者單位：湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）