KdV方程的一個六階空間精度守恒差分格式

郭禎 吳明明 胡勁松

本文對含齊次邊界條件的KdV方程的初邊值問題進行了數(shù)值研究. 通過在時間層進行二階精度的Crank-Nicolson差分離散、在空間層進行六階精度的外推組合差分離散，本文建立了一個具有六階空間精度的兩層非線性差分格式.該格式能夠合理地模擬原問題的兩個守恒量. 然后，本文利用能量方法證明了格式的收斂性和穩(wěn)定性. 數(shù)值算例驗證了該方法的有效性.

KdV方程； Crank-Nicolson差分格式； 六階精度； 守恒

O241.82A2023.031006

收稿日期： 2022-06-30

基金項目： 國家自然科學(xué)基金青年基金（11701481）；四川應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目（2019JY0387）

作者簡介： 郭禎（1997-）， 女， 碩士研究生， 主要研究方向為計算數(shù)學(xué). E-mail： gz2080118252@163.com

通訊作者： 胡勁松. E-mail： hjs888hjs@163.com

A conservative difference scheme with 6-order spatial accuracy for the KdV equation

GUO Zhen， WU Ming-Ming， HU Jin-Song

（School of Science， Xihua University， Chengdu 610039， China）

In this paper， we propose a two-level difference scheme with 6-order spatial accuracy for the initial boundary value problem of KdV equation with homogeneous boundary condition. In this scheme， the Crank-Nicolson differential dispersion with 2-order accuracy is used in the time layer and the discretization of space layer is performed by extrapolating difference combination with 6-order accuracy. This scheme can simulate two conservative properties of the original problem reasonably. Then the convergence and stability of the scheme are proved by using the energy method. Finally， numerical examples verify the performance of the scheme.

KdV equation; Crank-Nicolson difference scheme; 6-order accuracy; Conservation

（2010 MSC 65M60）

1 引 言

KdV方程［1］

ut+αuux+uxxx=0（1）

（其中α為非零實常數(shù)）是荷蘭數(shù)學(xué)家Korteweg和de Vires在研究淺水中的小振幅長波運動時提出的. 因具有無窮多個不變量，該方程在冷等離子體中的離子聲波、巖漿流與管道波、泡沫液體中的聲波及海洋內(nèi)波等諸多研究領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［2］. 作為一類典型的非線性色散波動方程，KdV方程少有解析解，這就使得對其數(shù)值解法的研究具有重要價值［3-12］.

本文考慮如下KdV方程的初邊值問題：

ut+αuux+uxxx=0，

x， t∈xL， xR×0， T（2）

ux， 0=u0x，x∈xL， xR（3）

uxL， t=uxR， t=0，

uxxR， t=0，t∈0， T（4）

郭 禎， 等： KdV方程的一個六階空間精度守恒差分格式

其中u0（x）是一個已知函數(shù). 初邊值問題（2）～（4）滿足如下守恒律［13］：

Qt=∫xRxLux， tdx=

∫xRxLu0x， tdx=Q0（5）

Et=u2L2=u02L2=E0（6）

其中Q（0）與E（0）均為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù). 該方程是奇數(shù)階的，且沒有對稱性，故其數(shù)值求解有相當(dāng)難度. 在已有的求解方法中，文獻［9］提出了精度為Oτ2+h的兩層非線性差分格式和三層線性差分格式，文獻［10］構(gòu)造了具有二階精度的兩層非線性差分格式.盡管這些差分格式能夠模擬KdV方程的部分守恒律，但理論精度較低. 值得注意的是，為了提高數(shù)值解法的理論精度，文獻［11］引入了中間函數(shù)，將方程轉(zhuǎn)化為含有兩個未知函數(shù)的方程組，進而提出了一個在空間層具有六階精度的緊致差分格式. 然而，該方法需要求解兩個未知函數(shù)，計算量大. 此外，文獻［12］利用正交分解方法建立了一個在空間層具有六階精度的隱式緊致差分格式，但僅驗證了方法的可行性而沒有對方程的守恒律進行模擬.

在本文中， 我們對初邊值問題（2）～（4）建立了一個具有六階空間精度的兩層非線性差分格式，給出其收斂性和穩(wěn)定性的證明. 我們的格式能夠合理地模擬守恒量（5），（6）. 該格式首先在時間層進行二階精度的Crank-Nicolson差分離散，然后在空間層進行六階精度的外推組合差分離散. 最后我們通過數(shù)值算例驗證了格式的有效性.

2 差分格式及其守恒性

記剖分區(qū)域xL， xR×0， T，時間步長為τ，tn=nτ，0≤n≤N， N=Tτ；xj=xL+jh，0≤j≤J，h=xR-xLJ為空間步長. 我們約定C是與空間步長和時間步長均無關(guān)一般常數(shù)且C>0，并定義如下記號

unj≡uxj， tn，? Unj≈uxj， tn，

Unjx=Unj+1-Unjh， Unjx-=Unj-Unj-1h，

Unjx^=Unj+1-Unj-12h， Unjx¨=Unj+2-Unj-24h，

Unjx…=Unj+3-Unj-36h， Unjt=Un+1j-Unjτ，

Un+1/2j=Un+1j+Unj2，

〈Un，Vn〉=h∑J-1j=1UnjVnj，

Un2=〈Un，Un〉， Un∞=max1≤j≤J-1Unj，

Z0h={U=Uj|U0-i=UJ+i=0， i=0， 1， 2， 3;

j=-3， -2， -1，0，1， …， J+2， J+3}.

對初邊值問題（2）～（4），我們構(gòu)造如下的兩層非線性差分格式

Unjt+α ΨUn+1/2j+ΦUn+1/2j=0，

1≤j≤ J-1，1≤n≤N-1 （7）

U0j=u0xj，j=0， 1， …， J （8）

Un∈Z0h，n=0， 1，? …， N （9）

其中

ΨUn+1/2j=Ψ1Un+1/2j+Ψ2Un+1/2j+

Ψ3Un+1/2j，

Ψ1Un+1/2j=12{Un+1/2jUn+1/2jx^+

Un+1/2j2x^}，

Ψ2Un+1/2j=-15{Un+1/2jUn+1/2jx¨+

Un+1/2j2x¨}，

Ψ3Un+1/2j=130{Un+1/2jUn+1/2jx…+

Un+1/2j2x…}，

ΦUn+1/2j=2615Un+1/2jxx-x^-65Un+1/2jxx-x¨+

715Un+1/2jx^x^x¨.

關(guān)于格式（7）～（9）對守恒量（5）（6）的模擬效果，我們有如下結(jié)果.

定理2.1 差分格式（7）～（9）關(guān)于以下的離散能量守恒：

Qn=h∑J-1j=1Unj=Qn-1=…=Q0（10）

En=Un2=En-1=…=E0（11）

其中 n=1， 2， …， N.

證明 由條件（9）和分部求和公式［14］，我們有

h∑J-1j=1Un+1/2jUn+1/2jx^=-h∑J-1j=1Un+1/2jx^Un+1/2j.

則h∑J-1j=1Un+1/2jUn+1/2jx^=0. 同理可得

h∑J-1j=1Un+1/2jUn+1/2jx¨=0，

h∑J-1j=1Un+1/2jUn+1/2jx…=0.

又由

h∑J-1j=1Un+1/2j2x^=0，

h∑J-1j=1Un+1/2j2x¨=0，

h∑J-1j=1Un+1/2j2x…=0，

以及

h∑J-1j=1Un+1/2jxx-x^=0，? h∑J-1j=1Un+1/2jxx-x¨=0，

h∑J-1j=1Un+1/2jx^x^x¨=0，

我們有

h∑J-1j=1ΨUn+1/2j=0， h∑J-1j=1ΦUn+1/2j=0（12）

將（7）式兩端乘以h后對j從1到J-1求和，注意到（12）式，我們有

h∑J-1j=1Unjt=0（13）

由Qn的定義，我們將（13）式對n遞推可得（10）式.

另一方面， （7）式對2Un+1/2取內(nèi)積，由（9）式和分部求和公式有

Un2t+2α〈ΨUn+1/2，Un+1/2〉+

2〈ΦUn+1/2j，Un+1/2〉=0（14）

由于

〈Ψ1Un+1/2，Un+1/2〉=

h∑J-1j=1Un+1/2j2Un+1/2jx^+

h∑J-1j=1Un+1/2j2x^Un+1/2j=

h∑J-1j=1Un+1/2j2Un+1/2jx^-

h∑J-1j=1Un+1/2j2Un+1/2jx^=0，

同理可得

〈Ψ2Un+1/2，Un+1/2〉=0，

〈Ψ3Un+1/2，Un+1/2〉=0，

即

〈ΨUn+1/2，Un+1/2〉=0（15）

又

〈Un+1/2xx-x^，Un+1/2〉=0， 〈Un+1/2xx-x¨，Un+1/2〉=0，

〈Un+1/2x^x^x¨，Un+1/2〉=0，

即

〈ΦUn+1/2，Un+1/2〉=0（16）

由En的定義，將（15）（16）式代入（14）式后對n遞推可得式（11）. 證畢.

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

由Taylor公式，如果函數(shù)ux足夠光滑，則當(dāng)h→0時我們有

ujx^=dudxx=xj+13！h2d3udx3x=xj+

15！h2d5udx5x=xj+Oh6，

ujx¨=dudxx=xj+43！h2d3udx3x=xj+ 165！h2d5udx5x=xj+Oh6，

ujx…=dudxx=xj+93！h2d3udx3x=xj+

815！h2d5udx5x=xj+Oh6，

ujxx-x^=d3udx3x=xj+14h2d5udx5x=xj+

140h4d7udx7x=xj+Oh6，

ujxx-x¨=d3udx3x=xj+34h2d5udx5x=xj+

23120h4d7udx7x=xj+Oh6，

以及

ujx^x^x¨=d3udx3x=xj+h2d5udx5x=xj+

25h4d7udx7x=xj+Oh6.

于是

32ujx^-35ujx¨+110ujx…=

dudxx=xj+Oh6（17）

2615ujxx-x^-65ujxx-x¨+715ujx^x^x¨=

d3udx3x=xj+Oh6（18）

格式（7）～（9）的截斷誤差定義為

rnj=unjt+Φun+1/2j+αΨun+1/2j（19）

則由Taylor公式以及（17）（18）式可知

rnj =Oτ2+h6（20）

引理3.1 U∈Z0h，恒有 Ux^2≤Ux2， Ux¨2≤Ux^2及Ux…2≤Ux^2.

證明 由于Ux2=Ux-2，由Cauchy-Schwarz不等式有

Ux^2=14h∑J-1j=1Ujx+Ujx-·

Ujx+Ujx-≤Ux2，

Ux¨2=14h∑J-1j=1Uj+1x^+Uj-1x^·

Uj+1x^+Uj-1x^≤Ux^2，

Ux…2=19h∑J-1j=1Uj+2x^+Ujx^+Uj-2x^·

Uj+2x^+Ujx^+Uj-2x^≤

h9·3·∑J-1j=1Uj+2x^2+Ujx^2+

Uj-2x^2≤Ux^2.

證畢.

定理3.2 設(shè)u（x， t）足夠光滑且u0∈H2.則格式（7）～（9）的解Un以范數(shù) · 收斂到原問題（2）～（4）的解，收斂階為Oτ2+h6.

證明 記enj=unj-Unj. 由式（19）減去式（7）得

rnj=enjt+Φen+1/2j+αΨun+1/2j-

αΨUn+1/2j（21）

類似（16）式，有〈Φen+1/2， en+1/2〉=0. 則（21）式對2en+1/2取內(nèi)積可得

〈rn， 2en+1/2〉=en2t+2α〈Ψun+1/2- ΨUn+1/2， en+1/2〉（22）

因為ux， t在有界閉區(qū)域xL， xR×0， T內(nèi)具有連續(xù)三階偏導(dǎo)數(shù)uxxx，所以

uL∞≤C， uxL∞≤C（23）

再由微分中值定理有

un+1/2jx=uxj+1， tn+tn+12-uxj， tn+tn+12h=

xuξj，? tn+tn+12，

其中 xj≤ξj≤xj+1. 故

un+1/2x∞≤C（24）

又由

Ψ1un+1/2j-Ψ1Un+1/2j=12un+1/2j（en+1/2j）x^+

12en+1/2j（un+1/2j）x^+（en+1/2jun+1/2j）x^-

Ψ1en+1/2j

及〈Ψ1en+1/2， en+1/2〉=0，結(jié)合（23）（24）式以及引理3.1有

〈Ψ1un+1/2-Ψ1Un+1/2， en+1/2〉=

12h∑J-1j=1［un+1/2j（en+1/2j）x^+en+1/2j（un+1/2j）x^］en+1/2j-

2h∑J-1j=1en+1/2jun+1/2j（en+1/2j）x^=

12h∑J-1j=1en+1/2j（un+1/2j）x^en+1/2j-

h∑J-1j=112h（un+1/2jen+1/2j+1en+1/2j-un+1/2jen+1/2jen+1/2j-1）=

12h∑J-1j=1en+1/2j（un+1/2j）x^en+1/2j+h2∑J-1j=1en+1/2j+1en+1/2j

（un+1/2j）x≤C（en+12+en2）（25）

同理可得

〈Ψ2un+1/2-Ψ2Un+1/2， en+1/2〉≤

C（en+12+en2）（26）

〈Ψ3un+1/2-Ψ3Un+1/2， en+1/2〉≤

C（en+12+en2）（27）

又

〈rn， 2en+1/2〉≤rn2+12（en+12+en2）（28）

將（25）～（28）式代入（22）式，整理得

en+12-en2≤τrn2+

Cτen+12+en2（29）

將（29）式由0到n-1遞推求和得

en2≤e02+τ∑n-1l=0rl2+Cτ∑nl=0el2（30）

由（20）式有

τ∑n-1l=0rl2≤nτmax0≤l≤n-1rl2≤ T·O（τ2+h6）2.

再由e02=0知式等價于

en2≤O（τ2+h6）2+Cτ∑nl=0el2.

由離散的Gronwall不等式［14］，有en≤O（τ2+h6）. 證畢.

類似定理3.2的證明，我們有

定理3.3 在定理3.2的條件下，差分格式（7）～（9）的解Un以范數(shù) · 關(guān)于初值無條件穩(wěn)定.

4 數(shù)值算例

當(dāng)參數(shù)α=6時，KdV方程的孤波解［15］為u（x， t）=Asech2kx-ω? t，其中A=r2，k=r2，ω=r3/22（r是常數(shù)）. 由此可知KdV方程的物理邊界（漸近邊界）條件滿足當(dāng) x →∞時，有u（x，t）→0，t>0. 因此，我們只需取-xL0，xR0，問題（2）～（4）與KdV方程的Cauchy問題就是一致的. 在數(shù)值計算時我們?nèi)ˇ?6，r=0.5. 問題（2）～（4）的初值函數(shù)可取為 u0x=14sech224x. 固定xL=-20，xR=40，T=32. 為驗證差分格式（7）～（9）式的數(shù)值解在不同范數(shù)下的理論精度均為O（τ2+h6），定義

orderl2=log2enh，τ/e8nh2，τ8，

orderl∞=log2enh，τ∞/e8nh2，τ8∞.

對于τ和h的不同取值，數(shù)值解在不同時刻的誤差及差分格式（7）～（9）精度的檢驗參見表1，2，差分格式（7）～（9）對不變量（5）（6）的數(shù)值模擬見表3.

從數(shù)值結(jié)果可以看出，差分格式（7）～（9）明顯具有6階空間精度，并且能夠合理地模擬守恒性質(zhì)（5）（6），因而是有效的.

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引用本文格式：

中 文：? 郭禎， 吳明明， 胡勁松. KdV方程的一個六階空間精度守恒差分格式［J］. 四川大學(xué)學(xué)報：? 自然科學(xué)版， 2023， 60：? 031006.

英 文：? Guo Z， Wu M M， Hu J S. A conservative difference scheme with 6-order spatial accuracy for the KdV equation ［J］. J Sichuan Univ：? Nat Sci Ed， 2023， 60：? 031006.