劉雙慶，楊 臻，郁衛(wèi)星，王永艷

（中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，太原 030051）

0 引言

榴彈是戰(zhàn)場上最常見的武器，榴彈在空中爆炸時，爆炸產(chǎn)生的沖擊波在空氣中迅速減弱，對于遠(yuǎn)距離目標(biāo)的打擊作用，主要是靠破片的殺傷效應(yīng)，榴彈毀傷威力的評判標(biāo)準(zhǔn)是殺傷面積，其中影響殺傷面積的因素有落速、落角和炸高［1-3］。馬永忠等通過編程計算的方式對影響殺傷面積的主要因素進(jìn)行了分析［4］。孫韜等通過數(shù)值模擬和試驗的方法得到了有效炸高的范圍，其炸高的上下限值相差達(dá)到1.7 m［5］。應(yīng)國淼等基于射擊線技術(shù)對殺傷面積進(jìn)行了計算［6］。上述文章均需要采用傳統(tǒng)的計算方法要根據(jù)所需要結(jié)果的精度，通過數(shù)論網(wǎng)格法來計算，由于計算點(diǎn)數(shù)的限制，導(dǎo)致計算結(jié)果不夠精確。趙新通過歐拉距離法改進(jìn)了粒子群算法，通過引戰(zhàn)配合的方式，以對地面立姿人員為毀傷目標(biāo)，確定了不同落角情況下榴彈最佳炸高值，相比于傳統(tǒng)算法，計算結(jié)果精度更高［7］。在實際作戰(zhàn)中，臥姿人員更符合實際情況，但該文章未對臥姿人員和榴彈落速對殺傷面積的影響進(jìn)行分析計算。

本文從殺傷面積與落速、落角和炸高的關(guān)系入手，以臥姿人員為毀傷目標(biāo)，建立殺傷面積數(shù)學(xué)模型，利用PSO 算法來解決最優(yōu)化的問題，應(yīng)用隨機(jī)慣性法對標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法中的慣性權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，解決PSO 算法前中期局部搜索能力和后期全局搜索能力不足的問題，此方法既能減少粒子數(shù)量，又能提高收斂速度，對比傳統(tǒng)計算方法，計算結(jié)果精度更高。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 殺傷面積數(shù)學(xué)模型

殺傷榴彈質(zhì)心在地面上的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)O，令xoy 為地面，z 軸垂直于地面，建立坐標(biāo)系如圖1所示：M 為目標(biāo)點(diǎn)；h 為炸高；θc為落角；α 為彈體和目標(biāo)的連線與地夾角；φ 為破片飛向角；R 為彈體與目標(biāo)的距離。

圖1 殺傷榴彈空炸坐標(biāo)圖Fig.1 Coordinate graph of air burst of fragmentation grenades

殺傷榴彈在設(shè)計時，其威力已經(jīng)固定，所以殺傷榴彈在攻擊地面敵方戰(zhàn)斗人員時，殺傷面積會受到炸高、落角和落速的影響，殺傷面積可以表達(dá)為殺傷概率在目標(biāo)平面上的積分［8］，其表達(dá)式為：

式中，S 為殺傷面積；h 為炸高；θc為落角；vc為落速；p 為殺傷概率，其表達(dá)式為：

式中，Sv為目標(biāo)暴露面積；Ω（x，y）為殺傷破片的球面分布密度，其表達(dá)式為：

式中，N0為有效破片數(shù)目；φ 為破片飛向角；ρ（φ）的表達(dá)式為：

式中，f（φ）為密度分布函數(shù)。

1.2 破片空間分布規(guī)律

戰(zhàn)斗部靜止爆炸時，破片靜態(tài)飛向角為φ1，破片速度為v1，可以近似將破片分布密度看作是呈平緩的正態(tài)分布，靜態(tài)密度分布函數(shù)為：

式中，Nφ1為在φ1旋成的圓錐角內(nèi)的破片數(shù)目；dNφ1為φ1變化dφ1時破片數(shù)目的變化量；σφ1為飛向角的均方差；φˉ1為飛向角的期望，其值通常取π/2。

戰(zhàn)斗部在動態(tài)爆炸時，還存在彈體落速vc，如圖2 所示。vd為疊加后的破片速度，φ2為破片動態(tài)飛向角。動態(tài)爆炸時的殺傷破片的球面分布密度表達(dá)式為：

圖2 破片飛向示意圖Fig.2 Schematic diagram of the direction of flying fragments

由圖2 幾何關(guān)系得：

1.3 臥姿人員受彈面積

在研究殺傷面積時，一般采用長方體作為人體等效目標(biāo)，長方體的尺寸為1.5 m×0.5 m×0.25 m，人員的受彈面積與其位置，姿態(tài)，戰(zhàn)斗部位置都有關(guān)。在戰(zhàn)場環(huán)境中，人員姿態(tài)多為臥姿，故以臥姿人員為主要研究目標(biāo)。在計算目標(biāo)人員受彈面積時，以人員外表面在垂直炸彈目標(biāo)連線的投影為主；總體受彈面積分為兩部分，一部分為頂部受彈面積Sv1，另一部分為側(cè)面受彈面積Sv2，如下頁圖3 所示。

圖3 人員單位受彈部位示意圖Fig.3 Schematic diagram of the parts under fire for personnel

頂部受彈面積Sv1的表達(dá)式為：

側(cè)面受彈面積Sv2：

假設(shè)各個人員姿勢目標(biāo)相位角β 出現(xiàn)幾率相等，則側(cè)面積在垂直地平面的投影面積Sl為：

將式（2）、式（7）和式（11）表達(dá)式代入式（1）中，即可得到殺傷面積表達(dá)式。

2 PSO 算法

PSO 算法是一種智能優(yōu)化算法，其全稱為粒子群優(yōu)化算法，在上世紀(jì)90 年代中期，美國學(xué)者Kennedy 和Eberhart 源于對鳥類群體覓食行為提出了此算法，核心思想是利用群體中個體對信息的共享使整個群體的運(yùn)動在問題求解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得問題的最優(yōu)解，可用于多變量優(yōu)化問題中［9-10］。

2.1 PSO 算法流程

在n 維搜索空間中，粒子i 的當(dāng)前位置Xi=（Xi1，Xi2，…，Xin），當(dāng)前飛行速度Vi=（Vi1，Vi2，…，Vin），最佳位置pbesti=（pbesti1，pbesti2，…，pbestin）。

對于求解最大值問題，令g（X）目標(biāo)函數(shù)，確定粒子i 最好位置的表達(dá)式為：

式中，d 為迭代次數(shù)。

種群中粒子數(shù)為M，種群中所有粒子所經(jīng)歷過最好的位置為gbest（d），即：

式中，ω 為速度慣性權(quán)重；c1為粒子的個體學(xué)習(xí)因子；c2為粒子的社會學(xué)習(xí)因子；r1、r2為［0，1］兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)；Vid為第d 次迭代時，第i 個粒子的速度；Xid為第d 次迭代時，第i 個粒子的位置；pbestid為第d 次迭代為止，第i 個粒子所經(jīng)過最好的位置；gbestd為第d 次迭代為止，所有粒子所經(jīng)過最好的位置。

算法流程如圖4 所示。

圖4 PSO 算法流程圖Fig.4 PSO algorithm flow chart

2.2 改進(jìn)PSO 算法

PSO 算法中，慣性權(quán)重體現(xiàn)的是粒子繼承先前速度的能力，SHI Y 最先將慣性權(quán)重引入到PSO 算法中，并分析指出一個較大的慣性權(quán)重值有利于全局搜索，而一個較小的慣性權(quán)重則更有利于局部搜索，因此，提出了線性遞減慣性權(quán)重。標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法中，使用最多的就是線性遞減慣性權(quán)重，表達(dá)式如下［11-12］：

式中，ωmax為開始迭代式時慣性權(quán)重；ωmin為迭代結(jié)束時慣性權(quán)重；K 為迭代總次數(shù)。

前期ω 的值較大，缺乏局部搜索能力，但隨著迭代次數(shù)的增加，慣性權(quán)重ω 的值越來越小，缺乏全局搜索能力，計算過程中可能造成過早收斂于局部最優(yōu)值，而不是收斂于全局的最優(yōu)值。本文利用隨機(jī)慣性權(quán)重法對PSO 算法中的慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)，可以有效避免在迭代前期局部搜索能力的不足，也可以避免在迭代后期全局搜索能力的不足，隨機(jī)慣性權(quán)重的表達(dá)式為：

式中：rand 為［0，1］均勻分布隨機(jī)數(shù)；randn 為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；σ（標(biāo)準(zhǔn)差）用來度量隨機(jī)變量權(quán)重ω 與數(shù)學(xué)期望之間的偏離程度，主要目的是來控制權(quán)重誤差，使權(quán)重有利于向期望權(quán)重方向進(jìn)化。

通過引入隨機(jī)慣性權(quán)重的方法，提高種群的搜索能力，可以減少粒子數(shù)量來提高計算速度，并且精度和收斂速度都可以提高，改進(jìn)前后慣性權(quán)重如圖5 所示。

圖5 慣性權(quán)重對比圖Fig.5 Inertia weighting comparison chart

2.3 實例計算

根據(jù)以上理論分析，所要優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

模型相關(guān)的初始值為：N0=3 527；v1=1 000 m/s；σφ1為飛向角的均方差，取π/6.7；ωmax=0.9；ωmin=0.4；K=100；σ=0.3；c1=c2=2。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 計算結(jié)果與分析

當(dāng)榴彈落速為200 m/s 時，炸高、落角和臥姿人員殺傷面積的關(guān)系如圖6 所示。當(dāng)落角為10°、30°、50°、70°、90°時，炸高和臥姿人員殺傷面積的關(guān)系如圖7 所示。當(dāng)炸高為1 m，5 m，10 m，15 m，20 m 時，落角與臥姿人員殺傷面積的關(guān)系如圖8 所示。

圖6 落速200 m/s，炸高、落角和臥姿人員殺傷面積關(guān)系圖Fig.6 Killing area relationship chart of，burst height，angle of falling and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

圖7 落速200 m/s，炸高與臥姿人員殺傷面積曲線圖Fig.7 Killing area curve graph of，explosive height and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

圖8 落速200 m/s，落角與臥姿人員殺傷面積曲線圖Fig.8 Killing area curve graph of falling angle and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

當(dāng)榴彈落角為90°時，炸高、落速和殺傷面積的關(guān)系圖，如下頁圖9 所示。當(dāng)落速為100 m/s、150 m/s、200 m/s 時，炸高和殺傷面積的關(guān)系如圖10 所示。

圖9 落角90°時，炸高、落速和殺傷面積關(guān)系圖Fig.9 The relationship diagrap among burst height，fall speeding and killing area with the falling angle of 90°

圖10 落角90°時，炸高與殺傷面積曲線圖Fig.10 The curve diagrap of burst height and killing area with the falling angle of 90°

當(dāng)落速為200 m/s，用傳統(tǒng)方法、PSO 算法和改進(jìn)PSO 算法對落角15°、30°、50°、70°、90°求解最大殺傷面積和達(dá)到最大殺傷面積時所對應(yīng)的炸高，如表1 所示。

表1 落速200 m/s 時，殺傷面積、炸高、落角對應(yīng)的結(jié)果Table 1 The results corresponding to killing area，burst height and angle of falling at a falling speed of 200 m/s

當(dāng)落角為90°時，用傳統(tǒng)方法和改進(jìn)PSO 算法對落速100 m/s、150 m/s、200 m/s 求解最大殺傷面積和達(dá)到最大殺傷面積時所對應(yīng)的炸高，如表2所示。

表2 落角90°時，殺傷面積、炸高、落速對應(yīng)的結(jié)果Table 2 The results corresponding to killing area，burst height and falling speed with the falling angle of 90°

3.2 結(jié)果分析

由圖6 和圖7 中可看出，隨著炸高的增加，殺傷面積先增大后減小，其主要原因是，炸高較低時，破片較為集中，作用到目標(biāo)區(qū)域上的破片數(shù)量較少，殺傷面積較?。划?dāng)炸高較大時，作用到目標(biāo)區(qū)域的破片數(shù)量減少，所以殺傷面積較小；當(dāng)炸高超過某一數(shù)值時，隨著落角的增大，殺傷面積衰減得越快，主要原因是，大落角時，榴彈所產(chǎn)生的破片幾乎平行于地面飛行，大部分破片飛向空中，作用到目標(biāo)區(qū)域內(nèi)破片數(shù)量減少。

由圖8 可以看出，當(dāng)炸高為1 m 時，其殺傷面積要比5 m 時小得多，主要原因是飛到目標(biāo)區(qū)域的破片較為集中，導(dǎo)致殺傷面積較小。當(dāng)炸高為1 m 和5 m時，隨著落角的增大，殺傷面積逐漸增大；當(dāng)炸高大于5 m 時，落角存在最優(yōu)值，使得殺傷面積最大。

從圖9 和圖10 可以看出，隨著落速的增加，對殺傷面積的影響并不大，主要原因是，破片的速度要比落速大得多，對破片的飛行軌跡造成的影響較小。

從表1 和表2 可以看出，改進(jìn)PSO 算法對比傳統(tǒng)方法，改進(jìn)PSO 算法對最大殺傷面積和炸高的計算精度明顯高于傳統(tǒng)方法，其最大的炸高誤差超過0.1 m。改進(jìn)PSO 優(yōu)化算法對比標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法在落角為30°的計算時，改進(jìn)的PSO 算法精度要更高。

圖11 為PSO 算法的優(yōu)化過程，標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法粒子數(shù)為10，改進(jìn)PSO 算法粒子數(shù)為5，改進(jìn)PSO算法所需的粒子數(shù)量更少，且收斂速度更快。

圖11改進(jìn)PSO 算優(yōu)化過程Fig.11 Optimization process of improving PSO calculation

4 結(jié)論

本文提出了計算榴彈最佳殺傷參數(shù)的高效計算方法。首先，以臥姿人員為研究目標(biāo)，建立了榴彈殺傷面積的數(shù)學(xué)模型。其次，基于隨機(jī)慣性權(quán)重法對PSO 算法進(jìn)行了改進(jìn)，并以最大殺傷面積為目標(biāo)函數(shù)，計算得到本文條件的榴彈，其最優(yōu)落速、落角和炸高的組合為200 m/s，90°，4.457 9 m。對比標(biāo)準(zhǔn)PSO 算法，改進(jìn)后的算法所需的粒子數(shù)量更少，收斂速度更快，從而計算效率更高。本文計算方法可為榴彈最佳殺傷參數(shù)的設(shè)計提供依據(jù)，同時也為毀傷效能評估提供了一種高效的計算方法。