子彈打木塊模型及應用

成樹明

子彈打木塊問題是力學中的常見模型，綜合性強，涉及運動學、牛頓運動定律、動量和能量等知識點.同學們從不同角度來分析探究該問題，不僅能鞏固所學的物理知識，還能提高靈活分析問題、解答問題的能力.

一、子彈打木塊模型的兩種情況

（一）子彈未射穿木塊

1.1模型呈現

如圖1所示，質量為M的木塊放在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以初速度v0水平飛來打進木塊并留在其中.設子彈在木塊內運動受到恒定阻力f作用，經時間t子彈和木塊達到共同速度v，子彈和木塊的位移分別為x1、x2，子彈打進木塊的深度為d.

1.2模型規(guī)律

1.2.1v-t圖像

子彈做勻減速直線運動，木塊做勻加速直線運動，二者的v-t圖像如圖2所示

①為子彈圖像；②為木塊圖像；③為共同運動圖像.由圖像中可以看出I區(qū)為子彈和木塊的相對位移，即子彈打進木塊的深度為d.由圖可以判定：不論m、M關系怎樣總有d>x2，x1>2x2；若m2x2，x1>3x2.

1.2.2牛頓運動定律和運動學公式

對子彈和木塊分別應用牛頓第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

對子彈和木塊分別應用運動學公式，得

v=v0-a1t

x1=v0+v2t

v=a2t

x2=v2t

子彈和木塊的位移大小關系為

d=x1-x2

1.2.3動能定理與能量守恒定律

對子彈和木塊分別應用動能定理，得

-fx1=12mv2-12mv20

fx2=12Mv2

系統(tǒng)損失的機械能等于產生的內能，有

Q=ΔEk=12mv20-12（m+M）v2

整理得Q=fd

說明：相互作用力與相對位移（或路程）的乘積等于系統(tǒng)機械能的減少，這是一個重要關系，通常都可直接運用.

1.2.4動量定理與動量守恒定律

對子彈和木塊分別應用動量定理，得

-ft=mv-mv0

ft=Mv

對系統(tǒng)應用動量守恒定律，得

mv0=（m+M）v

（二）子彈射穿木塊

2.1模型呈現

如圖3所示，質量為M的木塊放在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以初速度v0水平飛來打進木塊，經時間t子彈射穿木塊時二者的速度分別為v1、v2，子彈和木塊的位移分別為x1、x2.設子彈在木塊內運動受到恒定阻力f作用，木塊的長度為L.

2.2模型規(guī)律

2.2.1 v-t圖像

①為子彈穿過木塊過程中的速度圖像；②為子彈穿過木塊過程中木塊的速度圖像；③為射出后子彈的速度圖像；④為子彈射出后木塊的速度圖像.

2.2.2牛頓運動定律和運動學公式

對子彈和木塊分別應用牛頓第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

對子彈和木塊分別應用運動學公式，得

v1=v0-a1t

x1=v0+v12t

v2=a2t

x2=v22t

子彈和木塊的位移大小關系為

L=x1-x2

2.2.3動能定理與能量守恒定律

對子彈和木塊分別應用動能定理，得

-fx1=12mv21-12mv20

fx2=12Mv22

系統(tǒng)損失的機械能等于產生的內能，有

Q=ΔEk=12mv20-12mv21-12Mv22

整理得Q=fL

2.2.4動量定理與動量守恒定律

對子彈和木塊分別應用動量定理，得

-ft=mv1-mv0

ft=Mv2

對系統(tǒng)應用動量守恒定律，得

mv0=mv1+Mv2

二、子彈打木塊模型的拓展

1. 模型拓展

根據子彈打木塊模型的特點，可以將該模型拓展到板塊模型.如圖5所示，一質量為M的木板靜止于光滑的水平面上，一質量為m的滑塊以速度v0從木板的左端滑上木板，二者之間的動摩擦因數為μ.

2.板塊模型兩種類型

類型圖示規(guī)律分析

木板B帶動物塊A，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板左端時二者速度相等，則位移關系為xB=xA+L

物塊A帶動木板B，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板右端時二者速度相等，則位移關系為xB+L=xA

3.分析“板塊”模型時要抓住一個轉折和兩個關聯(lián)

4.分析板塊模型的四點注意事項

（1）用隔離法分析滑塊和木板的受力，分別求出滑塊和木板的加速度.

（2）建立滑塊位移、木板位移、滑塊相對木板位移之間的關系式.

（3）不要忽略滑塊和木板的運動存在等時關系.

（4）在運動學公式中，位移、速度和加速度都是相對地面的.

三、子彈打木塊模型的典型應用

題型一 子彈單向打木塊

【例1】（2022屆北京交大附中檢測）如圖6所示，質量為2m、長為L的木塊靜止在光滑水平面上，質量為m的子彈（可視為質點）以初速度v0水平向右射向木塊，穿出木塊時速度減為v02.若再將另一相同木塊固定在傳送帶上（如圖7所示），使木塊隨傳送帶以v=38v0的速度水平向左運動，相同的子彈仍以初速度v0水平向右射向木塊，木塊的速度始終不變.已知木塊對子彈的阻力恒定，下列說法正確的是（）

A.第一次子彈穿過木塊過程中，木塊的位移大小為15L

B.第一次子彈穿過木塊過程中，子彈克服阻力做的功為116mv20

C.子彈前后兩次穿過木塊的時間之比為2：1

D.第二次子彈穿出木塊時的速度為56v0

解析：第一次子彈穿過木塊過程中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)動量守恒，有mv0=m·v02+2mv1，解得v1=v04，對木塊和子彈分別應用動能定理，得fx=12·2mv21、-f（x+L）=12m（v02）2-12mv20=-38mv20，即子彈克服阻力做的功為38mv20，聯(lián)立解得x=L5，f=5mv2016L，選項A正確、選項B錯誤；第一次，對物塊應用動量定理得ft1=2mv1，聯(lián)立解得t1=8L5v0，第二次，子彈在木塊中做勻減速運動，加速度為a=fm=5v2016L，子彈穿過木塊時滿足vt2+v0t2-12at22=L，聯(lián)立解得t2=4L5v0，則子彈前后兩次穿過木塊的時間之比為t1t2=21，選項C正確；第二次子彈穿出木塊時的速度為v'=v0-at2=34v0，選項D錯誤.故選AC.

【點評】第一次是常規(guī)的子彈打木塊問題，本題創(chuàng)新之處是第二次子彈打木塊.第一次子彈做勻減速直線運動，木塊做初速為零的勻加速直線運動，二者運動方向相同；第二次子彈做勻減速直線運動，木塊保持勻速運動，二者運動方向相反.要弄清兩次子彈和木塊的位移大小關系.

題型二子彈雙向打木塊

【例2】（2022屆河南開封二模）如圖8所示，木塊靜止在光滑水平面上，兩顆不同的子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，最終都停在木塊內，這一過程中木塊始終保持靜止，若子彈A射入木塊的深度大于子彈B射入木塊的深度，則（）

A.子彈A的質量一定比子彈B的質量小

B.入射過程中子彈A受到的阻力比子彈B受到的阻力大

C.子彈A在木塊中運動的時間比子彈B在木塊中運動的時間長

D.子彈A射入木塊時的初動能一定比子彈B射入木塊時的初動能大

解析：由于木塊始終保持靜止狀態(tài)，則兩子彈對木塊的作用力大小相等，由牛頓第三定律知兩子彈所受的阻力大小相等，設為f，對子彈A、B分別動能定理得-fdA=0-EkA、-fdB=0-EkB，由于dA＞dB，則有子彈入射時的初動能EkA＞EkB，選項B錯誤、選項D正確；子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，木塊始終保持靜止，所以兩子彈在木塊中運動時間必定相等，否則木塊就會運動，選項C錯誤；兩子彈和木塊組成的系統(tǒng)動量守恒，則有2mAEkA=2mBEkB，因EkA＞EkB，則有mA＜mB，選項A正確.故選AD.

【點評】審題是解答問題的前提和關鍵.兩顆不同的子彈A、B從木塊兩側同時射入木塊，最終都停在木塊內，這一過程中木塊始終保持靜止，這一信息就告訴我們兩子彈對木塊的作用力大小相等，作用時間相同，排除選項B、C；若本題告訴是多選題，在考場上由邏輯關系便可快速選出答案AD.

題型三子彈打木塊與板塊模型綜合

【例3】如圖9所示，質量為M=1.0kg的長木板放在光滑水平面上，木板上放有兩個可視為質點的木塊A和B，它們的質量分別為m1=0.95kg和m2=1.0kg.木塊A位于長木板的左端，A、B間相距l(xiāng)=2.0m，一顆質量為m=50g的子彈以速度v0水平射入木塊A并留在其中.已知兩木塊與長木板間動摩擦因數均為0.2，取重力加速度g=10m/s2，子彈打入木塊及木塊相撞時作用時間極短.回答下面問題：

（1）要使木塊A、B能發(fā)生碰撞，子彈速度v0應滿足什么條件；

（2）若A、B碰撞后粘在一起運動，當v0=80m/s時，要使A、B不從木板上掉下來，木板至少需要多長（保留三位有效數字）.

（3）當v0=80m/s時，求子彈與木塊A和木塊A、B作用時損失的機械能△E.

解析：（1）子彈打入木塊時動量守恒，有

mv0=（m+m1）v1

木塊A在長木板上滑動到與B碰撞前，設A的加速度為a1，長木板和B的加速度為a2，則

μ（m+m1）g=（m+m1）a1

μ（m+m1）g=（M+m2）a2

若碰前長木板的位移為x，則A的位移為l+x，設運動時間為t，有

x=12a2t2

l+x=v1t-12a1t2

聯(lián)立解得 t2-v030t+43=0

當v0302-4×43>0時，A、B發(fā)生碰撞，解得

v0>403m/s

（2）將v0=80m/s代入t2-v030t+43=0解得

t=2s（舍去）或t=23s

設A碰撞前、后速度分別為v2、v3，碰撞前木板及B的速度為v′2，則

v2=v1-a1t

v'2=a2t

（m+m1）v2+m2v'2=（m+m1+m2）v3

設兩木塊及長木板最終共同速度為v.碰后A、B在長木板上滑行的距離為Δl，根據動量守恒定律和能量守恒定律則有

mv0=（m+m1+m2+M）v

μ（m+m1+m2）gΔl=12（m+m1+m2）v23+12Mv′22-12（m+m1+m2+M）v2

聯(lián)立解得Δl=112m

則木板長度

L=l+Δl=2512m=2.08m

（3）由能量守恒定律得

ΔE=12mv20-12（m+m1+m2+M）v2-μ（m+m1）gl-μ（m+m1+m2）g·Δl

聯(lián)立解得ΔE=153J.

【點評】解答多物體多過程問題的關鍵是將復雜問題拆分成一個個簡單的問題.本題過程一為子彈打木塊A；過程一結束后將子彈和木塊A視為一個新的子彈，將長木板和木塊B視為一個新的木塊，第二個過程是新子彈打新木塊，這一過程到A、B碰前結束；第三個過程是木塊A、B完全非彈性碰撞；過程三結束后，子彈、木塊A、B再次組成一個新的子彈，與長木板相互作用，這便是第四個物理過程，再次構成一個子彈打木塊模型.

題型四子彈打木塊與傳送帶模型綜合

【例4】（2022屆湖南長郡中學模擬）如圖10所示，水平傳送帶AB長L=8.3m，質量M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v1=2m/s的速度向左勻速運動（傳送帶的速度恒定），木塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.5，當木塊運動到最左端的A點時，一顆質量為m=20g的子彈以v0=300m/s的水平向右的速度正對射入木塊并穿出，穿出速度為u=50m/s，以后每隔Δt=1s就有一顆子彈水平地射中木塊，設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射穿時阻力相同，重力加速度取g=10m/s2，子彈和木塊均可視為質點，求：

（1）在第二顆子彈擊中前，木塊向右運動離A點的最大距離；

（2）木塊在傳送帶上最多能被幾顆子彈擊中；

（3）從第一顆子彈擊中木塊到木塊最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)所產生的內能是多少.

解析：（1）第一顆子彈射入木塊過程中，由動量守恒定律，得

mv0-Mv1=mu+Mv2

解得子彈穿出后，木塊的速度為

v2=3m/s，方向向右

由牛頓第二定律，得

μMg=Ma

解得木塊在傳送帶上滑行的加速度為

a=5m/s2

則木塊速度減為零的時間為

t0=v2a=0.6s<Δt

故在第二顆子彈擊中前，木塊向右運動離A點的最大距離為

x1=v22t0=0.9m

x1=v222a=0.9m（備注刪除該行）

（2）在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左做加速運動，加速的時間為

t1=Δt-t0=0.4s

速度增大為

v3=at1=2m/s

此時速度恰好與傳送帶共速，則向左運動的位移為

x2=12at21=0.4m

所以在兩顆子彈射中木塊的時間間隔內，木塊向右運動的總位移為

x0=x1-x2=0.5m

所以在第16顆子彈擊中前，木塊向右移動的位移為

x=15×0.5m=7.5m

在第16顆子彈擊中后，木塊將會先向右移動x1的位移，此時木塊的總位移為

x總=x+x1=7.5m+0.9m=8.4m>8.3m

故木塊將從B端落下，所以木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中.

（3）第一顆子彈穿過木塊過程中，產生的內能為

Q1=12mv20+12Mv21-12mu2-12Mv22=872.5J

木塊向右減速過程中，木塊相對于傳送帶的位移為

Δx1=x1+v1t0=2.1m

木塊向右減速過程中，產生的內能為

Q2=μMg·Δx1=10.5J

木塊向左加速過程中，木塊相對于傳送帶的位移為

Δx2=v1t1-x2=0.4m

木塊向左加速過程中，產生的內能為

Q3=μMg·Δx2=2J

第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速的過程有

L-x=v2t2-12at22

解得，第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速的時間為

t2=0.4s

則第16顆子彈擊中木塊后，木塊相對于傳送帶的位移為

Δx3=（L-x）+v1t2=1.6m

第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速過程中，產生的內能為

Q4=μMg·Δx3=8J

則全過程產生的內能為

Q總=15（Q1+Q2+Q3）+Q1+Q4=14155.5J.

【點評】子彈打木塊過程滿足動量守恒和能量守恒；子彈打完木塊后木塊獲得水平向右的速度v2，木塊先向右做勻減速直線運動，再向左做勻加速直線運動，當速度增加到與傳送帶相同時，再次發(fā)生子彈打木塊過程；每重復一次上述過程，木塊向右對地位移為x0=0.5m；子彈打木塊過程，木塊向右減速過程和向左加速過程均產生內能.

子彈打木塊模型的實質是系統(tǒng)在一對作用力和反用力（系統(tǒng)的內力）的沖量作用下，實現系統(tǒng)內物體的動量變化、動能變化和能量變化.通過上述幾例，啟示我們在解答物理問題時，必須透過其表面現象抓住本質，建立物理模型，以達到“異中求同，多題歸一”.該模型也可以與其他力學模型進行綜合構建更為復雜的力學研究問題，同學們要善于將所學規(guī)律進行遷移創(chuàng)新，將陌生、復雜的物理問題建構成熟悉、簡單的某種物理模型，則能化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的效果.

責任編輯李平安