動(dòng)態(tài)二元偏正態(tài)分布的尾相依函數(shù)①

王志花， 彭作祥

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

設(shè)(X,Y)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,具有連續(xù)的邊緣分布函數(shù)FX,FY.對(duì)x,y≥0,定義尾相依函數(shù)為

(1)

D(1,1)為上尾相依系數(shù)[1-2].有關(guān)尾相依函數(shù)的性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)[3];有關(guān)尾相依系數(shù)的推導(dǎo)見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6].尾相依的概念描述了兩個(gè)隨機(jī)變量的尾相關(guān)結(jié)構(gòu),尾相關(guān)性的一個(gè)常用度量方法是所謂的尾相依系數(shù).尾相依系數(shù)在現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)管理中越來(lái)越受到重視,因此估計(jì)尾部依賴性是非常重要的.尾相依系數(shù)是尾相依函數(shù)的一種特殊情況,它度量?jī)蓚€(gè)變量之間的極值相關(guān)性.因此本文考慮動(dòng)態(tài)二元偏正態(tài)分布的尾相依函數(shù).

二元偏正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù)為

f(x,y)=2φ2(x,y;ρ)Φ(α1x+α2y)α1,α2∈R

(2)

(3)

當(dāng)α=0時(shí),文獻(xiàn)[14]給出了二元正態(tài)分布在Hüsler-Reiss條件[15]即(3)式成立情況下的尾相依函數(shù).對(duì)x,y>0,根據(jù)(1)式再結(jié)合文獻(xiàn)[1,14],定義(ξ,η)的下尾相依函數(shù)為

(4)

其中

(5)

本文分別考慮偏度參數(shù)α<0和α>0時(shí)的動(dòng)態(tài)二元偏正態(tài)分布的尾相依函數(shù).

1 主要結(jié)論

對(duì)參數(shù)為α∈R的偏正態(tài)分布函數(shù)F,定義

(6)

F←(x)表示F(x)的逆函數(shù).我們有如下兩個(gè)引理.

引理1設(shè)函數(shù)gn(v)由(6)式給出,則

證由文獻(xiàn)[16]易得.

證結(jié)合引理1和(3)式得證.

定理1假設(shè)(3)式成立,則對(duì)x,y>0,有

證根據(jù)(5),(6)式以及條件概率積分公式有

(7)

其中

(8)

及(8)式可得

(9)

由(7)和(9)式,根據(jù)Φ(·)的連續(xù)性和控制收斂定理,有

由ε任意性,α<0情形得證.

(10)

根據(jù)Mills不等式

同樣地

再結(jié)合引理2時(shí)(8)式取極限,有

(11)

由(7)和(11)式,根據(jù)Φ(·)的連續(xù)性和控制收斂定理,有

由ε的任意性,定理證畢.