高慧明

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．

數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下幾個(gè)?？键c(diǎn)：

（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；

（2）函數(shù)及其圖像；

（3）平面向量

（4）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；

（5）方程（多指二元方程）及方程的曲線；

（6）對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，往往涉及直線與圓、立體幾何、圓錐曲線等，利用幾何圖形或形數(shù)轉(zhuǎn)換求解；

（7）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖像求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用．

數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖像；“對(duì)勾函數(shù)”應(yīng)用單調(diào)性或基本不等式；三角函數(shù)圖像和性質(zhì)；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)的模）；點(diǎn)到直線的距離公式等．

【方法歸納】

1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則.在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)．

（2）雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)．

（3）簡(jiǎn)單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖像時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線．

2.數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著“奇特功效”，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像，注意函數(shù)的定義域；

（2）用圖像法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖求解；

（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證．

【應(yīng)用舉例】

應(yīng)用一：研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等

1.函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題：即通過(guò)函數(shù)圖像來(lái)分析和解決函數(shù)問(wèn)題的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)，函數(shù)貫穿始終，因此這種方法是最常用的，破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：

①分析數(shù)理特征，一般解決問(wèn)題時(shí)不能精確畫出圖像，只能通過(guò)圖像的大概性質(zhì)分析問(wèn)題，因此需要確定能否用函數(shù)圖像解決問(wèn)題；

②畫出函數(shù)圖像，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖像；

③數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖像將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化；

④得出結(jié)論，通過(guò)觀察函數(shù)圖像得出相應(yīng)的結(jié)論．

2.熟練掌握函數(shù)圖像的變換：由函數(shù)圖像的變換能較快畫出函數(shù)圖像，應(yīng)該掌握平移（上下左右平移）、翻折（關(guān)于特殊直線翻折）、對(duì)稱（中心對(duì)稱和軸對(duì)稱）等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．

【例1】函數(shù)fx=x2+1sinx在區(qū)間-π2，π2的圖像大致為（）

A.

B.

C.

D.

【解析】∵fx=x2+1sinx，定義域?yàn)镽，又f-x=x2sin-x=-x2sin x=-fx，

∴fx為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除BC.

又fπ2=π24+1sinπ2=π24+1>0，可排除A，故選：D．

注：函數(shù)圖像的識(shí)辨可從以下方面入手：

（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置；

（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢(shì)；

（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對(duì)稱性；

（4）利用函數(shù)值考察特征點(diǎn)，排除不合要求的圖像；

（5）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考察圖像升降的快慢、極值點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖像差別.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．

【例2】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖像大致為（）

【解析】由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤x≤π4時(shí)，PA+PB=tan2x+4+tan x；

當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即π4≤x≤3π4，x≠π2時(shí)，

PA+PB=1tanx-12+1=

1tanx+12+1，

當(dāng)x=π2時(shí)，PA+PB=22；

當(dāng)P點(diǎn)AD在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3π4≤x≤π時(shí)，PA+PB=tan2x+4-tan x，從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線x=π2對(duì)稱，且fπ4>fπ2，且軌跡非線型，故選B．

【例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段A1D1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作垂直于B1D的平面截正方體，其截面圖形為M，下列命題中正確的是．

① M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是12，78；②M的面積最大值為334；③M的周長(zhǎng)為定值．

【解析】如圖所示，B1D⊥平面A1B1C1，B1D⊥平面ACD1，

①當(dāng)點(diǎn)E與A1或D1重合時(shí)，M為正△A1BC1或正△ACD1，

周長(zhǎng)為32，面積為32，在平ABCD面上投影面積為12.

②當(dāng)點(diǎn)E與A1（D1）不重合時(shí)，設(shè)D1E=t（0

∴EJ=2t，EF=2（1-t），∴EF+EJ=2（1-t）+2t=2，

同理可得：FG+GH=2，HI+IJ=2，故M的周長(zhǎng)為定值32．

M的面積為S1=12×2+2t×62（1-t）+122+2（1-t）×62t=32（-2t2+2t+1），

當(dāng)時(shí)t=12，S1取得最大值334．

M在平面ABCD上投影的面積S2=1-12（1-t）2-12t2=-t2+t+12∈12，34.

由①②知M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是12，34.

M的面積最大值為334，M的周長(zhǎng)為定值32.故答案為：②③.

應(yīng)用二：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像求參數(shù)的取值范圍

【例4】已知函數(shù)f（x）=

x3，x≥0

-x，x<0若函數(shù)g（x）=f（x）-kx2-2x（k∈R）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.-∞，-12∪（22，+∞）

B.-∞，-12∪（0，22）

C.（-∞，0）∪（0，22）

D.（-∞，0）∪（22，+∞）

【解析】注意到g（0）=0，所以要使g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程|kx-2|=f（x）|x|恰有3個(gè)實(shí)根即可，令h（x）=f（x）|x|，即y=|kx-2|與h（x）=f（x）|x|的圖像有3個(gè)不同交點(diǎn)．

因?yàn)閔（x）=f（x）x=x2，x>0

1.x<0

當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=2，如圖1，y=2與h（x）=f（x）|x|有2個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)k<0時(shí)，如圖2，此時(shí)y=|kx-2|與h（x）=f（x）|x|恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)k>0時(shí)，如圖3，當(dāng)y=kx-2與y=x2相切時(shí)，聯(lián)立方程得x2-kx+2=0，

令Δ=0得k2-8=0，解得k=22（負(fù)值舍去），所以k>22．

綜上，k的取值范圍為（-∞，0）∪（22，+∞）.故選：D．

圖1圖2

圖3

【例5】已知當(dāng)0

A.（ln2+1，+∞）

B.（ln2-1，+∞）

C.（12，+∞）

D.（ln2-1，0）

【解析】不等式2ln xx<2a+1-12ax，可看作函數(shù)fx=2ln xx，gx=-12ax-4+1，在區(qū)間0，2上，fx的圖像在gx圖像下方.f′x=21-ln xx2，所以fx在0，e上遞增，在e，+∞上遞減，所以fx在x=e時(shí)取得極大值也即是最大值，且x>1時(shí)，fx>0.gx圖像過(guò)點(diǎn)4，1.f2=ln2，f′2=1-ln22，所以過(guò)B2，1-ln22的fx的切線方程為y-ln2=1-ln22x-2，點(diǎn)A4，1在切線上，gx也過(guò)點(diǎn)A4，1.畫出fx，gx在區(qū)間0，2上的圖像如下圖所示，由圖可知，-12aln2-1. 故選：B.

【例6】（2022·浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué)高二開學(xué)考試）若函數(shù)f（x）=m-x2+2lnx在1e，e上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．

【解析】令f（x）=m-x2+2ln x=0，則m=x2-2ln x，令g（x）=x2-2ln x，

則由g′（x）=2x-2x=2（x-1）（x+1）x，在1e，1上g′（x）<0，g（x）遞減，在1，e上g′（x）>0，g（x）遞增.

且［g（x）］min=g（1）=1，g1e=2+1e2，g（e）=e2-2.∵2+1e2<3，e2-2≥5，∴g1e

作出函數(shù)g（x）的圖像，如下圖所示：

所以函數(shù)f（x）在1e，e上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為1，2+1e2.

應(yīng)用三：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系

【例7】函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

【解析】由f（x）=ax+b（x+c）2及圖像可知，x≠-c，-c>0，則c<0；

當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=bc2>0，所以b>0；

當(dāng)y=0，ax+b=0，所以x=-ba>0，所以a<0．

故a<0，b>0，c<0，選C．

應(yīng)用四：構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式

【例8】如圖，已知兩個(gè)單位向量OA，OB，且它們的夾角為π3，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的AB上運(yùn)動(dòng)，則CA·CB的最小值為（）

A.32－3

B.0

C.32－32

D.－32

【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，則由已知得B1，0，A12，32．

由點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的AB上運(yùn)動(dòng)可設(shè)Ccosθ，sinθ，θ∈0，π3．

∴CA·CB=12-cos θ，32-sin θ·（1-cos θ，-sinθ）=cos2θ-32cosθ+sin2θ-32sinθ+12=32-3sinθ+π3.

由θ∈0，π3，知θ+π3∈π3，2π3，

∴sinθ+π3∈32，1，

因此，當(dāng)sinθ+π3=1時(shí)，CA·CB有最小值32-3．

故選：A．

應(yīng)用五：構(gòu)建幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題

在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析，將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)解決幾何問(wèn)題達(dá)到解決代數(shù)問(wèn)題的目的.此方法適用于難以直接解決的抽象問(wèn)題，可利用圖形使其直觀化，再通過(guò)圖形的性質(zhì)快速解決問(wèn)題.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：

①分析特征，一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義；

②進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題；

③ 得出結(jié)論，將幾何問(wèn)題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問(wèn)題中，進(jìn)而得出結(jié)論．

【例9】已知集合A=x，yx2+y2=4，B=x，yy=2，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】因?yàn)閳A心（0，0）到直線y=2的距離d=2=r，

所以直線y=2與圓x2+y2=4相切，

所以A∩B的元素的個(gè)數(shù)是1，故選：C．

【例10】已知平面向量，，滿足||=2|-|=2|-|=2||=2，則·的取值范圍是（）

A.＼[1，2＼]

B.1，92

C.12，2

D.12，92

【解析】由題意||=2，||=1，|-|=|-|=1，設(shè)OA=，OB=，OC=.

不妨設(shè)C（1，0），如圖，則點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心2為半徑的圓O上，點(diǎn)B在以C為圓心，1為半徑的圓上，滿足|AB|=1，圓C方程是（x-1）2+y2=1．

設(shè)B（x，y），則·=（x，y）·（1，0）=x，

當(dāng)B在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|AB|min=2-|OB|，

由題意圓O上存在點(diǎn)A，使得|AB|=1，

∴|AB|min=2-|OB|≤1，

∴|OB|≥1，即x2+y2≥1.

由x2+y2=1，（x-1）2+y2=1.

解得x=12，

y=±32.

∴x≥12，

由圖可知x≤2.即12≤x≤2．

∴·∈12，2.故選：C．

應(yīng)用六：構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值等問(wèn)題

1在解析幾何的解題過(guò)程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍； 常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：

①比值——可考慮直線的斜率；

②二元一次式——可考慮直線的截距；

③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；

④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離．

2圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法：是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問(wèn)題.破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：

①畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等；

②數(shù)形求解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解；

③得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，得出所要求解的結(jié)論．

3破解圓錐曲線問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種：

①通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式；

②通過(guò)代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解 的問(wèn)題進(jìn)行討論．

【例11】已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為π3，向量滿足2-4·+3=0，則-的最小值是（）

A.3-1

B.3+1

C.2

D.2-3

【解析】設(shè)=x，y，=1，0，=m，n，則由非零向量與的夾角為π3，得·=·cosπ3，

∴x=12x2+y2，即y=±3x，x>0.

由2-4·+3=0，得m2+n2-4m+3=0，

∴m-22+n2=1，

∴-=x-m2+y-n2表示圓m-22+n2=1上點(diǎn)到射線y=±3x，x>0上點(diǎn)的距離，

∴-的最小值為圓心2，0到射線y=±3x，x>0的距離232=3減去半徑1，為3-1.故選：A．

【例12】已知函數(shù)f（x）=x3+x，fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0，則當(dāng)y≥1時(shí)，yx+1的取值范圍是（）

A.14，34

B.14，1

C.1，32-3

D.13，+∞

【解析】由題意可知，f（x）的定義域?yàn)?∞，+∞，

由f（x）=x3+x，得f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R單調(diào)遞增，

f（-x）=-x3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），

所以f（x）為奇函數(shù)，

fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0有

fy2-2y+3≤-fx2-4x+1=f-x2+4x-1，

∴y2-2y+3≤-x2+4x-1，整理得（x-2）2+（y-1）2≤1，y≥1時(shí)，即（x，y）的取值區(qū)域如下圖陰影部分所示：

∴yx+1表示直線y=k（x+1）在過(guò)圖中陰影部分的點(diǎn)時(shí)斜率k=yx+1，

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與陰影區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍，當(dāng)與半圓相切，k取最大值，

而此時(shí)圓心（2，1）到y(tǒng)=k（x+1）的距離d=|3k-1|1+k2=1，得k=34；

當(dāng)交半圓于右端點(diǎn)（3，1）時(shí)，k取最小值為14，所以k的取值范圍14，34.故選：A．

應(yīng)用七：構(gòu)建方程模型或函數(shù)模型，結(jié)合其圖像研究零點(diǎn)的范圍與個(gè)數(shù)問(wèn)題

討論方程的解（或函數(shù)零點(diǎn)）的問(wèn)題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù)．

【例13】已知點(diǎn)P是橢圓x212+y29=1上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：x2+y-12=1的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為M，則PM的取值范圍為（）

A.3，4

B.3，15

C.15，4

D.3，23

【解析】設(shè)Px，y，則PM2=PC2-MC2=x2+y-12-1=1-y29×12+y-12-1=-13y+32+15，

因?yàn)?3≤y≤3，所以3≤PM2≤15，即3≤PM≤15，

故選：B.

【例14】已知fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

【解析】當(dāng)x≤-1時(shí)，y=ex+x+1，y′=ex+1>0，故在（-∞，-1］上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>-1時(shí)，y=ex-x-1，

由y′=ex-1=0可得x=0，

當(dāng)-1

當(dāng)x>0時(shí)，y′>0，所以y=ex-x-1在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且ymin=e0-1=0，

作出函數(shù)y=ex-x+1=ex+x+1，x≤1

ex-x-1，x>1（x∈R）的圖像，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)再作出y=-x2+x+2=-x2-x+2，x≤0

-x2+x=2，x>0（x∈R）的圖像，

由圖像可知要使fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三個(gè)零點(diǎn)，

即函數(shù)f（x）的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)， 只需0≤a＜2，

故答案為：［0，2）．

應(yīng)用八：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)或解不等式

構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合其圖像特征研究量與量之間的大小關(guān)系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式．

【例15】已知函數(shù)f（x）=2x-x-1，則不等式f（x）>0的解集是（）

A.（-1，1）

B.（-∞，-1）∪（1，+∞）

C.（0，1）

D.（-∞，0）∪（1，+∞）

【解析】因?yàn)閒x=2x-x-1，所以fx>0等價(jià)于2x>x+1，在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2x和y=x+1的圖像如圖.

兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（1，2），不等式2x>x+1的解為x<0或x>1．

所以不等式f（x）>0的解集為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

故選：D．

【例16】已知函數(shù)fx是定義在-4，0∪0，4上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈0，4時(shí)，fx的圖像如圖所示，那么滿足不等式fx≥3x-1的x的取值范圍是（）

A.-1，-2∪0，1

B.-4，-2∪0，1

C.-4，-2∪2，4

D.-1，0∪2，4

【解析】f（x）為-4，0∪0，4上的奇函數(shù)，

所以如圖，畫出f（x）在［-4，0）的圖像，得點(diǎn)（-2，-89）、點(diǎn)（1，2）在f（x）上，

畫出y=3x-1的圖像，得到其漸近線為y=-1，且在第一象限與f（x）的圖像交點(diǎn)為（1，2），

要解不等式f（x）≥3x-1，則結(jié)合圖像，需f（x）的圖像在y=3x-1圖像的上方，從而解得：x∈［-4，-2］∪［0，1］.故選：B．

【例17】已知函數(shù)fx=x2，x<0

-x2，x≥0若x∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.21，+∞

B.13，+∞

C.2716，+∞

D.15，+∞

【解析】因?yàn)閒x=x2，x<0

-x2，x≥0所以函數(shù)圖像如圖所示.

由函數(shù)圖像可知函數(shù)為定義域R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)fx=-x2，則f3x=-3x2=-9x2=9fx，

當(dāng)x<0時(shí)fx=x2，則f3x=3x2=9x2=9fx，

所以f3x=9fx.

因?yàn)閤∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，即x∈R，fmx2≤-9f4-3x=9f3x-4=f9x-12恒成立，

所以mx2≥9x-12恒成立，即mx2-9x+12≥0恒成立，

當(dāng)m=0，顯然不成立，

當(dāng)m≠0時(shí)，則m>0，

Δ=81-48m≤0，解得m≥2716，即m∈2716，+∞.

故選：C．

相關(guān)練習(xí)：

1.函數(shù)y=4xx2+1的圖像大致為（）

A.

B.

C.

D.

2.在△ABC中，∠C=π2，AC=BC=2，M為AC的中點(diǎn)，P在線段AB上，則MP·CP的最小值為．

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD1的體積為．

4.斜率為3的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=．

答案與提示：

1.由函數(shù)的解式可得：f-x=-4xx2+1=-fx，則函數(shù)fx為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，y=41+1=2>0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤. 故選：A．

2.如圖：以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則M22，22，C（0，2），設(shè)Px，0，-2≤x≤2，

則MP·CP=x-22，-22·x，-2=x-22x+1=x2-22x+1，

當(dāng)x=24時(shí)，MP·CPmin=242-22×24+1=78．

故答案為：78．

3. 因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)

所以VA-NMD1=VD1-AMN=13×12×1×1×2=13

故答案為：13.

4. ∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F（1，0）.

又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為3，

∴直線AB的方程為：y=3（x-1），代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2-10x+3=0．

解法一：解得x1=13，x2=3，所以：

|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3·|3-13|=163.

解法二：Δ=100-36=64>0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=103，

過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線，設(shè)垂足分別為C，D，

如圖所示．

|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163．

故答案為：163．

【本文系北京市教育科學(xué)“十三五” 規(guī)劃課題“基于核心 素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)核心概念課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)研究”（編號(hào)： CDDB19238） 階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)