由2022年高考數(shù)學(xué)題引發(fā)思維能力一體化訓(xùn)練

周日橋

高考是高三復(fù)習(xí)備考的風(fēng)向標(biāo)，2022年高考數(shù)學(xué)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)考查，突出主干知識(shí)，創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，加強(qiáng)教考銜接，很好地引導(dǎo)和促進(jìn)高三復(fù)習(xí)備考.筆者通過研究，發(fā)現(xiàn)命題方向是突出強(qiáng)基計(jì)劃之基礎(chǔ)導(dǎo)向，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人功能，尤其彰顯要學(xué)好數(shù)學(xué)所具備的思維能力.

一、考題回顧：思維能力多層次考查

什么是思維能力？思維能力是認(rèn)知能力的一種，包括觀察、比較、類比、歸納、運(yùn)算推理、可逆思維及分析綜合等能力.數(shù)學(xué)高考設(shè)置綜合性的問題和較為復(fù)雜的情境，如新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第22題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)思維能力的考查，在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思維都有所體現(xiàn)，對高三考生的復(fù)習(xí)備考給予了很好的思考與啟迪.

例1.（2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】（1）a=1.（2）證明：略.

【試題評析】問題（1）通過求導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性，于是可求得相應(yīng)最小值，再通過對自變量x進(jìn)行分類討論便可求得a.問題（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時(shí)，ex－x=b和x－lnx=b的解的個(gè)數(shù)都為2，于是可構(gòu)建一個(gè)新函數(shù)h（x）=ex+lnx－2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得f（x），g（x）的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得b的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

典型錯(cuò)誤主要表現(xiàn)有大概三分之一的考生出現(xiàn)邏輯欠嚴(yán)密，如由f（x1）=f（lnx0）直接得到x1=lnx0，缺乏對f（x）的單調(diào)性進(jìn)行論述或討論方程f（x）=b解的情況，漏掉了不可或缺的推理步驟.通常求函數(shù)的最值問題都是借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分析過程中往往要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，但對于不同方程的根的性質(zhì)，則需要利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系進(jìn)行求解.

例2.（2022年新高考I卷第21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面積.

【答案】（1）－1；（2）1629.

【試題評析】求解本題思路大概有四：一是可以聯(lián)立直線與雙曲線，通過消元得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理得到兩根關(guān)系，結(jié)合直線斜率定義便可求出，運(yùn)算量大，是一種常用的通性通法；二是利用設(shè)線求點(diǎn)的思路進(jìn)行化簡，通過直線與圓錐曲線方程聯(lián)立消元，由設(shè)而不求也可求出，運(yùn)算量也大；三是利用直線的參數(shù)方程設(shè)線求點(diǎn)，運(yùn)算量較少，過程較簡單；四是采用齊次化的解法，代數(shù)變形較為簡單，運(yùn)算量也較少，過程更為簡潔.概而論之，類似直線與雙曲線的綜合問題，復(fù)習(xí)中要考慮直線斜率、直線與曲線的關(guān)系，常用方法是聯(lián)立方程消參法或點(diǎn)差法，借助設(shè)而不求的技巧，再結(jié)合定值、三角形面積等條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化歸，目的是考查考生的推理、運(yùn)算、驗(yàn)證等思維能力，體現(xiàn)由能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)立意，對考生的思維能力要求較高.

例3.（全國甲卷理科第20題、文科第21題）設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

【答案】（1）y2=4x；（2）AB：x=2y+4.

【試題評析】全國甲卷理科第20題、文科第21題，其中第（1）小問由定義得|MF|=p+p2，結(jié)合已知條件很容易求得結(jié)果.第（2）小問依題可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線MN：x=my+1，聯(lián)立兩方程利用韋達(dá)定理得kMN=2kAB，之后由正切公式進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)合基本不等式得kAB=22.再設(shè)直線AB：x=2y+n，結(jié)合韋達(dá)定理便可求解.解題的巧妙之處在于利用方程對進(jìn)行化簡，通過聯(lián)立方程用韋達(dá)定理得到兩橫坐標(biāo)的和與積關(guān)系，綜合考查了直線、拋物線、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)，體現(xiàn)了復(fù)習(xí)中要抓住問題本質(zhì)進(jìn)行分析的思維能力.

二、難度分析：選拔性功能愈加突出

1.運(yùn)算素養(yǎng)要求高，小題運(yùn)算難度大

今年高考題不僅大題難度大（如前提及的題目1-3），而且小題運(yùn)算量大增，絕大多數(shù)考生按以往經(jīng)驗(yàn)和解題套路都拿不了高分.由于小題難度增大導(dǎo)致用時(shí)過長，嚴(yán)重影響了后面大題的解答時(shí)間，再加上考試緊張?jiān)黾恿丝忌睦斫箲]，大大制約了正常水平的發(fā)揮，更不可能超水平發(fā)揮了.又如2022年新高考全國Ⅰ卷中同一知識(shí)點(diǎn)考了多次，如第7、10、12、15、22等都考查導(dǎo)數(shù)（以往同一張卷子不會(huì)同一知識(shí)點(diǎn)考那么多次），單求切線就考了幾次.在這種情況下，考生具有良好的思維能力就顯得尤為重要了.

例4.（全國乙卷理科第4題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1=1+1a1，b2=1+1a1+1a2，b3=1+1a1+1a2+1a3，…，依此類推，其中ak∈N*（k=1，2，…）.則（）

A.b1

C.b6

【答案】D.【試題評析】根據(jù)ak∈N（k=1，2，…），再利用數(shù)列bn與an的關(guān)系判斷bn中各項(xiàng)的大小，便可求得答案D正確.數(shù)學(xué)試卷選取我國科技發(fā)展與進(jìn)步中取得的重要成就作為試題背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和時(shí)代特征，激發(fā)考生樹立為國家服務(wù)、奉獻(xiàn)科技事業(yè)的信念.如上面全國乙卷理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星為情境，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基本知識(shí)的思維能力.

例5.（新高考Ⅱ卷第3題）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑的剖面圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5，

CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（）

A.0.75______B.0.8______C.0.85______D.0.9

【答案】D.

【試題評析】根據(jù)題意可設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1，則CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，于是可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，代入化簡可得k3=0.9.試卷以中華傳統(tǒng)文化為情境，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)應(yīng)用的成果，從而樹立文化自信心，增強(qiáng)民族自豪感.如上面新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查學(xué)生綜合應(yīng)用等差數(shù)列、解析幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題的思維能力.

2.題型靈活多樣化，套路刷題難得分

2022年高考題體現(xiàn)了“棄模式，去套路，求創(chuàng)新”的特點(diǎn)，與平時(shí)考生心目中的“機(jī)械刷題”大相徑庭，考生感嘆“長時(shí)間刷題到頭來只刷了個(gè)寂寞”，許多考生本想數(shù)學(xué)科拿高分結(jié)果大失所望，深感平時(shí)為數(shù)學(xué)的大量付出而懊惱不已.顯然，今年解答題大部分的第（1）問運(yùn)算量和思維量都增加了許多，不少考生為此大為困擾.例如，2022年新高考Ⅰ卷第18題第（1）問根據(jù)已知條件不是得到某個(gè)值（角度或三角函數(shù)值），而是得到一個(gè)兩個(gè)角的關(guān)系式（角B與角C的函數(shù)關(guān)系式）；第（2）問從題目特征來看，不少考生會(huì)認(rèn)為用余弦定理會(huì)比較簡單，結(jié)題用正弦定理進(jìn)行“邊化角”更容易.或許不少考生感悟要“不畏浮云遮望眼”深入剖析，掌握題目特征和思維考查要求才是王道.

例6.（新高考Ⅰ卷第18題）記ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

【答案】（1）π6；（2）42－5.

【試題評析】第（1）小問依據(jù)誘導(dǎo)公式（二倍角和兩角和差）進(jìn)行化簡，由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B得cos（A+B）=sinB，再結(jié)全三角形性質(zhì)便可求得.

第（2）小問可由第（1）小問得到兩個(gè)關(guān)系式：C=π2+B，A=π2-2B，再利用正弦定理及二倍角公式將a2+b2c2化簡成為4cos2B+2cos2B－5，之后再利用基本不等式便可求得結(jié)果.

但實(shí)事上，第（2）不會(huì)運(yùn)用正弦定理進(jìn)行“邊化角”運(yùn)算的大有人在，大概占比13%，不少考生只寫了a2+b2c2=2abcosC+c2c2，出現(xiàn)這種情況的原因大致有三：一是看到邊長的平方第一意識(shí)是用余弦定理；二是在正弦定理的訓(xùn)練中，往往把重心放在ab或sinAsinB這類形式的化簡上，對于二次齊次式如a2b2或sin2Asin2B這類的化簡比較少；三是考生缺少多變量問題轉(zhuǎn)化為單一變量問題的思想方法，導(dǎo)致看到a2+b2c2直接就感到焦慮而無從下手.

3.核心素養(yǎng)最重要，改造題目收益多

研究發(fā)現(xiàn)，高考題幾乎都是“源于教材而又高于教材”的原創(chuàng)題，2022年新高考Ⅰ卷再一次彰顯了這一特點(diǎn)，而且難度大大增加，主要是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其關(guān)鍵還是考查考生的思維能力.顯然，以往的大量解題刷題、校外培訓(xùn)套路等優(yōu)勢已明顯應(yīng)付不了了，這進(jìn)一步昭示著復(fù)習(xí)要回到知識(shí)原點(diǎn)，深入研究教材學(xué)法，靈活運(yùn)用通性通法，嘗試改編課本題目，不盲目依靠所謂的教輔寶典.

三、回歸教材：思維能力一體化訓(xùn)練

研究發(fā)現(xiàn)，要突破2022年新高考Ⅰ卷題目之難，其前提還是要培養(yǎng)好學(xué)生的思維能力，尤其是要培養(yǎng)好題目理解、信息處理、批判質(zhì)疑和語言表達(dá)等方面的能力.考生一看到題目，閱讀理解能力起首要作用，審題不能出現(xiàn)偏差；分析過程中，信息處理能力起關(guān)鍵作用，整合不能出現(xiàn)錯(cuò)誤；求解過程中，批判思維能力起重要作用，推導(dǎo)不能出現(xiàn)缺漏；書寫過程中，語言表達(dá)起主要作用，書寫要規(guī)范，勿漏了不可或缺的步驟.

1.素養(yǎng)導(dǎo)向，促進(jìn)思路一體化發(fā)散

2022年高考題提倡應(yīng)用已有知識(shí)和方法去解決一些“活”的現(xiàn)實(shí)問題.例如本文題目1在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，要注意以下兩種思路：一是用同構(gòu)的數(shù)學(xué)思想，觀察f（x），g（x）的結(jié)構(gòu)，只要將f（x）中的x替換成lnx，即為函數(shù)g（x）的結(jié)構(gòu).類似的同構(gòu)思想在函數(shù)中較為常見，如x1ex1=x2lnx2=lnx2·elnx2，左端的x1與右端lnx2的均可作為函數(shù)f（x）=xex的自變量的值.二是采用數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想，巧妙地利用y=x+b，y=ex及y=x－b，y=lnx關(guān)于y=x對稱，得到四邊形ABCD為矩形，所以對角線互相平分，對角線中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，從而可以證明x1，x2，x3成等差數(shù)列.用數(shù)形結(jié)合法時(shí)要強(qiáng)化思維能力訓(xùn)練，由圖形的感性直觀上升到理性思維.

2.鉆研教材，重視母題一體化拓展

高考題中基礎(chǔ)題通常占60%，這些題幾乎都是源于教材的改編題或創(chuàng)新題.因此，復(fù)習(xí)備考要以大單元為統(tǒng)領(lǐng)，對教材中的例題、練習(xí)和習(xí)題進(jìn)行深度研究、變式拓展，充分用好“母題”開展系列化、專題式探討，避免大量的機(jī)械刷題.

比如不少考生不重視反函數(shù)法的應(yīng)用，但如果能熟練掌握，往往可起到“事半功倍”“眼前一亮”之效.此思路來源于：

教材題目1.（人教版選修2-2第40頁Ｂ組第1題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：lnx0.

羅增儒教授提到“教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據(jù)其實(shí)是教材.”高考題往往是對教材進(jìn)行補(bǔ)充、變式、拓展，給考生的感覺應(yīng)該是似曾相識(shí)而又似乎沒見過，在教材中卻又能找到“源頭”.

例7.（2020新高考Ⅰ卷第21題）已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

【試題解析】（第（2）問：反函數(shù)法）f（x）=aex－1-lnx+lna1等價(jià)于aex-1≥lnx－lna+1=lnexa，由于y=aex－1與y=lnexa互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱.我們只需aex－1≥x即可.因?yàn)閍ex－1≥x，所以a≥xex－1.

不妨令g（x）=xex－1（x>0），則g'（x）=1－xex－1在（0，1）上g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，在（1，+）上g'（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，所以g（x）max=g（1）=1，所以a∈［1，+）.通過以上的解法分析，利用反函數(shù)法實(shí)質(zhì)上是找“中間量”，直線y=x只是“中間量”的一個(gè)代表，借助于這樣代表的“中間量”，可以讓過程簡單而思維能力又得到進(jìn)一步訓(xùn)練.找“中間量”是證明不等式常用辦法，這種方法在比較大小、數(shù)列放縮、數(shù)學(xué)歸納法證明中常有應(yīng)用.究其原因，這些“母題”還是來源于教材，比如：

教材題目2.（2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第104頁復(fù)習(xí)參考題第18題）

已知函數(shù)f（x）=ex－ln（x+m）.當(dāng)m≤2時(shí)，求證f（x）>0.

教材題目3.（人教版選修2-2第40頁Ｂ組第1題第（３）題）利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：ex>x+1，x≠0.

立足教材生成變題，是高考命題一個(gè)不爭事實(shí)，根據(jù)“母題”進(jìn)行編題是命題的一個(gè)趨勢.如何正確使用教材？如何深入研究教材？如何對教材進(jìn)行改編？這很值得高三考生深入思考和探究.

3.注重通法，強(qiáng)化單元一體化復(fù)習(xí)

高考中的通性通法遷移屬于下位遷移，2022年高考有一個(gè)很突出特點(diǎn)就是考查通性通法，這在很大程度上要求學(xué)生能將知識(shí)、思維和方法內(nèi)化為自身的應(yīng)用系統(tǒng).

比如上述題目1（2022年新高考I卷第21題）在解答完成后，為了強(qiáng)化通性通法的掌握和應(yīng)用，還應(yīng)該增加以下的變式思考：一是可將點(diǎn)A（2，1） 改為點(diǎn)A'（22，3），其他條件不變，檢驗(yàn)自己的掌握程度；二是將點(diǎn)A（2，1） 改為A（x0，y0）（y0≠0），將定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)問題，培養(yǎng)通性通法思維；三是

將條件與所求問題適當(dāng)對調(diào)，比如在知道a2=2，kl=-1等條件下，求kAP+kAQ；四是將雙曲線改為橢圓或拋物線，情況又會(huì)怎樣？如此這般，不斷引導(dǎo)自己進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過一個(gè)題了掌握一類題或一個(gè)小體系，讓通性通性的訓(xùn)練成為一種復(fù)習(xí)常規(guī).

4.精選資料，重視融合一體化重構(gòu)

高三教材教輔資料各類繁多、參差不齊，而且從學(xué)習(xí)目標(biāo)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、專項(xiàng)訓(xùn)練、隨堂檢測、作業(yè)拓展等都應(yīng)有盡有.面對智能化精細(xì)化的海量信息，學(xué)生的選擇能力和整合能力就顯得尤其重要了.新課標(biāo)強(qiáng)化問題解決能力和綜合應(yīng)用能力，“無情景不復(fù)習(xí)”，復(fù)習(xí)中要充分理解問題情景，結(jié)合方程與函數(shù)、不等式、圖形的變化、抽象與數(shù)據(jù)等分析問題和解決問題，從而訓(xùn)練自己能應(yīng)對有關(guān)應(yīng)用型、綜合型和探究型等情景的思維能力，減少機(jī)械記憶、死記硬背、刷題套路等低效做法，學(xué)會(huì)主動(dòng)思考、觀察猜測、運(yùn)算推理、數(shù)據(jù)驗(yàn)證和直觀想象等思維方法.

四、結(jié)語

對高中生學(xué)習(xí)而言，“冰冷的美麗”背后往往有“火熱的思考”，愛因斯坦曾說：“發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的能力，應(yīng)當(dāng)始終放在首位，而不應(yīng)當(dāng)將獲得知識(shí)放在首位.”2022年高考題充分體現(xiàn)教材具有很多概念性和邏輯性很強(qiáng)的知識(shí)內(nèi)容，這需要考生會(huì)根據(jù)有關(guān)的問題情景，通過一體化訓(xùn)練提高自己的思維能力，從而達(dá)到了解、體驗(yàn)或感悟數(shù)學(xué)的思維之美、學(xué)習(xí)之美和文化之美.

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2021年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目“基于‘學(xué)習(xí)羅盤2030的中小學(xué)數(shù)學(xué)一體化教學(xué)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2021YQJK012）；廣東教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研重點(diǎn)課題“粵港澳大灣區(qū)背景下‘五位一體協(xié)同育人模式研究”（項(xiàng)目編號(hào)：GDESH14003）階段性研究成果】

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)