劉聘 董慶來

摘 要：針對(duì)新型冠狀病毒的潛伏期較長(zhǎng)，基于每日發(fā)布的新冠疫情數(shù)據(jù)集，在經(jīng)典SEIR （Susceptible-Exposed-Infected-Recovered）模型的基礎(chǔ)上，考慮了隱性傳播人群，并且將確診人群分為兩類（一類感染者具有傳染能力；一類感染者由于處于隔離期間，其感染能力可忽略不計(jì)）， 構(gòu)建了基于改進(jìn)SEIR的新冠肺炎傳播動(dòng)力學(xué)模型。以2021年12月15日到2022年1月13日的西安市疫情數(shù)據(jù)為依據(jù)，擬合得到了改進(jìn)SEIR模型的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，對(duì)西安市COVID-19疫情進(jìn)行預(yù)測(cè)和評(píng)估。結(jié)果表明，基于改進(jìn)SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型對(duì)疫情的理論估計(jì)與西安市疫情的實(shí)際情況較為符合，數(shù)據(jù)可視化和醫(yī)學(xué)隔離等措施對(duì)抑制疫情大面積傳播有重要作用。

關(guān)鍵詞：新冠肺炎疫情；改進(jìn)SEIR模型；參數(shù)估計(jì)；預(yù)測(cè)；西安市疫情

中圖分類號(hào)：O29; N945.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

在全球抗擊新冠肺炎疫情的過程中，相關(guān)科研人員對(duì)疫情傳播及其發(fā)展趨勢(shì)的分析和預(yù)測(cè)進(jìn)行了大量的研究。用于描述疫情傳播的模型主要包括倉室模型、一般增長(zhǎng)模型、概率分布模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等［1］。倉室模型是描述新冠肺炎疫情傳播的有效工具，主要包括SI模型、SIR模型、SEIR模型等。與SIR模型相比，SEIR模型能有效刻畫潛伏狀態(tài)（E）對(duì)疫情傳播的影響。BONGOLAN等［2］建立了一種考慮年齡分層和隔離影響的SEIR模型。周文等［3］在經(jīng)典SEIR模型基礎(chǔ)上著重研究了現(xiàn)有疫情傳播模型的局限性，并提出一種改進(jìn)思路。WINTACHAI等［4］將疫苗接種率、預(yù)防性疫苗和治療性疫苗的有效性作為SEIR模型的主要參數(shù)進(jìn)行分析。SAIKIA等［5］建立了考慮無癥狀傳播率、時(shí)間依賴性潛伏期和時(shí)間依賴性傳播率的SEIR模型。須成杰等［6］采用經(jīng)典的SEIR模型模擬疫情傳播過程，合理地預(yù)測(cè)了疫情確診人數(shù)和疫情拐點(diǎn)。邵俊杰等［7］使用經(jīng)典SEIR模型對(duì)新冠肺炎疫情在中國(guó)山東省和韓國(guó)兩地的傳播動(dòng)力學(xué)特征開展了回溯分析，重點(diǎn)探討了在疫情早期采取嚴(yán)格、快速的物理疏離和保持高效的醫(yī)療救治對(duì)阻斷新冠肺炎疫情傳播的積極意義。除了應(yīng)用經(jīng)典SEIR模型外，在模型中考慮現(xiàn)有人群分類和引入其他人群也是刻畫新冠肺炎病毒傳播潛伏期的有效方法。ZHANG［8］提出了一種改進(jìn)的SEIR模型，考慮當(dāng)?shù)蒯t(yī)療系統(tǒng)的能力和可能的干預(yù)技術(shù)來模擬新冠肺炎疫情。DAS等［9］分析了一個(gè)考慮無癥狀攜帶者的SEIR模型，無癥狀攜帶者被認(rèn)為是在新冠肺炎疫情傳播過程中具有重要作用的人群。陳興志等［10］建立了一個(gè)將確診人群分成已收治和未收治兩類人群的SEIR流行病模型，對(duì)武漢封城前后兩個(gè)階段疫情的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行數(shù)值模擬和比較分析。于振華等［11］提出一種新的新冠肺炎傳播非線性SEIR動(dòng)力學(xué)模型，考慮到疫情中采取保護(hù)措施的人群，并將其作為低危群體加入到模型中。LI等［12］分析了溫州市疫情的發(fā)展特征，并采用3種離散方式修正SEIR模型。此外，CHUNG等［13］建立一個(gè)基于多重網(wǎng)絡(luò)的SEIR模型來研究新加坡新冠肺炎疫情的爆發(fā)。KUMAR等［14］提出一個(gè)擴(kuò)展的SEIR模型，基于美國(guó)和歐洲7個(gè)最大國(guó)家的新冠肺炎病例的每日數(shù)據(jù)，通過調(diào)查感染脆弱性分層的影響和預(yù)防感染傳播的措施以預(yù)測(cè)可能的大流行動(dòng)態(tài)。

本文基于以上背景，針對(duì)2021年年末西安市新冠肺炎疫情，在經(jīng)典SEIR模型的基礎(chǔ)上考慮隱性傳播者和兩類確診人群，建立了改進(jìn)SEIR模型來分析和預(yù)測(cè)新冠肺炎疫情的發(fā)展。根據(jù)每日公開發(fā)布的西安市確診數(shù)據(jù)，模擬疫情傳播過程，并合理地預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)、現(xiàn)有確診人數(shù)和疫情拐點(diǎn)，從而為疫情防控工作提供有效的參考信息，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 基本假設(shè)

SEIR模型是一個(gè)經(jīng)典的傳染病動(dòng)力學(xué)模型，由于其能夠有效合理地預(yù)測(cè)傳染病的傳播和擴(kuò)散趨勢(shì)，常被用于描述某一地區(qū)的傳染病傳播過程。本文改進(jìn)SEIR模型的基本假設(shè)包括：

1）不考慮疫情區(qū)域人口的遷入、遷出、出生和死亡，即假設(shè)總?cè)丝谑且粋€(gè)常數(shù)。

2）治愈后的個(gè)體對(duì)新冠肺炎病毒具有免疫能力，即復(fù)陽的機(jī)率可以忽略不計(jì)。

3）傳播區(qū)域內(nèi)所有人口分為四大類：未感染者，即易感人群，與感染者接觸后就有一定概率被感染；可能感染者，分為兩類，隱性人群（可能是病毒攜帶者但未被隔離的人群）和隔離人群（被管控隔離的人群）；已感染者，分為兩類，一般感染人群和其他感染人群；移出者，因治愈或死亡退出傳染病系統(tǒng)的人群。

4）人群分為易感人群（S）、隔離人群（E）、一般感染人群（I1）、其他感染人群（I2）、退出人群（R）和隱性人群（Y）。這幾類人群在某一天的數(shù)量分別記作S（t），E（t），I1（t），I2（t），R（t），Y（t）。

5）確診人群在核酸檢測(cè)陽性后均能得到及時(shí)救治，且I1和I2的治愈率相同。

6）考慮一般感染人群的影響和嚴(yán)格的隔離管控措施兩方面因素，假設(shè)隱性人群具有傳染性，隔離人群不具有傳染性。

2 模型構(gòu)建

2.1 基于SEIR模型建立微分方程組

借鑒經(jīng)典的SEIR模型，對(duì)封控管理后的陜西省西安市2021年年末新冠肺炎疫情傳播進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，將人群分為易感人群（S）、隔離人群（E）、感染人群（I）和退出人群（R），在此基礎(chǔ)上，模型中加入隱性人群（Y），并且將感染人群分為一般感染人群（I1）和其他感染人群（I2），所述模型的新冠肺炎疫情傳播示意圖如圖1所示。

其中：β1、β2分別為易感人群S與一般感染人群I1接觸后，轉(zhuǎn)變?yōu)殡[性人群Y或隔離人群E的概率；γ1為隱性人群Y確診為一般感染人群I1的概率；γ2為隔離人群E確診為其他感染人群I2的概率；δ為一般感染人群I1和其他感染人群I2的治愈率。改進(jìn)SEIR模型的微分方程組如下：

dS（t）dt=－β1S（t）I1（t）－β2S（t）I1（t）

dY（t）dt=β1S（t）I1（t）－γ1Y（t）

dE（t）dt=β2S（t）I1（t）－γ2E（t）

dI1（t）dt=γ1Y（t）－δI1（t）

dI2（t）dt=γ2E（t）－δI2（t）

dR（t）dt=δI1（t）+δI2（t） （1）

2.2 數(shù)據(jù)選取及可視化

2021年12月9日，陜西省西安市報(bào)告1例本土確診新冠肺炎病例，12月23日西安市實(shí)行封控措施。假設(shè)在此期間西安市人口總數(shù)保持不變，以2020年常住人口計(jì)，約為1 300萬。我國(guó)此階段主要流行的新冠病毒為德爾塔病毒，對(duì)陜西省西安市2021年12月15日（t=1）到2022年1月13日（t=30）的疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到西安市感染人群數(shù)量（包括累計(jì)確診、累計(jì)治愈和累計(jì)無癥狀人群）趨勢(shì)，如圖2所示。

2.3 模型參數(shù)賦值

利用Python軟件對(duì)所述模型進(jìn)行數(shù)值模擬，并結(jié)合相關(guān)資料［10］，給出相關(guān)參數(shù)的具體取值。模型的初始值設(shè)定參考2021年12月15日西安市公布官方數(shù)據(jù)，對(duì)部分參數(shù)進(jìn)行了合理的估值［15］，改進(jìn)SEIR模型的參數(shù)設(shè)置及初始值設(shè)定見表1和表2。德爾塔病毒的平均潛伏期為4.4 d，感染者的平均治愈時(shí)間為1～2周。假設(shè)隔離人群和隱性人群每天早上8點(diǎn)做1次核酸檢測(cè)，若核酸檢測(cè)結(jié)果異常，核酸檢測(cè)最快3～4 h出檢測(cè)報(bào)告，隱性人群平均需要做3次核酸檢測(cè)進(jìn)行確診，隔離人群平均需要做2次核酸檢測(cè)進(jìn)行確診。

3 模型預(yù)測(cè)與評(píng)估

利用Python軟件完成所述改進(jìn)SEIR模型的構(gòu)建，并對(duì)西安市現(xiàn)有確診人群數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)以及對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。

3.1 模型預(yù)測(cè)

由于西安市本輪疫情的無癥狀感染總?cè)藬?shù)為8人（可忽略不計(jì)），因此假設(shè)感染人數(shù)為本土確診人數(shù)。改進(jìn)SEIR模型對(duì)西安市現(xiàn)有確診人群數(shù)量預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出：模型擬合曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合程度較好，以2021年12月15日為初始時(shí)間，第10天至第20天現(xiàn)有確診人數(shù)增幅較大，這是因?yàn)檎哟罅撕怂釞z測(cè)力度，更有效地篩查核酸異常人員并隔離；第20天現(xiàn)有確診人數(shù)達(dá)到峰值1 891人，大致在第80天左右清零，即西安市本輪疫情現(xiàn)有確診人數(shù)將在2022年1月3日達(dá)到峰值，在3月4日左右清零，這是因?yàn)榈聽査局甑膫魅拘暂^強(qiáng)，但西安市本輪疫情于2022年1月4日已實(shí)現(xiàn)社會(huì)面清零，因此實(shí)際全面清零時(shí)間早于模型預(yù)測(cè)時(shí)間。

3.2 靈敏度分析

對(duì)治愈率δ進(jìn)行靈敏度分析。以2021年12月15日為初始時(shí)間，不同的δ取值下西安市現(xiàn)有確診人數(shù)對(duì)比如圖4所示。若取δ=0.142 857， 即平均治愈周期為7 d，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第15日出現(xiàn)峰值，峰值為1 160人；若取δ=0.095 238， 即平均治愈周期為10.5 d，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第20日出現(xiàn)峰值，峰值為1 891人；若取δ=0.071 429， 即平均治愈周期為14 d，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第24日出現(xiàn)峰值，峰值為2 635人。這是因?yàn)棣谋硎靖腥救巳旱闹斡剩骄斡鷷r(shí)間越長(zhǎng)，治愈率就越小，所以隨著平均治愈時(shí)間的增長(zhǎng)，現(xiàn)有確診人數(shù)也會(huì)不斷增長(zhǎng)，導(dǎo)致現(xiàn)有確診人數(shù)出現(xiàn)峰值的時(shí)間越晚，并且全面清零時(shí)間也越晚。因此，科學(xué)有效的醫(yī)療救治對(duì)抑制新冠疫情傳播具有重要作用。

此外，對(duì)確診率γ進(jìn)行靈敏度分析，以其他確診人群的確診率γ2為例。以2021年12月15日為初始時(shí)間，不同的γ2取值下西安市現(xiàn)有確診人數(shù)對(duì)比如圖5所示。若取γ2=0.370 370，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第18日出現(xiàn)峰值，峰值為1 977人；若取γ2=0.212 766，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第20日出現(xiàn)峰值，峰值為1 891人；若取γ2=0.149 254，則現(xiàn)有確診人數(shù)將于第22日出現(xiàn)峰值，峰值為1 793人。這是因?yàn)棣?表示其他確診人群的確診率，核酸篩查等措施的力度越大，感染者能及時(shí)確診并得到有效的治療，從而確診人群數(shù)量出現(xiàn)峰值的時(shí)間越早，并且全面清零時(shí)間也越早。

3.3 模型驗(yàn)證

此外，以2022年3月24日至4月22日的上海市疫情數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證所述模型的普適性，上海市感染人群數(shù)量（包括累計(jì)確診、累計(jì)治愈和累計(jì)無癥狀人群）趨勢(shì)見圖6。其中，考慮上海市本輪疫情中的無癥狀感染者較多，且每天都有無癥狀感染病例轉(zhuǎn)為本土確診病例，因此，本文粗略假設(shè)感染人數(shù)為無癥狀感染人數(shù)和本土確診人數(shù)之和，從而進(jìn)行感染人數(shù)的預(yù)測(cè)；考慮參數(shù)靈敏度分析與上文類似，因此，下文僅展示模型預(yù)測(cè)結(jié)果。

改進(jìn)SEIR模型對(duì)上海市現(xiàn)有感染人群數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果，如圖7所示。模型擬合曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)的吻合程度較好，結(jié)果表明：以2022年3月24日為初始時(shí)間，第10天至第30天現(xiàn)有感染人數(shù)增幅較大，這是因?yàn)檎诮M織核酸檢測(cè)的基礎(chǔ)上，實(shí)行抗原自測(cè)措施，更有效地篩查核酸異常人員并隔離；現(xiàn)有感染人數(shù)在第33天達(dá)到峰值504 638人，由于奧密克戎病毒的傳染性更強(qiáng)，上海市的人口密度高，以及各地醫(yī)療增援等影響因素，本文所設(shè)固定的參數(shù)取值具有一定的局限性，因此，實(shí)際全面清零時(shí)間應(yīng)更早于模型預(yù)測(cè)時(shí)間。

4 結(jié)論與展望

4.1 結(jié)論

本文考慮隱性人群、一般感染人群和其他感染人群以及大數(shù)據(jù)篩查、醫(yī)學(xué)隔離等隔離措施的效果，構(gòu)建了改進(jìn)的新冠肺炎傳播動(dòng)力學(xué)模型（改進(jìn)SEIR模型）。根據(jù)2021年年末西安新冠疫情傳播數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并對(duì)西安疫情發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型理論分析表明，數(shù)據(jù)可視化和醫(yī)學(xué)隔離等防控措施對(duì)抑制疫情大面積傳播有重要作用。基于改進(jìn)SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型可用于COVID-19傳播行為分析，對(duì)于疫情防控具有實(shí)用價(jià)值。

4.2 展望

考慮疫情傳播情況的復(fù)雜性會(huì)導(dǎo)致模型擬合度下降，因此，在未來的工作中主要考慮從參數(shù)取值、公式迭代和時(shí)滯模型3個(gè)方面對(duì)所述模型進(jìn)行優(yōu)化。

1）運(yùn)用差分遞推法［16］對(duì)模型部分參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

2）將式（1）轉(zhuǎn)化為迭代形式并表示如下：

S（t）=S（t－1）－β1S（t－1）I1（t－1）－

β2S（t－1）I1（t－1）

Y（t）=Y（t－1）+β1S（t－1）I1（t－1）－

γ1Y（t－1）

E（t）=E（t－1）+β2S（t－1）I1（t－1）－

γ2E（t－1）

I1（t）=I1（t－1）+γ1Y（t－1）－δI1（t－1）

I2（t）=I2（t－1）+γ2E（t－1）－δI2（t－1）

R（t）=R（t－1）+δI1（t－1）+δI2（t－1）

3）考慮新冠病毒具有不同的變異程度和潛伏期，在原有模型的基礎(chǔ)上，考慮建立帶有時(shí)滯的動(dòng)力學(xué)模型。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Analysis and Prediction of the COVID-19 Based on

an Improved SEIR Model

LIU Pin， DONG Qinglai*

（College of Mathematics and Computer Science， Yanan University， Yanan 716000， China）

Abstract：

Considering the lengthy incubation period of the novel coronavirus， based on the COVID-19 data set released daily， this paper improves the classic SEIR （Susceptible-Exposed-Infected-Recovered） model and establishes the transmission dynamics model of COVID-19， in which the inapparent transmission population is included， and the confirmed population is divided into two categories （a class of infected persons has the infectivity， while another class of infected persons has negligible infectivity because they are in the quarantine period）. The kinetic parameters of the improved SEIR model are fitted by using the epidemic data in Xian from December 15， 2021， to January 13， 2022， and the COVID-19 epidemic in Xian is predicted and evaluated. The results show that the theoretical estimate of the epidemic based on the improved SEIR model is in line with the actual situation of the epidemic in Xian， and the measures such as data visualization and medical isolation have an important role in inhibiting the large spread of the epidemic.

Key words：

COVID-19 epidemic; improved SEIR model; parameter estimation; predict; the COVID-19 epidemic in Xian

收稿日期：2022-03-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71961030）；延安大學(xué)專項(xiàng)資助項(xiàng)目（YCX2022072）

作者簡(jiǎn)介：劉 聘（1998—），女，在讀碩士，研究方向：平衡系統(tǒng)可靠性分析，E-mail：pinliu12@163.com.

通訊作者：董慶來，E-mail：qinglaidong@163.com.