順排布置的水平單層球自然對(duì)流換熱數(shù)值研究*

王迪昌,劉澤遠(yuǎn),劉捷?,盧文強(qiáng)

(1 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院, 北京 100049; 2 浙江大華技術(shù)股份有限公司, 杭州 310053)

自然對(duì)流換熱是一種生活和工程應(yīng)用中常見(jiàn)的對(duì)流換熱方式,其驅(qū)動(dòng)原理與強(qiáng)迫對(duì)流不同,流體運(yùn)動(dòng)僅由浮力引起,而浮力通常是由溫度變化引起的密度梯度和重力共同作用的結(jié)果[1]。盡管自然對(duì)流的換熱系數(shù)小于強(qiáng)迫對(duì)流,但是簡(jiǎn)單的驅(qū)動(dòng)原理和低成本等優(yōu)點(diǎn)使其在許多工業(yè)領(lǐng)域或設(shè)備中得到廣泛使用,如球形電子設(shè)備、循環(huán)流化床、固定床氣化爐[2-3]和核工程設(shè)備中。后者包括加速器驅(qū)動(dòng)次臨界堆系統(tǒng)(accelerator driven subcritical system, ADS)的流態(tài)固體靶[4]和安全性高的第4代核反應(yīng)堆——球床式高溫氣冷反應(yīng)堆的堆芯[5]。

隨著計(jì)算機(jī)性能的提高和各種穩(wěn)定的、精確的數(shù)值算法的提出,越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始通過(guò)數(shù)值模擬方法研究球類(lèi)自然對(duì)流換熱問(wèn)題。Jia和Gogos[11-12]數(shù)值模擬10

1 模型及方法

圖1 “極限”的數(shù)學(xué)思想Fig.1 Idea of the limit in mathematics

在層流自然對(duì)流傳熱的數(shù)值研究中,浸沒(méi)在廣延和靜止空氣的物體需要足夠大的計(jì)算空間,即保證邊界層能自由地發(fā)展而不受外邊界影響。在前人研究中,習(xí)慣上將球體浸入足夠大的外環(huán)境中,此時(shí)外內(nèi)邊界的比率d∞/D約為12.5、25和40[14]。然而,巨大的計(jì)算域會(huì)嚴(yán)重降低計(jì)算效率。為此,Bejan等[20]在5～8根水平錯(cuò)排管束的自然對(duì)流優(yōu)化換熱計(jì)算中提出一種更經(jīng)濟(jì)的二維計(jì)算模型。與常規(guī)模型相比,二維Bejan模型在遠(yuǎn)端氣體出口附近設(shè)置一個(gè)入口來(lái)中和換熱過(guò)程中由于密度變化產(chǎn)生的壓力差,避免煙囪效應(yīng),同時(shí)可以使計(jì)算域的寬度減小到d∞/D=3或10從而大幅度提高計(jì)算效率。需要指出的是:煙囪效應(yīng)是指在細(xì)長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)流體被施加一個(gè)額外的加速度現(xiàn)象,其會(huì)影響計(jì)算的準(zhǔn)確性。該模型在對(duì)稱(chēng)條件下的應(yīng)用已被證明是可行的,包括在二維條件下的半球(軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu))[19,21]和圓柱(對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu))[22-24]。然而它不適用于本文研究的順排布置的水平單層球結(jié)構(gòu)。因此本文基于二維Bejan模型,提出拓展后的三維模型,減少計(jì)算域和提高計(jì)算效率的同時(shí)避免煙囪效應(yīng)的產(chǎn)生,如圖2所示。此外,局部結(jié)果的展示采用圖2(b)中的球坐標(biāo)系(r,θ,φ)以便于分析后文數(shù)據(jù)。

圖2 三維拓展計(jì)算模型Fig.2 Expanded 3D computational model

這里以3×3排列水平單層球?yàn)槔忉屓S模型,如圖2(a)所示。坐標(biāo)原點(diǎn)在中心球的球心。由于流動(dòng)對(duì)稱(chēng)性,僅選取切割后的1/8等腰直角三棱柱(由灰色面組成)的拓展模型進(jìn)行模擬,這樣可以極大地減少計(jì)算量。對(duì)于切割后的拓展模型,每個(gè)球體和空氣的溫度分別保持恒定值Tw和T∞(Tw>T∞)。這里假設(shè)空氣(Pr=0.72)不可壓縮,其熱物性參數(shù)通過(guò)恒定的膜溫Tm(=(Tw+T∞)/2)來(lái)獲得,除了Z方向上的動(dòng)量方程的密度項(xiàng)中,使用布辛涅斯克假設(shè)(Boussinesq approximation)說(shuō)明密度變化和溫度變化之間的關(guān)系:

(ρ∞-ρ)=ρβ(T-T∞).

(1)

為減少誤差,本文在數(shù)值模擬中使用大約1 K的溫度差來(lái)保證布辛涅斯克假設(shè)的有效性。由于溫差極小,空氣可近似為理想氣體,所以其熱膨脹系數(shù)β可簡(jiǎn)化為β=1/Tm。另外,由于本文中自然對(duì)流是低速層流且采用空氣不可壓縮假設(shè),所以能量方程中忽略黏性耗散和輻射。因此,三維、穩(wěn)態(tài)、常物性等條件下的無(wú)量綱控制方程可以簡(jiǎn)化成如下:

連續(xù)性方程

(2)

X方向動(dòng)量方程

(3)

Y方向動(dòng)量方程

(4)

Z方向動(dòng)量方程

(5)

能量方程

(6)

其中拉普拉斯算子Δ定義為Δ=?2/?X*2+?2/?Y*2+?2/?Z*2。

上述控制方程中無(wú)量綱變量的定義,圖2(a)中計(jì)算域的邊界條件的設(shè)定和文獻(xiàn)[14]保持一致。

在開(kāi)始本文研究?jī)?nèi)容之前,需要進(jìn)行區(qū)域無(wú)關(guān)性驗(yàn)證和網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證,消除計(jì)算域大小和網(wǎng)格數(shù)量對(duì)于結(jié)果的影響。入口段和出口段的垂直長(zhǎng)度參考文獻(xiàn)[14]使用恒定的3D,如圖2(a)所示。對(duì)于計(jì)算域?qū)挾萪∞,(2N+1)×(2N+1)排列模型選擇d∞=0.52N+1D+N×0.01D+2D。舉例來(lái)說(shuō),3×3排列模型選擇d∞=1.5D+0.01D+2D,1.5D+0.01D表示中心球球心到最外圍球的距離,其中0.01D表示3×3排列模型只存在一個(gè)間隙,2D表示最外圍球到模型外邊界的距離。間隙的存在是由于模型無(wú)法做到任意兩球緊密接觸,因此在網(wǎng)格劃分時(shí)采用極小間距(0.01D)來(lái)代替緊密接觸,同時(shí)避免產(chǎn)生質(zhì)量差的網(wǎng)格。這里要說(shuō)明的是,本文模擬的多組排列模型中最外圍球到模型外邊界的距離均使用2D,這是由于固定的Gr數(shù)使得溫度和速度邊界層不會(huì)因?yàn)榕帕袛?shù)的增多而有劇烈變化。

表1 區(qū)域無(wú)關(guān)性驗(yàn)證(3×3排列)Table 1 Domain independence tests for 3×3 array

綜合上述區(qū)域無(wú)關(guān)性驗(yàn)證和網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證,順排布置的水平單層球自然對(duì)流換熱模型使用以下參數(shù):縱向長(zhǎng)度Z=±3D, 橫向?qū)挾萪∞=0.52N+1D+N×0.01D+2D,另外網(wǎng)格始終使用G1。

表2 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證(3×3排列)Table 2 Grid independence tests for 3×3 array

2 結(jié)果及討論

2.1 模型方法驗(yàn)證

2.2 溫度分布和流線分布

為了定性說(shuō)明排列數(shù)對(duì)于水平單層球自然對(duì)流換熱的影響,本節(jié)展示3×3和15×15排列的水平單層球自然對(duì)流的溫度分布和流線分布。由于球面是定溫的,所以持續(xù)與球周?chē)睦淇諝獍l(fā)生熱交換,而這些冷空氣吸熱后產(chǎn)生密度差,進(jìn)而在浮升力作用下圍繞球體不斷向上運(yùn)動(dòng),在這個(gè)過(guò)程中還裹挾多球區(qū)域外圍的大量空氣來(lái)形成穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的卷流。隨著排列數(shù)的增加,最外圍球附近的溫度分布的整體情況沒(méi)有改變,但是對(duì)于其他位置的大多數(shù)球,15×15排列的溫度分布與3×3排列不相同,特別是對(duì)于層球間隙附近的溫度場(chǎng)。從圖4(a1)和圖4(b1)的溫度分布可以看出,隨著排列數(shù)增加,層球間隙附近區(qū)域吸入了更多的冷空氣。這是因?yàn)殡S著排列數(shù)增加,層球上方的熱空氣被進(jìn)一步加熱,在強(qiáng)浮力的驅(qū)動(dòng)下向上運(yùn)動(dòng),由此導(dǎo)致該區(qū)域負(fù)壓增大,具體可見(jiàn)2.3節(jié)中的CP分布。雖然這會(huì)導(dǎo)致外圍空氣快速補(bǔ)充進(jìn)來(lái),但中間區(qū)域因?yàn)闊o(wú)法直接和這些補(bǔ)充的空氣接觸,從而會(huì)通過(guò)單層球的間隙從下方吸入大量冷空氣,這使得球和周?chē)諝鈸Q熱增強(qiáng),具體可見(jiàn)2.4節(jié)的Nu數(shù)分布。該負(fù)壓區(qū)存在范圍較廣,基本涵蓋大多數(shù)的球,且越靠近單層球排列的中心,負(fù)壓越大,通過(guò)間隙吸入的冷空氣越多。此外,與單球的溫度和流線分布不同,由于外圍空氣向中間位置靠攏,單層球上方的溫度邊界層會(huì)受到擠壓,流線產(chǎn)生明顯的彎曲,這從圖4(a2)和圖4(b2)之間的溫度和流線分布的對(duì)比可以看出。

表3 三維單球的驗(yàn)證結(jié)果Table 3 Verification results of three-dimensional single sphere

圖4 不同排列數(shù)下水平單層球的溫度分布和流線分布Fig.4 Isothermal and streamline contours in the vicinity of the horizontal multi-spheres

2.3 局部阻力系數(shù)分布

圖5中展示方位角為φ=π/4位置處中心球的自然對(duì)流換熱的CF分布(圖5(a))和CP分布(圖5(b))?？偟膩?lái)說(shuō),隨著排列數(shù)增加,CF逐漸增大,CP的絕對(duì)值也逐漸增大。這是因?yàn)閷忧蛏戏降木砹麟S著排列數(shù)的增加受到的加熱效應(yīng)更強(qiáng),導(dǎo)致層球附近區(qū)域負(fù)壓增大,即壓力梯度增大,由此增強(qiáng)了流體的流動(dòng)能力。而且層球下游負(fù)壓受排列數(shù)的影響更明顯。對(duì)于某一排列數(shù)而言,隨著θ的減小(從上游導(dǎo)向下游),中心球壁面附近的流體首先在順壓力梯度下加速,速度梯度也相應(yīng)增大。當(dāng)θ減小到π/2時(shí),雖然流體在順壓力梯度下依然會(huì)加速,但因?yàn)槭艿较掠尉砹鞯挠绊?速度邊界層逐漸增厚,速度梯度開(kāi)始隨著θ的減小而減小。當(dāng)θ減小到3π/7時(shí),流體在逆壓力梯度下開(kāi)始減速,在下游卷流的共同作用下,速度梯度減小幅度加大,并在θ=0～π/4區(qū)間達(dá)到最小且基本保持為零。

圖5 φ=π/4下中心球的局部阻力系數(shù)分布Fig.5 Variation of local drag coefficient along the surface of central sphere from 3×3 to 15×15 for φ=π/4

2.4 局部努塞爾數(shù)分布

圖6展示方位角為φ=π/4位置處不同排列數(shù)(從3×3至15×15)的Nu數(shù)的影響?？偟膩?lái)看,Nu數(shù)隨著排列數(shù)增加而增大。這是由于對(duì)流效應(yīng)隨著排列數(shù)增加而增強(qiáng),從而加大了球體和流體之間的換熱,這種區(qū)別在上游區(qū)域更加明顯。這是因?yàn)樯嫌螀^(qū)域的溫度邊界層相對(duì)于下游區(qū)域受排列數(shù)的影響更大。對(duì)比13×13和15×15這2種排列,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)排列數(shù)增加到一定限度后,Nu數(shù)分布基本不變,這表明本文引入的“極限”的數(shù)學(xué)思想的合理性。通常來(lái)說(shuō),Nu數(shù)隨著θ的減小而單調(diào)遞減,即球體底端的Nu數(shù)最大而頂端的Nu數(shù)最小。在θ=5π/8～π區(qū)域,Nu數(shù)變化不大。這是因?yàn)殡m然流速的增加會(huì)增強(qiáng)換熱,但中心球附近球體對(duì)流體的預(yù)熱減小了溫差。兩種因素共同作用使得中心球Nu數(shù)變化不大。當(dāng)θ從5π/8開(kāi)始減小,附近球體對(duì)流體的預(yù)熱作用增強(qiáng),中心球Nu數(shù)逐漸減小。隨著θ進(jìn)一步減小,流體速度的減小使得Nu數(shù)減小幅度變大。在θ=0～π/4區(qū)間,換熱方式主要是熱傳導(dǎo),因?yàn)樯戏骄砹骷爸車(chē)蝮w的作用,中心球和流體之間的溫差較小,換熱能力較弱。

圖6 φ=π/4下中心球的局部努賽爾數(shù)分布Fig.6 Variation of local Nusselt number along the surface of two horizontal spheres from 3×3 to 15×15 for φ=π/4

2.5 平均努塞爾數(shù)

圖7 中心球的平均努賽爾數(shù)分布Fig.7 Average Nusselt number distribution of the central sphere

(7)

3 結(jié)論

1)隨著排列數(shù)增加,卷流作用的增強(qiáng)使得單層球上方區(qū)域負(fù)壓增大。這不僅導(dǎo)致層球上方溫度邊界層受到擠壓,而且使得通過(guò)球體間隙從下方吸入的流體速度升高。越靠近單層球排列的中心,負(fù)壓越大,吸入的流體速度越大。

2)總的來(lái)看,Nu數(shù)與排列數(shù)呈正相關(guān)。由于上游區(qū)域溫度邊界層受排列數(shù)影響更大,排列數(shù)對(duì)該區(qū)域Nu數(shù)的影響更明顯。通常來(lái)說(shuō),Nu數(shù)隨著θ的減小而單調(diào)遞減。對(duì)于θ=5π/8～π區(qū)域,Nu數(shù)隨θ減小幅度較小。隨著流體的減速及周?chē)蝮w對(duì)中心球預(yù)熱的增強(qiáng),Nu數(shù)隨θ減小幅度加大。在θ=0～π/4區(qū)間,Nu數(shù)達(dá)到最小。