課本習(xí)題 多維拓展 提升能力

曹猛

［摘 要］電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其綜合問題是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，也是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，電磁感應(yīng)綜合問題中不僅蘊(yùn)含了電磁學(xué)的諸多知識，而且包含了許多力學(xué)知識。文章主要以課本習(xí)題為母題進(jìn)行多維拓展，提升學(xué)生運(yùn)用牛頓運(yùn)動定律、功能關(guān)系、動量定理、動量守恒定律以及能量守恒定律等物理基本規(guī)律解決電磁感應(yīng)綜合問題的能力。

［關(guān)鍵詞］課本習(xí)題；電磁感應(yīng)；框架模型；動力學(xué)綜合

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0053-05

電磁感應(yīng)是中學(xué)物理主干知識之一，也是歷年高考的必考內(nèi)容。在高考物理試題中，電磁感應(yīng)力電綜合題是?？疾凰サ慕?jīng)典題型，這類題型經(jīng)常涉及力（安培力動態(tài)變化）、運(yùn)動（速度和加速度的計算）、能量（電能和其他形式能之間的轉(zhuǎn)化）、動量（安培力沖量的計算）、電路（電荷量和電功、電熱的計算）等知識。如此龐大的知識體系，學(xué)生在處理該題型時往往心有余而力不足。

本文以電磁感應(yīng)中“導(dǎo)體棒切割”模型的復(fù)習(xí)為例，以教材習(xí)題為母題，進(jìn)行多維拓展，并進(jìn)行知識整合，進(jìn)而提升學(xué)生解決電磁感應(yīng)綜合問題的能力。

一、母題呈現(xiàn)

（新人教版高中物理教材選擇性必修第二冊第46頁第6題，已用代數(shù)運(yùn)算替換數(shù)據(jù)運(yùn)算）如圖1所示，阻值為r的導(dǎo)體棒ab沿固定的光滑導(dǎo)線框向右做勻速運(yùn)動，線框中接有阻值為R的電阻。線框放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于線框平面。導(dǎo)體棒ab的長度為L，運(yùn)動的速度為v，線框的電阻不計。

（1）電路abcd中哪部分相當(dāng)于電源？電動勢多大？內(nèi)阻多大？哪個位置相當(dāng)于電源的正極？哪一部分相當(dāng)于閉合電路中的外電路？

（2）ab棒向右運(yùn)動時所受的安培力有多大？

（3）ab棒所受安培力的功率有多大？電阻R的發(fā)熱功率有多大？導(dǎo)體棒ab的發(fā)熱功率有多大？從能的轉(zhuǎn)化和守恒角度說一說這三個功率關(guān)系的含義。

問題（1）要求學(xué)生能將具體問題轉(zhuǎn)化為常見的電路模型，并運(yùn)用電路的相關(guān)知識解決相應(yīng)問題。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，切割磁感線的導(dǎo)體棒ab相當(dāng)于電源，且電源的電動勢為[E=BLv]，其等效電路如圖2所示，r為電源內(nèi)阻；由楞次定律（或右手定則）可知，a端為電源的正極，adcb為閉合電路中的外電路，電阻R為外電阻。

問題（2）以相互作用觀念為載體，分析具體的安培力。由閉合電路歐姆定律可知，閉合回路中的電流[I=ER+r=BLvR+r]，方向?yàn)槟鏁r針。根據(jù)安培力的公式[F安=BIL]得ab棒向右勻速運(yùn)動時所受的安培力大小為[F安=B2L2vR+r]。

問題（3）以能量觀為契機(jī)，解決具體的實(shí)際問題。ab棒所受安培力的功率[P=F安v=B2L2v2R+r]，電阻R的發(fā)熱功率[PR=I2R=B2L2v2（R+r）2R]，導(dǎo)體棒ab的發(fā)熱功率[Pr=I2r=B2L2v2（R+r）2r]，顯然三者之間滿足[P=PR+Pr]。

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020修訂）》中指出，物理學(xué)科核心素養(yǎng)主要包括物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任四個方面［1］。本題的三個問題全方位地體現(xiàn)了相應(yīng)的物理觀念（包括物質(zhì)觀、運(yùn)動觀、能量觀、相互作用觀等重要觀點(diǎn)、概念、規(guī)律），又涵蓋了建模思想、理想化方法、分析綜合等科學(xué)思維。

教材既是考試內(nèi)容的載體，也是高考命題的依據(jù)，是由學(xué)科教育教學(xué)專家精心編制而成的，具有指導(dǎo)和統(tǒng)領(lǐng)教育教學(xué)的功能。教材上的例題、習(xí)題也是專家周密設(shè)計、精心構(gòu)思、反復(fù)推敲后選定的，具有典型性和示范性。多數(shù)題目具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性，入口較淺，有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識；同時教材中的例題、習(xí)題更是經(jīng)得起千錘百煉的，是可以挖掘提煉、拓展深化的。高三物理一線教師要把握好復(fù)習(xí)的方向，對教材習(xí)題進(jìn)行深入挖掘，以拓展演變和聯(lián)系真實(shí)情境為策略，提升學(xué)生的綜合能力和物理學(xué)科核心素養(yǎng)［2］。

二、母題拓展

（一）問題拓展

拓展1.若保持導(dǎo)體棒ab以速度v向右勻速運(yùn)動，現(xiàn)施加一水平方向的外力，問該外力的大小如何？方向如何？外力F做功跟回路中的能量轉(zhuǎn)化有何聯(lián)系？

解析：導(dǎo)體棒ab向右勻速運(yùn)動，則外力F與安培力為一對平衡力，即[F=F安=B2L2vR+r]，方向水平向右。外力F做的功全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)外電路產(chǎn)生的焦耳熱。

隨著新課標(biāo)和新高考的實(shí)施，動量定理、動量守恒定律由原先的選考知識變?yōu)楸乜贾R，使動力學(xué)綜合問題的考查拓寬了思路，同時也為電磁感應(yīng)知識的考查注入了新的生機(jī)。

拓展2.若已知導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量為m，當(dāng)導(dǎo)體棒ab的速度為v時，撤去外力F，回路中還能產(chǎn)生多少焦耳熱？分析導(dǎo)體棒ab撤去外力F后的運(yùn)動過程并計算導(dǎo)體棒ab還能滑行的距離。

解析：根據(jù)能量轉(zhuǎn)化及守恒定律可知，導(dǎo)體棒ab的動能最終全部轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱，即[Q=12mv2]。

撤去外力F后，導(dǎo)體棒ab在安培力的作用下做減速運(yùn)動直至靜止，該過程中任一時刻根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有[BiL=ma]，即[B2L2vR+r=ma]，整理得[a=B2L2vm（R+r）]，導(dǎo)體棒在安培力的作用下減速，且加速度逐漸減小。

（二）情境拓展

如圖3所示，質(zhì)量為m、阻值為r的導(dǎo)體棒靜止在固定的光滑且足夠長的導(dǎo)線框上，線框中接有阻值為R的電阻。線框放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于線框平面。導(dǎo)體棒的長度為L，線框的電阻不計。

拓展1.若導(dǎo)體棒在水平向右的恒力F（已知）的作用下開始運(yùn)動，分析導(dǎo)體棒運(yùn)動過程中的速度、加速度如何變化。若經(jīng)過一段時間[t]，導(dǎo)體棒的速度達(dá)到v，求該過程中導(dǎo)體棒運(yùn)動的位移及電阻R產(chǎn)生的焦耳熱。

解析：導(dǎo)體棒由靜止開始，在恒力F的作用下向右加速運(yùn)動，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，速度[v]增加的過程中加速度[a]逐漸減小，最終[a=0]，此時速度達(dá)到最大值[vmax]，且[vmax=F（R+r）B2L2]。

經(jīng)過一段時間[t]，導(dǎo)體棒的速度達(dá)到v的過程中導(dǎo)體棒并非勻加速運(yùn)動，根據(jù)動量定理得[IF+I安=mv-0]，其中F為恒力，則[IF=F?t]，而[I安=-B2L2R+rx]，聯(lián)立得[x=（Ft-mv）（R+r）B2L2]。

根據(jù)能量守恒可知，[WF=12mv2+Q]，其中[WF=Fx=F?（Ft-mv）（R+r）B2L2]，[Q]為內(nèi)外電路產(chǎn)生的總焦耳熱，且[QR]∶[Qr]=[R]∶[r]，聯(lián)立得[QR=RR+rF（Ft-mv）（R+r）B2L2-12mv2]。

拓展2.若導(dǎo)體棒在水平向右的外力F（未知）的作用下以加速度[a]向右做勻加速運(yùn)動，從施加外力開始計時，分析外力隨時間變化的關(guān)系，并求出當(dāng)導(dǎo)體棒的速度達(dá)到v的過程中，外力F的沖量。

解析：根據(jù)牛頓第二定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，又因?yàn)閷?dǎo)體棒向右做勻加速運(yùn)動，有[v=at]，代入得[F=ma+B2L2R+rat]。

計算外力F的沖量時由于外力F為變力，可以采用動量定理求解。

取導(dǎo)體棒的運(yùn)動方向?yàn)檎较?，?dǎo)體棒m在勻加速運(yùn)動到速度達(dá)到v的過程中，由動量定理可知[IF+I安=mv-0]，又因?yàn)閇I安=-B2L2R+rx]，且[x=v22a]，聯(lián)立可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

計算外力F的沖量時，也可根據(jù)上述F的表達(dá)式，作出F隨時間t的函數(shù)關(guān)系圖線，如圖4所示，圖中[t0=va]，[F0=ma+B2L2R+rat0=ma+B2L2R+rv]，圖線與坐標(biāo)軸之間圍成的梯形面積即為外力F的沖量，亦可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

以上拓展是從問題和情境兩個方面進(jìn)行的，其實(shí)本題還可以進(jìn)行更深層次的挖掘。倘若線框不是固定的，也可以在平面上運(yùn)動？這就衍生出了雙棒切割模型。

（三）深度拓展

1.雙棒切割

如圖5所示，已知導(dǎo)體棒ab、cd的質(zhì)量分別為m和M，有效電阻分別為r和R，靜置于固定在水平面的光滑且足夠長的導(dǎo)軌上。導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面，磁場區(qū)域足夠大。導(dǎo)軌間距為L，電阻不計。

拓展1.若某時刻導(dǎo)體棒ab有向右的速度[v0]，導(dǎo)體棒cd沒有初速度，求此時導(dǎo)體棒ab兩端的電勢差[Uab]，以及回路能夠產(chǎn)生的總焦耳熱。

拓展2.若某時刻對導(dǎo)體棒ab施加一向右的恒力F，分析此后兩根導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況。

解析：在恒力F的作用下，導(dǎo)體棒ab立即向右加速，與此同時導(dǎo)體棒cd則會在安培力的作用下向右加速，設(shè)任意時刻ab棒的速度為[v1]，cd棒的速度為[v2]，等效電路仍如圖6所示。回路中感應(yīng)電流為[I=BL（v1-v2）R+r]，可知兩者的速度差越大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流越大，由牛頓運(yùn)動定律可得，ab棒的加速度為[a1=F-BILm]，且[a1]隨著感應(yīng)電流的增大而減??；cd棒的加速度為[a2=BILM]，且隨著感應(yīng)電流的增大而增大。最終兩導(dǎo)體棒以共同的加速度[a=FM+m]一起勻加速直線運(yùn)動，速度差恒定為[v1-v2=MF（R+r）（M+m）B2L2]。

上述拓展在計算電流時可依據(jù)閉合電路歐姆定律進(jìn)行，而含電容器的電路在電容器充、放電過程中電流是不可以用閉合電路歐姆定律列式求解的，只能用電流的定義式求解。

2.含電容器的導(dǎo)體棒切割

如圖7所示，已知導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量為m，有效電阻為r，靜置于固定在水平面的光滑且足夠長的導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌的左端連接一電容為C的電容器。導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面，磁場區(qū)域足夠大。導(dǎo)軌間距為L，電阻不計。

拓展1.電容器原先不帶電，某時刻給導(dǎo)體棒ab一向右的初速度[v0]，使其沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動，分析開關(guān)S閉合后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動情況。

解析：給導(dǎo)體棒ab初速度[v0]，導(dǎo)體棒ab相當(dāng)于電源，電容器瞬間充電，導(dǎo)體棒ab的一部分動能轉(zhuǎn)化為電能，導(dǎo)體棒ab的速度減小為[v1]。由動量定理得[-BIL?Δt=mv1-mv0]，其中[I?Δt]為流過導(dǎo)體棒ab的電量[q]，即電容器所獲得的電量，此時電容器兩端的電壓為[u=BLv1]，電容器所帶的電量[q=CBLv1]，聯(lián)立求解可得[v1=mv0m+CB2L2]，導(dǎo)體棒ab最終做勻速直線運(yùn)動。

拓展2.原先電容器帶電量[Q]，且上極板帶正電，導(dǎo)體棒ab靜止，分析開關(guān)S閉合后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動情況。

解析：開關(guān)S閉合，電容器放電，電容器相當(dāng)于電源，導(dǎo)體棒ab受安培力的作用向右加速運(yùn)動，加速度[a=BILm]，同時導(dǎo)體棒產(chǎn)生阻礙放電的反電動勢[E=BLv]，導(dǎo)致電流減小，則安培力及加速度均減小，直至為0，此后導(dǎo)體棒ab以最大速度[vm]勻速直線運(yùn)動。

根據(jù)動量定理可得[BIL?Δt=mvm]，其中[I?Δt]為流過導(dǎo)體棒ab的電量，亦為電容器極板電量的變化量，[q=Q-CBLvm]，聯(lián)立求解可得[vm=BLQm+CB2L2]。

拓展3.若原先電容器不帶電，導(dǎo)體棒ab靜止，保持開關(guān)S閉合，對導(dǎo)體棒ab施加一水平向右的恒力[F]，分析此后導(dǎo)體棒ab的運(yùn)動情況。

解析：導(dǎo)體棒ab在恒力F的作用下必向右運(yùn)動，導(dǎo)體棒ab運(yùn)動必產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，對電容器瞬間充電，設(shè)任意時刻充電電流為[i]，導(dǎo)體棒ab的速度為[v]，根據(jù)楞次定律和左手定則可以判斷，導(dǎo)體棒ab受到向左的安培力，由動量定理得[F?t-BiL?t=mv]，其中[i?t]為流過導(dǎo)體棒ab的電量，亦為電容器極板增加的電量，即[i?t=CBLv]，聯(lián)立求解可得[v=Fm+CB2L2t]，顯然導(dǎo)體棒ab做勻加速直線運(yùn)動，加速度[a=Fm+CB2L2]。

高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)要著眼于引導(dǎo)學(xué)生從新的視角去審視高中學(xué)過的物理知識，要引導(dǎo)學(xué)生把不同階段所學(xué)的不同內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)整合，這對學(xué)生形成較為全面的物理觀念，培養(yǎng)高階思維品質(zhì)是非常必要的［3］。上述拓展是在問題、情境上進(jìn)行有限的拓展衍生，在平時的教學(xué)過程中還可以對線框進(jìn)行拓展，如豎直平面的線框、斜面上的線框；導(dǎo)軌是否平行；線框的電阻是否考慮；磁場區(qū)域是否足夠大；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及方向是否變化；等等。

高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)必須重視教材，尤其是理科的解題教學(xué)，倘若能將“教材習(xí)題”通過層層推進(jìn)的方式和“高考試題”實(shí)施無縫對接，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升教學(xué)效果。

三、試題再現(xiàn)

電磁感應(yīng)綜合問題大多會涉及電磁感應(yīng)、磁場、電路、動力學(xué)、能量、動量等知識。在注重對學(xué)生基本知識、基本技能進(jìn)行考查的同時，又注重對學(xué)生的物理觀念（物質(zhì)觀、運(yùn)動觀、動力學(xué)觀、動量觀與能量觀）、科學(xué)思維（物理模型建構(gòu)、分析推理能力）等核心素養(yǎng)的考查。鑒于篇幅限制，試題僅以圖片呈現(xiàn)。

2022年全國各地高考相關(guān)試題如圖8所示。

2021年全國各地高考相關(guān)試題如圖9所示。

縱觀近幾年全國各地高考試卷及模擬試卷，電磁感應(yīng)“導(dǎo)體棒切割”模型類試題的綜合性強(qiáng)，物理情境變化空間大。這就要求一線教師在教學(xué)中緊跟核心素養(yǎng)的教育理念，盡早轉(zhuǎn)變“題海戰(zhàn)”的教學(xué)行為，引導(dǎo)學(xué)生在思維能力層面拾級而上，使學(xué)生的能力不斷提升，學(xué)生的認(rèn)識由表及里，不斷加深，做好從“教材”到“高考”的跨越［4］，上出有“深度”的高三物理復(fù)習(xí)課；一線教師應(yīng)學(xué)會從核心素養(yǎng)出發(fā)，精準(zhǔn)把握復(fù)習(xí)教學(xué)方向，以聯(lián)系真實(shí)情境的拓展為策略，提升學(xué)生的綜合能力和物理學(xué)科核心素養(yǎng)，這也是新時代、新課標(biāo)、新高考對我們提出的新的要求。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020修訂［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 陳林芳，張新華.把握素養(yǎng)要素 精準(zhǔn)復(fù)習(xí)教學(xué)：2021年浙江物理選考21題賞析與教學(xué)啟示［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2021（13）：67-70.

［3］? 張紅明.高考物理備考中的整合教學(xué)實(shí)踐研究：以勢能專題復(fù)習(xí)為例［J］.物理通報，2020（10）：35-38.

［4］? 徐愛勇.如何實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)從“課本”向“高考”的跨越：從教材一道數(shù)列習(xí)題談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2018（2）：7-9.

（責(zé)任編輯 易志毅）